人教版九年级数学上第二十一章一元二次方程单元测试含答案.docx
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人教版九年级数学上第二十一章一元二次方程单元测试含答案
第二十一章一元二次方程单元测试
一、单选题(共10题;共30分)
1、上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a%后售价为128元.下列所列方程中正确的是()
A、168(1+a)2=128B、168(1-a%)2=128
C、168(1-2a%)=128D、168(1-a2%)=128
2、在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题:
甲、乙两人合养了若干头羊,而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等,全部卖完后,两人按下面的方法分钱:
先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。
为了平均分配,甲应该找补给乙多少元?
()
A、1元B、2元C、3元D、4元
3、已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0的一根为0,另一根不为0,则m的值为()
A、1B、-3C、1或-3D、以上均不对
4、用因式分解法解方程,下列方法中正确的是()
A、(2x-2)(3x-4)=0∴2-2x=0或3x-4=0B、(x+3)(x-1)=1∴x+3=0或x-1=1
C、(x-2)(x-3)=2×3∴x-2=2或x-3=3D、x(x+2)=0∴x+2=0
5、已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足
,则m的值是
A、3或﹣1B、3C、1D、﹣3或1
6、方程x2=9的解是( )
A、x1=x2=3B、x1=x2=9C、x1=3,x2=﹣3D、x1=9,x2=﹣9
7、如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根,那么实数k的取值范围是( )
A、k≤
B、k
C、k
D、k
8、已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根,则该方程的另一根为( )
A、2B、3C、4D、8
9、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A、k>1B、k≠0C、k<1D、k<1且k≠0
10、(2017•黔东南州)已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1,x2,则
+
的值为( )
A、2B、﹣1C、
D、﹣2
二、填空题(共8题;共25分)
11、(2015•凉山州)已知实数m,n满足3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且m≠n,则
=________.
12、校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形实验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道,要使种植面积为540m2,小道的宽应是 ________米.
13、已知x为实数,且满足(x2+3x)2+2(x2+3x)﹣3=0,那么x2+3x=________.
14、某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,那么根据题意可列关于x的方程是________
15、关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是________
16、方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是________,常数项是________.
17、关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根,k的取值范围________.
18、关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根,则实数k的值为________.
三、解答题(共5题;共35分)
19、已知关于x的方程(a-1)
+2x+a-1=0.
(1)若该方程有一根为2,求a的值及方程的另一根;
(2)当a为何值时,方程仅有一个根?
求出此时a的值及方程的根.
20、某商场进价为每件40元的商品,按每件50元出售时,每天可卖出500件.如果这种商品每件涨价1元,那么平均每天少卖出10件.当要求售价不高于每件70元时,要想每天获得8000元的利润,那么该商品每件应涨价多少元?
21、已知关于x的方程mx2﹣(m+3)x+3=0(m≠0).
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根都是整数,且有一根大于1,求满足条件的整数m的值.
22、解方程:
﹣x2﹣2x=2x+1
23、(2016•新疆)周口体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?
四、综合题(共1题;共10分)
24、已知关于x的方程x(x-k)=2-k的一个根为2.
(1)求k的值;
(2)求方程2y(2k-y)=1的解.
答案解析
一、单选题
1、【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】当商品第一次降价a%时,其售价为168-168a%=168(1-a%);
当商品第二次降价a%后,其售价为168(1-a%)-168(1-a%)a%=168(1-a%)2.
∴168(1-a%)2=128.故选B.
2、【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】先设甲、乙两人合养了n头羊,两人先分了x次,每人每次10元,最后一次甲先拿了10元,乙拿了2y(0<2y<10,2y是整数)元,当甲找给乙钱后,甲乙都得到了(5+y)元,甲给了乙10-(5+y)=5-y元,再根据2y是奇数和偶数两种情况进行讨论即可.【解答】设甲、乙两人合养了n头羊,两人先分了x次,每人每次10元,最后一次甲先拿了10元,乙拿了2y(0<2y<10,2y是整数)元,当甲找给乙钱后,甲乙都得到了(5+y)元,甲给了乙10-(5+y)=5-y元,
∴有n2=20x+10+2y,
∵(20x+10)个位为0,2y是完全平方数的个位数,2y=1,4,5,6,9,
若2y是奇数,则2y=1,5,或9,
∴20x+10+2y=20x+11,20x+15或20x+19,
∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3,它们不是完全平方数,
∴2y是偶数,2y=4或6,y=2或3.
若y=2,n2=20x+14=2(10x+7),右边不是完全平方数
∴y=3,
∴甲应该找给乙5-3=2(元)钱.
故选:
B.【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根,解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数,得出关于n、x、y的方程,再分类讨论
3、【答案】A
【考点】一元二次方程的解,根与系数的关系
【解析】【分析】首先将根为0代入方程解得m的值,然后利用根的判别式进行判断m的范围,再根据二次项系数不能为0,从而得到所求的m的值.【解答】∵关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0的一根为0,
∴(m+3)×02+0+m2+2m-3=0,
即m2+2m-3=0,
解得:
m=1或-3.
又关于x的方程的另一根不为0,
所以△>0,
即1-4(m+3)(m2+2m-3)>0,
解得:
m∈(-∞,+∞),当m=-3时,m+3=0,此方程不可能有两根,
故选A.【点评】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解和根的判别式的综合运用,关键是求到m的取值范围
4、【答案】A
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤依次分析各项即可判断.
【解答】A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2-2x=0或3x-4=0,本选项正确;
B.(x+3)(x-1)=1,展开得,x2-x+3x-3-1=0,整理得,x2+2x-4=0,故错误;
C.(x-2)(x-3)=2×3,展开得,x2-3x-2x+6-6=0,整理得,x2-5x=0,x(x-5)=0,所以x=0或者x-5=0,故错误;
D.x(x+2)=0,∴x=0或者x+2=0,故错误;
故选A.
【点评】熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础,因而此类问题在中考中比较常见,常以填空题、选择题形式出现,属于基础题,难度一般.
5、【答案】B
【考点】解一元二次方程-因式分解法,根的判别式,根与系数的关系
【解析】【分析】∵α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,
∴根据一元二次方程根与系数的关系,得α+β=﹣(2m+3),αβ=m2。
∵
,即
,∴
,即m2﹣2m﹣3=0。
解得,m=3或m=﹣1。
又∵由方程x2+(2m+3)x+m2=0根的判别式
解得
,
∴m=﹣1不合题意,舍去。
∴m=3。
故选B。
6、【答案】C
【考点】解一元二次方程-直接开平方法
【解析】【解答】解:
x2=9,
两边开平方,得x1=3,x2=﹣3.
故选C.
【分析】利用直接开平方法求解即可.
7、【答案】A
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4×1×2k=36﹣8k≥0,
解得:
k≤
.
故选A.
【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式,得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.
8、【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解:
设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t,
由根与系数的关系得出:
t+2=6,
则t=4.
故选:
C.
【分析】设出方程的另一个跟,直接利用根与系数的关系求得答案即可.
9、【答案】D
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解:
∵方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,∴△=(﹣6)2﹣4×k×9>0,
解得:
k<1,
又∵k≠0,
∴k<1且k≠0,
故选:
D.
【分析】由方程有两个不相等的实数根得出∴△=(﹣6)2﹣4×k×9>0,解之得出k的范围,结合一元二次方程的定义可得答案.
10、【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解:
根据题意得x1+x2=2,x1x2=﹣1,所以
+
=
=
=﹣2.
故选D.
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2,x1x2=﹣1,利用通分得到
+
=
,然后利用整体代入的方法计算
二、填空题
11、【答案】
【考点】一元二次方程的解,根与系数的关系
【解析】【解答】解:
∵m≠n时,则m,n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根,∴m+n=﹣2,mn=﹣
.
∴原式=
=
=
=﹣
,
故答案为:
﹣
.
【分析】由m≠n时,得到m,n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不等的根,根据根与系数的关系进行求解.
12、【答案】2
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解:
设道路的宽为xm,依题意有
(32﹣x)(20﹣x)=540,
整理,得x2﹣52x+100=0,
∴(x﹣50)(x﹣2)=0,
∴x1=2,x2=50(不合题意,舍去),
答:
小道的宽应是2m.
故答案为:
2.
【分析】设道路的宽为xm,将4块草地平移为一个长方形,长为(32﹣x)m,宽为(20﹣x)m.根据长方形面积公式即可求出道路的宽.
13、【答案】1
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】【解答】解:
设x2+3x=y,
方程变形得:
y2+2y﹣3=0,即(y﹣1)(y+3)=0,
解得:
y=1或y=﹣3,即x2+3x=1或x2+3x=﹣3(无解),
故答案为:
1.
【分析】设x2+3x=y,方程变形后,求出解得到y的值,即可确定出x2+3x的值.
14、【答案】289(1﹣x)2=256
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解:
根据题意可得两次降价后售价为289(1﹣x)2,
即方程为289(1﹣x)2=256.
故答案为:
289(1﹣x)2=256.
【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),本题可参照增长率问题进行计算,如果设平均每次降价的百分率为x,可以用x表示两次降价后的售价,然后根据已知条件列出方程.
15、【答案】
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解:
∵一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根,
∴△=32﹣4(﹣m)>0,
∴
故答案为
【分析】根据一元二次方程x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根可得△=32﹣4(﹣m)>0,求出m的取值范围即可.
16、【答案】﹣2;﹣1
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】解:
方程3x2﹣2x﹣1=0的一次项系数是﹣2,常数项是﹣1,
故答案为:
﹣2;﹣1.
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;b叫做一次项系数,c叫做常数项可得答案.
17、【答案】k≤
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解:
当k=0,方程变形为﹣4x+3=0,此一元一次方程的解为x=
;当k≠0,△=16﹣4k×3≥0,解得k≤
,且k≠0时,方程有两个实数根,
综上所述实数k的取值范围为k≤
.
故答案为:
k≤
.
【分析】分类讨论:
当k=0,方程变形为﹣4x+3=0,此一元一次方程有解;当k≠0,△=16﹣4k×3≥0,方程有两个实数解,得到k≤
且k≠0,然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围.
18、【答案】4
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解:
∵方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣4)2﹣4k=0,
即﹣4k=﹣16,
k=4
故本题答案为:
4.
【分析】若一元二次方程有两等根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,建立关于k的方程,求出k的取值.
三、解答题
19、【答案】
(1)将x=2代入方程
,得
,解得:
a=
.
将a=
代入原方程得
,解得:
x1=
,x2=2.
∴a=
,方程的另一根为
.
(2)①当a=1时,方程为2x=0,解得:
x=0.
②当a≠1时,由b2-4ac=0得4-4(a-1)2=0,解得:
a=2或0.
当a=2时,原方程为:
x2+2x+1=0,解得:
x1=x2=-1;
当a=0时,原方程为:
-x2+2x-1=0,解得:
x1=x2=1.
综上所述,当a=1,0,2时,方程仅有一个根,分别为0,1,-1.
【考点】一元二次方程的解,根的判别式
【解析】【分析】
(1)把x=2代入方程,求出a的值,再把a代入原方程,进一步解方程即可;
(2)分两种情况探讨:
①当a=1时,为一元一次方程;②当a≠1时,利用b2-4ac=0求出a的值,再代入解方程即可.
20、【答案】解:
设售价应提高x元,依题意得
(10+x)(500-10x)=8000,
解这个方程,得x1=10,x2=30,
∵售价不高于70元,所以x=30不符合题意,
答:
该商品每件应涨价10元.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】一个商品原利润为50-40=10元,提价x元,现在利润为(10+x)元;根据题意,销售量为500-10x,由一个商品的利润×销售量=总利润,列方程求解.
21、【答案】
(1)证明:
∵m≠0,
∴方程mx2﹣(m+3)x+3=0(m≠0)是关于x的一元二次方程,
∴△=(m+3)2﹣4×m×3
=(m﹣3)2,
∵(m﹣3)2≥0,即△≥0,
∴方程总有两个实数根;
(2)解:
∵x=
,
∴x1=1,x2=
,
∵方程的两个实数根都是整数,且有一根大于1,
∴
为大于1的整数,
∵m为整数,
∴m=1.
【考点】根的判别式
【解析】【分析】
(1)先计算判别式得到△=(m+3)2﹣4×m×3=(m﹣3)2,利用非负数的性质得到△≥0,然后根据判别式的意义即可得到结论;
(2)利用公式法可求出x1=1,x2=
,然后利用整除性即可得到m的值.
22、【答案】解:
方程整理得:
x2+4x+1=0,
这里a=1,b=4,c=1,
∵△=16﹣4=12,
∴x=
=﹣2±
;
【考点】解一元二次方程-公式法
【解析】【分析】方程整理后,利用公式法求出解即可;
23、【答案】解:
设要邀请x支球队参加比赛,由题意,得
x(x﹣1)=28,
解得:
x1=8,x2=﹣7(舍去).
答:
应邀请8支球队参加比赛
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设要邀请x支球队参加比赛,则比赛的总场数为
x(x﹣1)场,与总场数为28场建立方程求出其解即可.本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时单循环形式比赛规则的总场数为等量关系建立方程是关键.
四、综合题
24、【答案】
(1)解:
将x=2代入所给的方程中得:
,解得
;
(2)解:
将
代入方程2y(2k-y)=1中得方程2y(4-y)=1,整理得
∴
,
∴
,
∴
,
∴
.
【考点】解一元二次方程-公式法
【解析】【分析】先根据2是所给方程的一个根求出k的值,将k的值代入
(2)中可得到关于y的一元二次方程,整理成一般形式以后利用公式法解方程.