数轴相反数绝对值拔高题.docx
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数轴相反数绝对值拔高题
第二讲数轴,相反数,绝对值（拔高题）
一．选择题（共7小题）
1．若两个非零的有理数a、b，满足：
|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知：
a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A．1﹣b＞﹣b＞1+a＞aB．1+a＞a＞1﹣b＞﹣b
C．1+a＞1﹣b＞a＞﹣bD．1﹣b＞1+a＞﹣b＞a
3．下列说法中正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的绝对值相等
B．最小的整数是0
C．有理数分为正数和负数
D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
4．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（ ）
A．6B．5C．3D．2
5．若ab＞0，则
+
+
的值为（ ）
A．3B．﹣1C．±1或±3D．3或﹣1
6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A．2002或2003B．2003或2004C．2004或2005D．2005或2006
7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（ ）
A．9＜x＜10B．10＜x＜11C．11＜x＜12D．12＜x＜13
二．填空题（共18小题）
8．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是 ．
9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 ．
10．已知|a+2|=0，则a= ．
11．大家知道|5|=|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a+5|在数轴上的意义是 ．
12．在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 ．
13．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是 ．
14．定义：
A={b，c，a}，B={c}，A∪B={a，b，c}，若M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，则M∪N={ }．
15．若
，则a的取值范围是 ．
16．﹣（﹣6）的相反数是 ．
17．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|= ．
18．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式：
①b﹣a＞0，②﹣b＞0，③a＞﹣b，④﹣ab＜0，正确的个数是 ．
19．点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，若BC=3，则AC= ．
20．如果|m﹣1|=5，则m= ．
21．如图所示，在直线l上有若干个点A1、A2、…、An，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段A1An上的一个动点．
（1）当n=3时，则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是 ；
（2）当n=13时，则当点P在点 的位置时，点P分别到点A1、A2、…、A13的距离之和有最小值，且最小值是 ．
22．已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|= ．
23．
（1）若a=2.5，则﹣a= ；
（2）若﹣a=
，则a= ；
（3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a= ；
（4）若a=﹣（+5），则﹣a= ．
24．|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是 ．
25．设a，b，c为有理数，则由
构成的各种数值是 ．
三．解答题（共6小题）
26．请把下列各数填入相应的集合中
，5.2，0，
，
，﹣22，
，2005，﹣0.0…
正数集合：
{ …}；
分数集合：
{ …}；
非负整数集合：
{ …}；
有理数集合：
{ …}．
27．已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a﹣b的值．
28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：
|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|．
29．同学们都知道：
|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 ，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 ．
（3）如果|x﹣2|=5，则x= ．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？
如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
30．已知A，B在数轴上分别表示数a，b．
（1）对照数轴填写下表：
（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？
（3）在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到5和﹣5的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．
（4）若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时，①|x+1|的值最小？
②|x+1|+|x﹣2|的值最小？
31．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1=0和x﹣2=O，分别求得x=﹣1，x=2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=﹣1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）x＜﹣1；
（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
（1）当x＜﹣1时，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x＜2时，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；
（3）当x≥2时，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．
综上讨论，原式=
．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．若两个非零的有理数a、b，满足：
|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
∵a、b是两个非零的有理数满足：
|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，
∴a＞0，b＜0，
∵a+b＜o，
∴|b|＞|a|，
∴在数轴上表示为：
故选B．
2．已知：
a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A．1﹣b＞﹣b＞1+a＞aB．1+a＞a＞1﹣b＞﹣bC．1+a＞1﹣b＞a＞﹣bD．1﹣b＞1+a＞﹣b＞a
【解答】解：
∵a＞0，∴|a|=a；
∵b＜0，∴|b|=﹣b；
又∵|a|＜|b|＜1，∴a＜﹣b＜1；
∴1﹣b＞1+a；
而1+a＞1，
∴1﹣b＞1+a＞﹣b＞a．
故选D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的绝对值相等
B．最小的整数是0
C．有理数分为正数和负数
D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
【解答】解：
根据绝对值和相反数的定义，互为相反数的两个数到原点距离相等，因此互为相反数的两个数的绝对值相等，故A正确；
整数分为正整数、零负整数，不存在最小的整数，故B错误；
有理数分为正有理数、零、负有理数，故C错误；
如果两个数绝对值相等，这两个数可能相等，可能互为相反数，故D错误．
故选A．
4．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD．若A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（ ）
A．6B．5C．3D．2
【解答】解：
设BC=6x，
∵2AB=BC=3CD，
∴AB=3x，CD=2x，
∴AD=AB+BC+CD=11x，
∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，
∴11x=11，
解得：
x=1，
∴AB=3，CD=2，
∴B，D两点所表示的数分别是﹣2和6，
∴线段BD的中点表示的数是2．
故选D．
5．若ab＞0，则
+
+
的值为（ ）
A．3B．﹣1C．±1或±3D．3或﹣1
【解答】解：
因为ab＞0，所以a，b同号．
①若a，b同正，则
+
+
=1+1+1=3；
②若a，b同负，则
+
+
=﹣1﹣1+1=﹣1．
故选D．
6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A．2002或2003B．2003或2004C．2004或2005D．2005或2006
【解答】解：
依题意得：
①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数．
故选C．
7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（ ）
A．9＜x＜10B．10＜x＜11C．11＜x＜12D．12＜x＜13
【解答】解：
依题意得：
x﹣（﹣3.6）=15，x=11.4．
故选C．
二．填空题（共18小题）
8．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是 7 ．
【解答】解：
∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB=3﹣1=2，
∵BC=2AB=4，
∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，
∴点C表示的数是7．
故答案为7．
9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 2 ．
【解答】解：
数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，
故答案为：
2．
10．已知|a+2|=0，则a= ﹣2 ．
【解答】解：
由绝对值的意义得：
a+2=0，
解得：
a=﹣2；
故答案为：
﹣2．
11．大家知道|5|=|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a+5|在数轴上的意义是 表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离 ．
【解答】解：
根据题意，得|a+5|=|a﹣（﹣5）|，即表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离．
故答案为：
表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离．
12．在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 2或﹣4 ．
【解答】解：
若点在﹣1的左面，则点为﹣4；
若点在﹣1的右面，则点为2．
故答案为：
2或﹣4．
13．若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是 x≤0 ．
【解答】解：
①当x≥3时，原式可化为：
x+3=x﹣3，无解；
②当0＜x＜3时，原式可化为：
x+3=3﹣x，此时x=0；
③当x≤0时，原式可化为：
﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
14．定义：
A={b，c，a}，B={c}，A∪B={a，b，c}，若M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，则M∪N={ 1，0，﹣1 }．
【解答】解：
∵M={﹣1}，N={0，1，﹣1}，
∴M∪N={1，0，﹣1}，
故答案为：
1，0，﹣1．
15．若
，则a的取值范围是 a＜0 ．
【解答】解：
∵
=﹣1，
∴|a|=﹣a且a≠0，
∴a＜0．
16．﹣（﹣6）的相反数是 ﹣6 ．
【解答】解：
﹣（﹣6）=6，
∴6的相反数是﹣6．
故答案为：
﹣6．
17．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|= 0 ．
【解答】解：
由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b=0，
∴|a﹣c|﹣|b+c|=c﹣a﹣c﹣b=﹣（a+b）=0．
18．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式：
①b﹣a＞0，②﹣b＞0，③a＞﹣b，④﹣ab＜0，正确的个数是 1 ．
【解答】解：
a＜0，b＞0，b﹣a＞0，故①b﹣a＞0正确，
b＞0，﹣b＜0，故②﹣b＞0错误，
a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a＜﹣b，故③a＞﹣b错误，
a＜0，b＞0，﹣ab＞0，故④﹣ab＜0错误，
故只有①正确．
故答案为：
1．
19．点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，若BC=3，则AC= 4或10 ．
【解答】解：
∵如下图，点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数为﹣5，2，且BC=3，
∴C表示的数为﹣1或5，
当C表示的数为﹣1时，
AC=4．
C表示的数为5时，
AC=10．
故答案为：
4或10．
20．如果|m﹣1|=5，则m= 6或﹣4 ．
【解答】解：
∵|m﹣1|=5，
∴m﹣1=5或m﹣1=﹣5．
解得：
m=6或m=﹣4．
故答案为：
6或﹣4．
21．如图所示，在直线l上有若干个点A1、A2、…、An，每相邻两点之间的距离都为1，点P是线段A1An上的一个动点．
（1）当n=3时，则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是 2 ；
（2）当n=13时，则当点P在点 A7 的位置时，点P分别到点A1、A2、…、A13的距离之和有最小值，且最小值是 42 ．
【解答】解：
（1）P在A2处，PA1+PA3=1+1=2，；
（2）当点P在点A7的位置时，（PA1+PA2+PA3+PA4+PA5+PA6）×2
=（1+2+3+4+5+6）×2=42，
故答案为：
2，A7，42．
22．已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|= 0 ．
【解答】解：
根据图示知：
b＞1＞a＞0＞c＞﹣1，
∴|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|
=﹣c+b﹣b+a﹣a+c
=0
故答案是0．
23．
（1）若a=2.5，则﹣a= ﹣2.5 ；
（2）若﹣a=
，则a= ﹣
；
（3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a= ﹣16 ；
（4）若a=﹣（+5），则﹣a= 5 ．
【解答】解：
（1）若a=2.5，则﹣a=﹣2.5；
（2）若﹣a=
，则a=﹣
；
（3）若﹣（﹣a）=16，则﹣a=﹣16；
（4）若a=﹣（+5），则﹣a=5，
故答案为：
﹣2.5；﹣
；﹣16；5
24．|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是 10 ．
【解答】解：
①当x＜﹣1，|x+1|+|x﹣5|+4=﹣（x+1）+5﹣x+4=8﹣2x＞10，
②当﹣1≤x≤5，|x+1|+|x﹣5|+4=x+1+5﹣x+4=10，
③当x＞5，|x+1|+|x﹣5|+4=x+1+x﹣5+4=2x＞10；
所以|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是10．
故答案为：
10．
25．设a，b，c为有理数，则由
构成的各种数值是 4、﹣4、0 ．
【解答】解：
∵a，b，c为有理数，
①若a＞0，b＞0，c＞0，
∴
=1+1+1+1=4；
②若a，b，c中有两个负数，则abc＞0，
∴
=（1﹣2）+1=0，
③若a，b，c中有一个负数，则abc＜0，
∴
=（2﹣1）+（﹣1）=0，
④若a，b，c中有三个负数，则abc＜0，
∴
=（﹣3）+（﹣1）=﹣4，
故答案为：
±4，0．
三．解答题（共6小题）
26．请把下列各数填入相应的集合中
，5.2，0，
，
，﹣22，
，2005，﹣0.0…
正数集合：
{
，5.2，
，
，2005， …}；
分数集合：
{
，5.2，
，﹣
， …}；
非负整数集合：
{ 0，2005， …}；
有理数集合：
{
，5.2，0，
，﹣22，
，2005， …}．
【解答】解：
正数集合：
{
，5.2，
，
，2005，…}
分数集合：
{
，5.2，
，﹣
，…}
非负整数集合：
{0，2005，…}
有理数集合{
，5.2，0，
，﹣22，
，2005，…}，
故答案为：
，5.2，
，
，2005，
，5.2，
，﹣
，0，2005，
，5.2，0，
，﹣22，
，2005．
27．已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a﹣b的值．
【解答】解：
∵|a|=3，|b|=5，
∴a=±3，b=±5．
∵a＜b，
∴当a=3时，b=5，则a﹣b=﹣2．
当a=﹣3时，b=5，则a﹣b=﹣8．
28．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：
|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|．
【解答】解：
由图可知：
c＜a＜0＜b；
∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，2a＜0；
∴原式=a﹣c+a﹣b﹣2a=﹣b﹣c．
29．同学们都知道：
|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 7 ，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 |x﹣2| ．
（3）如果|x﹣2|=5，则x= 7或﹣3 ．
（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是 ﹣3、﹣2、﹣1、0、1 ．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？
如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：
7；
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：
|x﹣2|；
（3）∵|x﹣2|=5，
∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5，
解得：
x=7或x=﹣3，
故答案为：
7或﹣3；
（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，
∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，
故答案为：
﹣3、﹣2、﹣1、0、1；
（5）有最小值是3．
30．已知A，B在数轴上分别表示数a，b．
（1）对照数轴填写下表：
（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？
（3）在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到5和﹣5的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．
（4）若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时，①|x+1|的值最小？
②|x+1|+|x﹣2|的值最小？
【解答】解：
（1）
（2）d=|a﹣b|；
（3）是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5共11个点，和为0；
（4）①点C在﹣1；②点C在﹣1与2之间（包括﹣1和2）．
31．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1=0和x﹣2=O，分别求得x=﹣1，x=2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=﹣1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）x＜﹣1；
（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
（1）当x＜﹣1时，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x＜2时，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；
（3）当x≥2时，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．
综上讨论，原式=
．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
【解答】解：
（1）|x+2|和|x﹣4|的零点值分别为x=﹣2和x=4．
（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|=﹣2x+2；
当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|=6；
当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|=2x﹣2．
综上讨论，原式=
．
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.
NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
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