北师大版初中数学探索三角形全等的条件 教案.docx

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北师大版初中数学探索三角形全等的条件教案

3　探索三角形全等的条件

1.掌握三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”条件,了解三角形的稳定性.

2.能熟练运用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”判定两个三角形是否全等以及在日常生活中的运用.发展学生有条理的表达能力.

3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,发展交流能力和语言表达能力.

1.培养学生动手操作,探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程.

2.培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程.

通过多种手段的活动过程,让学生动手操作,激发学生学习的兴趣,并能通过合作交流解决问题,体会数学在现实生活中的应用,增强学生的自信心.

【重点】　掌握三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”条件.

【难点】　探索“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”定理及利用定理解决实际问题.

第

课时

1.掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性.

2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.

使学生在自主探索三角形全等的过程中,经历画图、观察、比较、交流等过程,从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.

培养学生的空间观念,推理能力,发展有条理的表达能力,积累数学活动经验.

【重点】　利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等.

【难点】　利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P97~98.

导入一:

　　[过渡语]　前面我们研究了全等三角形,你还记得什么是全等三角形吗?

全等三角形有怎样的性质?

（出示两个全等三角形）

[处理方式]　能够完全重合的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等,对应角相等.

如果△ABC≌△DEF,那么AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.

【问题】　我们学校准备制作形状和大小完全一样的三角形彩旗,把任务交给了同学们去完成,你知道怎么做才能保证这些三角形彩旗的形状和大小完全一样吗?

即如何制作和如图的三角形全等的三角形?

[处理方式]　只要把图

（1）三角形放在彩色布上,如图

（2）所示,然后沿着三角形的边剪下来就可以了.

能否只通过简单的几个条件,就画出与图

（1）全等的图形呢?

本节课就让我们共同来探索三角形全等的条件.

[设计意图]　通过问题情境的创设,引入了本课的课题,激发了学生的好奇心和求知欲,调动了学生的学习积极性,让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.

导入二:

　　[过渡语]　小明家新买了房子,他爸爸想装一面三角形的镜子,木工师傅打好了框架,爸爸要去玻璃店裁一面镜子,就问小明:

“你已经是七年级的学生了,你能用最简单的办法去裁一面这样的三角形的镜子吗?

”小明仔细想了想,就对爸爸说出了他的想法.爸爸说他回答得很好,聪明的你知道小明是怎么说的吗?

学习了本节内容你就知道小明是怎样说的了.

[设计意图]　让学生经历将现实问题抽象成数学模型的过程.提出问题让学生思索,诱发新知识.这样就自然引入了今天的新课,因为它对现实意义有用,所以同学们更会认真去探索这节课的内容.

　　[过渡语]　如何根据条件来判断两个三角形全等呢?

探究活动1　三角形全等的条件

思路一

【活动内容1】　若只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗?

[处理方式]　多媒体出示:

一画:

按照下面给出的一个条件各画出一个三角形.

（1）三角形的一条边长是3cm;

（2）三角形的一个角为45°.

二剪:

把所画的三角形分别剪下来.

三比:

同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.（通过画一画,剪一剪,比一比的方式,在小组内进行交流,讨论,形成结论）

学生探究结果展示:

1.只给定一条边画三角形时,不一定全等.画出一边长为3cm的三角形,但是都不全等.（利用实物展台展示）

只给定一条边:

2.只给定一个角画三角形时,不一定全等.画出一个角是45°的三角形,也不全等.（利用实物展台展示）

只给定一个角:

结论:

只给出一个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.

【活动内容2】　如果给出两个条件,画出的三角形是否全等?

【问题】　给出两个条件,请同学们讨论,画出的三角形有几种情况?

（学生分组讨论）

[处理方式]　有三种情况,已知一边一角、两边或两角.

多媒体出示:

一画:

（1）三角形的一个内角为30°,一条边为3cm;

（2）三角形的两个内角分别为30°和50°;

（3）三角形的两条边分别为4cm,6cm.

二剪:

把所画的三角形分别剪下来.

三比:

同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.

学生探究结果展示:

（1）画出的三角形几乎都不一样.（利用实物展台展示）

显然这三个三角形不全等.

（2）画出的三角形的两个内角分别是30°和50°,画的三角形形状一样,但大小不一样.（利用实物展台展示）

这两个三角形不能完全重合,因此也不全等.

（3）画出的三角形的两边分别为4cm,6cm,所画出的三角形也不全等.（利用实物展台展示）

归纳:

只给出两个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.

[设计意图]　有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践,自主探究与合作交流是学习数学的重要方式.在这里一方面引导学生动手去画,另一方面鼓励学生合作交流.既让学生获得知识,培养学生的合作意识,调动学生的主观能动性,使学生积极主动地参与教学活动,对只有一个或两个条件得不到三角形全等有更直观的认识;又让学生获得方法,为后继的学习积累经验.

【活动内容3】　如果给出三个条件,画出的三角形是否全等.

【问题】　我们通过画图、观察、比较知道,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.那么给出三个条件时,又会怎样呢?

有几种情况?

（学生讨论、交流）

[处理方式]　四种可能“三个角、三条边、两角一边、两边一角”.

【问题】　已知一个三角形的三个内角分别是40°,60°,80°,画出这个三角形,与同伴比较是否全等.（学生重复上面的操作过程,一画、二剪,三比）

[处理方式]　通过画图我们发现“三个内角分别相等的两个三角形不一定全等”.

【问题】　如果所给的条件是三条边相等呢?

如三角形三条边长分别是4cm,5cm,7cm.

[处理方式]　教师做示范,学生跟着老师一步一步地作图,作完图后,同学之间把作成的三角形剪下来进行叠合在一起,看是否能够重合,或者把你作的三角形剪下来与老师作的三角形进行叠合在一起,看是否能够重合,从而得出结论.

画法指导:

1.用刻度尺画线段AB=7cm.

2.以A为圆心,4cm为半径作弧.

3.以B为圆心,5cm为半径作弧,与前弧交于点C.

4.连接AC,BC.

三角形ABC就是所求.

结论:

三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”,这就是三角形全等的条件.（板书:

三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”）

在△ABC和△A'B'C'中,

所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）.

[设计意图]　培养学生的合作意识、动手能力,让学生在作图的实践过程中,学会归纳概括,发现三角形全等的条件,有条理地表达自己的思考过程,并有意识地反思探索过程,获得分析问题的经验.

思路二

【活动内容】

一、想一想.

1.只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗?

2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况?

每种情况下作出的三角形一定全等吗?

分别按照下面的条件做一做.

（1）三角形的一个内角为30°,一条边为3cm;

（2）三角形的两个内角分别为30°和50°;

（3）三角形的两条边分别为4cm,6cm.

二、议一议.

如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况?

三、做一做.

1.已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°和80°,你能画出这个三角形吗?

把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗?

2.已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm,你能画出这个三角形吗?

把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗?

[处理方式]　对于只给出一个条件时结论是显而易见的.因此,只需学生想象此时的情况即可,无需实际画出三角形.当给出两个条件时,学生也不难得出结论,教学中让学生实际去画一画,感受反例的作用.这时学生发现两个条件都不能使结论成立,那么三个条件呢?

引出议一议.由于三个条件的组合较多,所以先让学生组合一下条件.组合时提醒学生按照一定的顺序、规律进行,不重不漏.让学生在讨论的过程中体验分类的思想.讨论出结果后,本节课只研究三个角和三条边的情况,也就是做一做.对于已知三个内角的情况,学生能比较容易地举出反例.而对于已知三边的研究则是本节课的重点,也是难点.由于七年级学生在作图方面没有太深的基础,所以这里的作图,可以利用一切工具,如:

直尺,量角器等.每人完成后,先小组比较,然后全班比较,根据它们都重合的特点,使学生承认“边边边”的条件.（这里有的学生可能在作图上有困难,如果出现困难,可以用小木条、细纸条等摆一摆）

[设计意图]　以问题串的形式引导学生逐步深入地思考可以使三角形全等的条件和问题的提出从条件的由少到多,由简到繁,一步步深入,通过一系列的活动最终得出正确的结论.

探究活动2　知识运用,巩固提升

　如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等?

试说明理由.

解:

△ABC≌△DCB.

理由:

在△ABC和△DCB中,因为AB=CD,AC=BD,BC=BC,所以△ABC≌△DCB.

【跟踪练习】（多媒体出示）

如图所示,D,F是线段BC上的两点,AB=EC,AF=ED,要使△ABF≌△ECD,还需要条件　　　　. 

生:

要使△ABF≌△ECD,根据“SSS”,在△ABF和△ECD中,已满足了AB=EC,AF=ED,只需要BF=CD就可以了.

生:

如果BD=CF,因为BD+DF=CF+DF,所以BF=CD,根据“SSS”,在三角形ABF和三角形ECD中,也满足了AB=EC,AF=ED,BF=CD,所以△ABF≌△ECD.

得出结论:

还需要条件BF=CD或者BD=CF.

[设计意图]　通过两个题,使学生进一步熟悉“边边边”,更重要的是能按照老师的书写格式进行简单的说理,为八年级学习“证明”打好基础.

探究活动3　三角形稳定性的认识

1.准备若干长度适中的小木条,用其中三根木条钉成一个三角形的框架,它的形状和大小是固定的吗?

如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗?

2.你能用所学知识解释三角形的稳定性吗?

3.你能举几个应用三角形稳定性的例子吗?

[处理方式]　

（1）在学生探索完三角形全等的条件“边边边”后,再讨论三角形所具有的性质.

（2）可在课前布置学生制作三角形、四边形等模型,在课堂上现场展示即可.

（3）鼓励学生思考三角形为什么具有稳定性,逐步树立推理意识.

（4）最后让学生举几个应用三角形稳定性的例子.

[设计意图]　通过此活动,培养学生的动手能力,在实践操作中对于三角形形状的固定有初步的认识,再在教学中鼓励学生思考三角形为什么具有稳定性,逐步树立推理意识.在实际操作中培养学生善于观察、乐于探索的学习品质及与他人合作交流的意识.

[知识拓展]　利用判定方法1（SSS）时,要注意必须满足三边对应相等时,两个三角形全等,只有一边或两边对应相等的两个三角形不一定全等.

由三条边对应相等的两个三角形全等可知,只有三条边的长度确定了,这两个三角形的大小和形状就确定了,这就是三角形的稳定性,三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的运用.

1.三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”,这就是三角形全等的条件.

2.三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性.

1.如图所示,已知AD=BC,要使△ABC与△BAD全等,需添加什么条件?

请说明理由.

解:

添加AC=BD,因为在△ABC和△BAD中,

所以△ABC≌△BAD（SSS）.

2.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E为AC上的点,BE=DE.试判断:

（1）图中哪些三角形全等?

请说明理由;

（2）图中哪些角相等?

解:

（1）因为AD=AB,DC=BC,AC=AC,所以△ADC和△ABC全等,因为AD=AB,DE=BE,AE=AE,所以△ADE和△ABE全等,同理△CDE和△CBE全等.

（2）相等的角有:

∠BAE=∠DAE,∠ABE=∠ADE,∠AEB=∠AED,∠BCE=∠DCE,∠BEC=∠DEC,∠EBC=∠EDC,∠ADC=∠ABC.

3.如图所示,当AB=CD,BC=DA时,图中的△ABC与△CDA是否全等?

并说明理由.

解:

△ABC≌△CDA.理由如下:

在△ABC和△CDA中,因为

所以△ABC≌△CDA（SSS）.

4.如图所示,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.

解:

连接OE,如图所示,在△EAO和△ECO中,

所以△EAO≌△ECO（SSS）.所以∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）.

第1课时

探究活动1　三角形全等的条件

探究活动2　知识运用,巩固提升

探究活动3　三角形稳定性的认识

一、教材作业

【必做题】

教材第99页习题4.6数学理解第1,2题.

【选做题】

教材第100页习题4.6问题解决第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,AC=BD,如果想增加一个有关边相等的条件,就可以直接得到△ABC≌△BAD,那么这个条件是（　　）

A.BC=ADB.AB=BC

C.BD=BCD.AC=BC

2.如图所示的是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂.调整架身,使点A恰好在重锤线上,AD和BC的位置关系为　　　　. 

3.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.试说明∠C=∠A.

4.如图所示,AC=AD,BC=BD,AB是∠CAD的平分线吗?

说明理由.

【能力提升】

5.如图所示,AB=CD,AD=CB,E,F是AC上两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中共有几对全等三角形?

请任选一对说明理由.

【拓展探究】

6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,连接AD.

（1）试判断AD与BC的位置关系,并说明理由;

（2）AD能否平分∠BAC;

（3）请你用简短的语言小结这一结论.

【答案与解析】

1.A（解析:

因为AC=BD,AB=AB,BC=AD,所以△ABC≌△BAD（SSS）.）

2.AD垂直平分BC（解析:

由题意可知△ABD≌△ACD,所以AD垂直平分BC.）

3.解:

连接BD.在△ABD和△CBD中,因为AB=CB,AD=CD,BD=BD,所以△ABD≌△CBD.所以∠C=∠A.

4.解:

是.由于AC=AD,BC=BD,AB=AB,所以△ABC≌△ABD（SSS）,所以∠CAB=∠DAB,即AB平分∠CAD.

5.解:

3对,分别是△ABC≌△CDA,△ABF≌△CDE,△ADE≌△CBF.选择△ABC≌△CDA,理由:

因为AB=CD,AC=AC,CB=AD,所以△ABC≌△CDA.

6.解:

（1）AD⊥BC.理由:

因为D为BC的中点,所以BD=DC,又因为AD=AD,AB=AC,所以△ABD≌△ACD,所以∠ADB=∠ADC=90°.所以AD⊥BC.　

（2）由

（1）知△ABD≌△ACD,所以∠BAD=∠CAD,即AD能平分∠BAC.　（3）等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合,即等腰三角形三线合一.

让学生花费足够的时间去探索三角形全等的条件,充分经历实践探索交流全过程有着重要的价值,而不能省略其中的一个或多个步骤.在探索三角形全等的“边边边”条件的过程中,目标是明确的,问题是开放的,思维是发散的,操作是自由的,结论是待定的.

课堂教学活动时间分配有不合理的地方,达标检测有待细化.

本节课教学内容比较丰富,具体操作时间相对比较紧张,对教学环节恰当的调控可以有效地完成本节课的教学目标,如果课上进行的较慢,则可以适当地删减课内的一部分习题,着重于知识理论的建立.

习题4.6（教材第99页）

数学理解

1.解:

（1）不能,因为三角形具有稳定性.　

（2）四边形的形状改变了;五边形的形状也改变了.　（3）这种现象说明只有三角形具有稳定性,而四边形、五边形等没有.

2.解:

不一定全等.因为三边长不一定相等.

问题解决

3.提示:

根据“SSS”和全等三角形的对应角相等即可说明每一步成立的理由.

本节课我主要采用“探究式教学”和“启发式教学”的教学方法,引导学生采用动手实践、自主探索、合作交流的学习方法进行探索知识;利用分类思想引导学生画图、观察、比较、推理、交流,在条件由少到多的过程中逐步探索出最后结论.

第

课时

1.经历探索三角形全等条件的过程,并掌握三角形全等的“角边角”与“角角边”条件.

2.能熟练运用“ASA”和“AAS”判定两个三角形是否全等以及在日常生活中的运用.发展学生有条理的表达能力.

1.培养学生动手操作、探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程.

2.培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程.

通过多种手段的活动过程,让学生动手操作,激发学生学习的兴趣,并能通过合作交流解决问题,体会数学在现实生活中的应用,增强学生的自信心.

【重点】　掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.

【难点】　能够进行有条理的思考并进行简单的推理.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P100~101.

导入一:

　　[过渡语]　我们已学过判别两个三角形全等至少需要几个条件?

已经通过验证判别三角形全等的简便方法是什么?

1.已知AB=DC,AC=DB,那么∠A与∠D相等吗?

2.已知AC=AD,BC=BD,试说明AB是∠DAC的平分线.

[处理方式]　问题1,2由学生口答完成.

[设计意图]　既复习了全等三角形的“SSS”的识别方法,又唤起学生对新知识探索学习的渴望,引发学生兴趣,从而提高学生学习的热情.

3.创设情境.

有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?

【思考】　判别三角形全等是不是还有其他方法呢?

[处理方式]　这个问题让学生议论后回答,他们的答案或许只是一种感觉,于是教师引导学生,抓住问题的本质:

已知三角形的三个元素——两个角一条边.

[设计意图]　本环节既交代了本节课要研究和学习的主要问题,又能较好地激发学生求知与探索的欲望,让学生通过观察思考,对三角形全等条件的探索有一个感性认识.通过精心设计的问题串和系列活动,不断地制造思维兴奋点,再加上学生在学习过程中的动手操作活动,让学生脑、嘴、手动起来,充分调动了学生的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.

导入二:

活动1:

我们已学过识别两个三角形全等的简便方法是什么?

识别三角形全等是不是还有其他方法呢?

活动2:

由前面的学习我们知道,如果给出一个三角形三条边的长度,那么由此得到的三角形都是全等的.如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?

每种情况下得到的三角形都全等吗?

[处理方式]

1.营造良好氛围,激发学生好奇心,引导学生快速进入状态.

2.启发引导学生思考分析,从多个角度展开联想.根据老师提出的问题,联想前面学过的知识,积极思考,探求新知.

[设计意图]　既复习了全等三角形的“SSS”的识别方法,又唤起学生对新知识探索学习的渴望,引发学生兴趣,从而提高学生学习的热情.

　　[过渡语]　如果已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?

每种情况下得到的三角形都全等吗?

探究活动1　角边角和角角边的探索

思路一

【活动内容1】　（多媒体出示）让学生拿出提前准备好的60°角,80°角和2cm的线段,以小组为单位,进行操作拼接成三角形,再进行对比,看一看组成的三角形是否全等.

[处理方式]　让学生动手操作.以分组讨论的形式得出三角形全等的条件.这样我们便巩固了知识,并培养学生的动手能力,在讨论活动中让学生得到友情的陶冶,培养学生的动手操作能力,收到了良好的效果,先由学生代表回答,最后老师总结三角形全等的另外一种简便的识别方法.

教师板书:

如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“角边角”或简记为“ASA”

用符号语言表示为:

在△ABC和△DEF中,

所以△ABC≌△DEF（ASA）.

[设计意图]　通过实践操作,使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,让他们尝到成功的喜悦.让学生懂得数学就来自于我们的生活,体会到数学与我们生活的联系.让学生逐步深入,符合学生的认知规律.培养学生的创新精神,增强学生的合作意识.

【活动内容2】　让学生拿出提前准备好的60°角,45°角和3厘米的线段,以小组为单位,进行操作拼接成三角形.

（1）如果60°角所对的边是3cm,所组成的三角形是否全等?

（2）如果45°角所对的边是3cm,所组成的三角形是否全等?

[处理方式]　学生以小组为单位进行作图,若遇到困难,小组内讨论.作图后组员之间,小组之间进行对比.对有困难的小组教师可适当引导,进行点拨.引导学生借助类比及转化的思想将问题转化为第一种情况,即:

两角及夹边的问题,作图对比后结论先由学生代表回答,最后老师总结三角形全等的另外一种简便的识别方法.

教师板书:

如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“角角边”或简记为“AAS”.

用符号语言表示为:

在△ABC和△DEF中,

所以△ABC≌△DEF（AAS）.

[设计意图]　通过学生实践,自主探究、合作交流,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力,提高他们归纳知识的能力和语言组织能力、表达能力.

思路二

活动1:

“角边角”.

（1）已知三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗?

你画的三角形与同桌画的一定全等吗?

[处理方式]　动手操作:

测量、画三角形.同学们交流一下画这个三角形的步骤.

1.先画出BC=2cm,然后画∠B=60°,最后画∠C=80°.

2.先画出∠B=60°,然后画BC=2cm,最后画∠C=80°.

同学把画出的三角形剪下来,与同小组比较,看是否重合.

（惊奇、新奇地回答）我们组画出的三角形都全等.

（投影片展示两位学生的作品）

归纳“角边角”.（投影展示“角边角”）

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.

用符号语言表示为:

在△ABC和△DEF中,

因为∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F.

所以△ABC≌△DEF（ASA）.

活动2:

“角角边”.

让学生拿出提前准备好的60°角,45°角和3厘米的线段,以小组为单位,进行操作拼接成三角形.

（1）如果60°角所对的边是3cm,所组成的三角形是否全等