深圳杯数模比赛A题最新答案.docx

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深圳杯数模比赛A题最新答案

XX人口与医疗需求预测摘要问题一中，由于XX市不同于常规一线城市，从结构来看，XX人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，影响人口数量增长的因素较多，人口年龄结构变化大，常用人口预测模型误差较大，本文通过Mathematica二次曲线拟合预测产生未来十年产业从业人员比例，并建立多元线性回归拟合模型来预测XX市非常住人口数量，其次用Markov链预测未来人口年龄结构比例，利用Matlab程序预测未来具有就医需求的总人口数并得出XX市床位需求，以及各区床位需求。

问题二中，选取两种疾病，利用灰色GM（1,1）模型预测小儿肺炎和老年性白内障未来十年的入院率，利用Excel处理得出对各类医疗机构床位需求权重，得到未来十年的小儿肺炎的床位需求和老年性白内障对各类医疗机构的床位需求。

关键词：

关键词：

二次曲线拟合预测Markov链多元线性回归灰色GM（1,1）预测模型-1-一、问题重述XX市我国人口增长最快的地方，从1980年到2010年，XX每年都以30多万的人口增幅增长，到2010年XX市总人口已达到1037万人。

从结构来看，XX人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。

XX流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。

年轻人身体强壮，发病较少，因此XX目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。

然而，随着时间推移和政策的调整，XX老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。

这些都可能导致XX市未来的医疗需求与现在有较大的差异。

就XX市的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

问题一：

分析XX近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年XX市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。

问题二：

根据XX市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：

肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

二、问题分析问题一：

近十年常住人口、非常住人口（由给出的数据得知，常住人口包括户籍人口和流动人口中非户籍人口（居住时间在6个月以上），非常住人口是流动人口中居住时间在六个月之内）与城市的经济产业发展高度相关。

产业结构影响非常住人口数量，非常住人口数量影响常住人口数量，具有就医需求的人口数量等于常住人口与非常住人口之和。

问题二中，由问题一得出的数据，针对人群对各类医疗机构的选择计算出需求权重，得出不同类型的医疗机构就医的床位需求。

问题二：

每一种疾病都会有一个高发人群年龄段，例如，老年性白内障，心脏病、高血压等疾病多发生在老年人中，而小儿肺炎发生在少年儿童中，因此该年龄段人口的比例严重影响着该种疾病入院率。

因此需要预测先预测出来XX市未来十年的入院率，其次在根据问题一得出的人口结构数量计算出每年的入院人数，再根据床位数=该病入院人数×平均住院日得出该种病的床位需求。

一年的总天数（365天）三、模型假设1、假设XX市各区人口体质保持不变，并且在同一年度各区入院率相同。

2、假设每种病每年平均住院日保持不变。

3、假设所预测出来的医院床位每天没有空闲的时候。

4、假设各区相对封闭，本区人口不会跨区就医。

-2-

5、假设儿童0—14岁人群、青年人中年人15——64岁人群及老年人（65岁以上）人群同一年的入院率相同。

四、模型建立和求解模型建立和求解4.1模型I的建立和求解首先先利用多元线性拟合模型预测出近十年年末非常住人口数由2000—2010年XX市第一产业从业人员比率、第二产业从业人员比率、第三产业从业人员比率3个影响因子的数据。

如表1：

表1：

以从业人员为100年份2007200820092010表2：

年份年末非常住人口数y1263.81（万人）269.56278.42284.802007200820092010第一产业（%）0.10.10.10.0第二产业（%）54.154.153.951.5第三产业（%）45.845.846.048.5以上3个因素为自变量，以XX市年末非常住人口数y1作为因变量，建立一个多元线性回归模型。

由表2得到因变量y1的数组：

y1=[263.81269.56278.42284.80]由表1得到自变量x1，x2，x3的3个数组：

x1=[0.10.10.10]x2=[54.154.153.951.5]

x3=[45.845.846.048.5]

-3-

263.81269.56将y1矩阵进行转置得到y1=278.42284.80增添一组常数项x0=[0000]将x=[x0x1x2x3]转置得到0.00010.00010.00010.0001∧0000x=×1040.00540.00540.00540.00520.00460.00460.00460.0049由模型，用矩阵微分法得到X'Xβ=X'Y，则β=（X'X）1X'Y所以通过MatLab进行矩阵运算得到311.5314∧1.2452β1=2.42442.0232即得到多元拟合线性方程y1=311.5314+1.2452x12.4244x2+2.0232x3根据近十一年的数值（见表3），通过Mathematica作二次曲线数据拟合预测图（图示1），得到x1，x2，x3，3个变量在2011年—2020年的预测值（见表4）。

表3：

以从业人员为100年份2000200120022003200420052006第一产业0.80.70.80.80.50.50.3（%）第二产业5755.755.85757.657.757.4（%）第三产业（%）42.243.643.542.241.941.842.3

-4-

2007200820092010

0.10.10.10.0

54.154.153.951.5

45.845.846.048.5由Mathematica作二次曲线数据拟合得出3个二次函数如下：

f（x1）=0.0002x20.0845x+0.9539，第一产业从业人员比率函数，其中相关系数r2=0.9862，拟合效果较好。

f（x2）=0.1205x2+1.0298x+54.983，第二产业从业人员比率函数，其中相关系数r2=0.9985，拟合效果较好。

f（x3）=0.1224x20.9631x+44.113，第三产业从业人员比率函数，其中相关系数r2=0.9732图示1：

经过Mathematica运算，得到表4表4：

年份第一产业（%）以从业人员为100第二产业（%）-5-第三产业（%）2011201220132014201520162017201820192020

0000000000

51.450.048.546.143.939.733.832.530.229.6

48.650.051.553.956.160.366.267.569.870.4把所预测出的x1，x2，x33个变量代入得到的多元拟合线性方程的得到表5表5：

年份年末非常住人口（万人）年份年末非常住人口（万人）20112012201320142015

285.2448

291.4714

298.1428

308.817

318.6018

2016

2017

2018

2019

2020

337.2817

363.5225

369.3044

379.5339

382.2024其次利用多元线性拟合模型预测出近十年年末常住人口数由2000—20010年XX市第一产业从业人员比率、第二产业从业人员比率、第三产业从业人员比率、非常住人口数4个影响因子的数据。

如表6.表6：

以从业人员为100年份第一产业（%）第二产业（%）第三产业（%）0.357.442.30.154.145.80.154.145.80.153.946.0051.548.5非常住人口数（万人）20062007200820092010

243.01263.81269.56278.42284.80表7：

年份20062007200820092010

-6-年末常住人口数（万人）

875.23

912.37

954.28

995.01

1037.2以上4个因素为自变量，以XX市年末非常住人口数y2作为因变量，建立一个多元线性回归模型。

由表2得到因变量y2的数组：

y2=[875.23912.37954.28995.011037.2]由表1得到自变量x1，x2，x3，x4的3个数组：

x1=[0.30.10.10.10]x2=[57.454.154.153.951.5]

x3=[42.345.845.846.048.5]

x4=[243.01263.81269.56278.42284.80

875.23912.37将y矩阵进行转置得到y2=954.28995.011037.2增添一组常数项x0=[00000]将x=

]

[

x0x1x2x3x4

]转置得到0.000100.00540.00460.026950.000100.00540.00460.027840.00010∧0.0052×1040.00490.02848

0.00010x=0.00570.00420.02430

0.000100.00540.00460.02638由模型，用矩阵微分法得到X'Xβ=X'Y，则β=（X'X）1X'Y所以通过MatLab进行矩阵运算得到201.82682.2344∧β2=3.96321.23543.9644

-7-即得到多元拟合线性方程y2=201.8268+2.2344x16.9632x2+1.2354x3+3.9644x4把已经预测来的从2011年—2020年第一产业比率、第二产业比率、第三产业比率、非常住人口数数值带入y2中得到常住人口2011年—2020年的预测人数（见表8）。

表8：

年份年末常住人口（万人）年份年末常住人口（万人）20111034.78120161337.00220121070.94620171489.40320131109.69220181522.98320141171.68520191582.39320151228.51320201597.891经过以上预测已经得出常住人口和非常住人口从2011年—2020年得人口数根据公式：

有就医需求人数=常住人口数+非常住人口数可以预测出从2011年—2020年的实有人口数，见表9.表9：

第一产第二产第三产年末非常住人业（%）业（%）业（%）口数（万人）000000000051.45048.546.143.939.733.832.530.229.648.65051.553.956.160.366.267.569.870.4285.2442291.4714298.1428308.817318.6018337.2817363.5225369.3044379.5339382.2024年末常住人口数（万人）1040.78091070.94601109.69201171.68551228.51321337.00201489.40271522.98271582.39331597.8914有就医需求人数（万人）1326.02511362.41741407.83481480.50251547.11501674.28371852.92521892.28711961.92721980.0938年份2011201220132014201520162017201820192020

4.2模型II的建模和求解利用Markov链预测XX市从2011年—2020年的人口结构，首先把年龄在0—14岁划分为儿童，15—54岁划分为中年人，65岁以上划分为老年人，根据2000年、2005年、2010年三个年龄段的人口数如表十预测出以后十年的三个年龄段所占总人口的比例表10：

年份0-14岁15-64岁65岁以上总人口20005953296327567

-8-

85935

7008831

20052010表11：

年份200020052010

7525181023345

73935339150558

131414183851

827746510357754

0-14岁8.5%9.1%9.9%

15-64岁90.3%89.3%88.4%

65岁以上1.2%1.6%1.8%由上面的数据可以计算一步转移概率矩阵，设每年0-14、15-64、65以上人口所占比例分别为1、2、3每相邻年饭为一步2000年、2005年、2010年状态转移概率为：

p11=1

p23=

p12=0

p13=0

p21=

6903

p22=

893903

4p31=0p32=0903所以2000年—2005年的状态转移概率矩阵为：

p33=1

p1=

169030

08939030

04903１同理可得出2005年—2010年的状态转移概率矩阵为：

p2=1889300884893002893１为了消除样本的随机性影响，更加客观描述状态规律，在此取p1、p2的平均作为转移概率：

p

1（p1+p2）÷2=0.010

00.990

001根据以上得到的转移概率矩阵预测出XX市未来十年的人口年龄结构，一步状态转移矩阵会随着国民经济的发展发生很多变化，在此假设只要不发生重大事件（如：

战争、自然灾害等），这一状态在今后十年基本保持不变，以2000年、2005年、2010年三年-9-各年龄阶段所占比例的平均值作为初始状态，即：

λ0=（9.289.31.5），按目前转移状态概率基本不变，则可以利用公式：

λn=λ0pn可以预测今后十年XX市的人口年龄结构（以下计算均在Matlab6.1软件下完成）。

2011年人口年龄结构预测：

当n=1时11λ1=λ0p=（9.289.31.5）0.01000.990001

1

=（10.1

881.9）表示XX市在2011年，10.1%人口年龄在0-14岁之间，88%人口年龄在15-64岁之间，1.9%人口年龄在65岁以上，同理，当n=1~10之间时，可预测出其余九年的人口年龄结构，如表12.表12：

年份20112012201320142015201620172018201920200-14岁（%）10.110.311.011.712.212.813.414.014.515.115-64岁（%）88.087.786.986.185.484.683.983.182.481.665岁以上（%）1.92.02.12.22.42.62.72.93.13.3根据模型I求出的有就医需求的人数和表十二的结果就可计算出从2011年—2020年每年不同年龄段的人口数，如表13.表13：

年份201120122013201420150-14岁（万人）133.9285140.3290154.8618173.2188188.748015-64岁（万人）1166.9021194.8401223.4081274.7131321.23665岁以上（万人）25.1944827.2483529.5645332.5710637.13076有就医需求人数（万人）1326.02511362.41741407.83481480.50251547.1150

-10-

20162017201820192020

214.3083248.2920264.9202284.4794298.9942

1416.4441554.6041572.4911616.6281615.757

43.5313850.0289854.8763360.8197465.34310

1674.28371852.92521892.28711961.92721980.0938

4.3模型III预测XX市床位需求XX市床位的需求来自住院人数的多少。

而影响住院人数的因素包括有就医需求总人数，人口年龄结构等。

表14：

年份20062007200820092010住院人数（万人）59.241868.086575.337979.701986.35240-14岁（万人）96.6159105.3857114.9186123.2680132.200015-64岁（万人）1005.29781052.68111089.21761128.25901166.004065岁以上（万人）16.326318.113219.703821.903023.7960有就医需求人数（万人）1118.24001176.18001223.84001273.43001322.0000为此，我们根据表14的数据，设y=a+bx1+cx2+dx3，其中y为住院人数，a为常数项，b,c,d为相关参数，x1为0-14岁的人口数量，x2为15-64岁人口数量，x3为65岁以上人口数量，运用Matlab程序如下：

y=[59.241868.086575.337979.701986.3524]';x=[96.6159105.3857114.9186123.2680132.2000]';1x=[1005.29781052.68111089.21761128.25901166.0040]';2x=[16.326318.113219.703821.903023.7960]';3[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,[ones（size（y））,x,x,x]）123解得：

a=16.3542,b=0.4962,c=0.1551,d=0.6464所以，原方程为：

y=16.3542+0.4946x10.0155x2+0.6464x3将表13所预测的数据代入方程式，可得出未来十年的住院人数，如表15。

-11-表15年份住院人数（万人）年份住院人数（万人）201180.99662016128.8636201285.06682017147.7835201393.33212018158.89032014103.58852019171.75292015113.51992020181.8925床位需求=住院人数×年平均住院日/365其中，年平均住院日为近几年的年平均住院的平均数，如表15。

表16年份年平均住院日20068.320078.120088.420098.120108平均值8.18结合上方数据和公式，可得出未来十年XX市床位需求，如表17表17年份床位需求年份床位需求201118152201628879201219064201733119201320917201835608201423215201938491201525440202040763XX市各区人口如表18：

表18：

地区XX市罗湖区福田区南山区宝安区龙岗区盐田区光明新区坪山新区各区床位需求:

人口数10357754923470131********00840178052011224208878481505309244所占XX市比例1.00000.08920.12720.10500.38790.19420.02020.04650.0299

q（n）=k（n）×Q（n），其中q（n）为各区床位需求，k（n）为各区人口所占XX市比例，Q为XX市床位需求，n表示年份。

-12-经计算得如下表19。

表19：

年份市罗湖区福田区南山区宝安区龙岗区盐田区光明新区坪山新区20111815216182309190770413525366844542201219064170024252003739537023848865692013209171865266121978114406242297262520142321520702953243990054508468107969320152544022683236267298684940513118376020162887925753674303411202560858213438622017331192953421334791284764316681540989201835608317545303740138126914718165510632019384913432489640431493174747761789114920204076336345186428215812791582218951217

4.4模型IV的建立和求解预测XX市某一种疾病在不同类型医疗机构的床位需求就要预测该种疾病总的床位需求，而决定床位需求的就是该种疾病的患病入院人口，也就是XX市该种疾病的入院率。

而入院率又和人口结构有着密切的关系，因为每一种疾病都会有一个高发人群年龄段，例如，老年性白内障，心脏病、高血压等疾病多发生在老年人中，而小儿肺炎发生在少年儿童中，因此该年龄段人口的比例严重影响着该种疾病入院率。

因此，通过分析XX市历年该种疾病入院率与人口结构的关系，预测出XX市该种疾病未来十年的入院人数，首先要