二次函数指导应用题之最值问题.docx

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二次函数指导应用题之最值问题

二次函数应用题之最值问题（讲义）

一、知识点睛

1.理解题意，辨识类型．

二次函数应用题常见类型有：

实际应用问题，最值问题．

2.梳理信息，确定_______________及__________________，建立函数模型．

①梳理信息时需要借助_______________．

②函数模型：

确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．

例如：

问“当售价为多少元时，年利润最大？

”确定售价为自变量x，年利润为因变量y，年利润=（售价-进价）×年销量，用x表达年销量，从而确定y与x之间的函数关系．

3.根据二次函数性质求解，_____________．

验证结果是否符合实际背景及自变量取值围要求．

二、精讲精练

1.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出，且每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，公司平均每日的各项支出共

4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．

（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元

（用含x的代数式表示）；

（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？

最大是多少元？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

【分析】

日租金

租出车辆

每日成本

解：

2.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值

围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

根据以上结论，请你直接写出售价在什么围时，每个月的利润不低于2200元．

【分析】

售价

进价

利润

销量

解：

3.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值围．

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值围．

4.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在5~50（单位：

cm）之间．每薄板的成本价（单位：

元）与它的面积（单位：

cm2）成正比例；每薄板的出厂价（单位：

元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：

薄板的边长（cm）

20

30

出厂价（元/）

50

70

（1）求一薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．

（2）已知出厂一边长为40cm的薄板，获得的利润为26

元．（利润=出厂价-成本价）

①求一薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一薄板所获得的利润最大？

最大利润是多少？

【分析】

边长

出厂价

成本价

解：

5.我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调查发现：

该产品的销售单价定在150元到300元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反映的一次函数：

销售单价x（元）

200

230

250

年销售量y（万件）

10

7

5

（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值围．

（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？

若盈利，最大利润是多少？

若亏损，最少亏损多少？

（3）在

（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利1790万元？

若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．

【分析】

售价

成本

利润

年销量

其他成本

解：

三、回顾与思考

【参考答案】

知识点睛

2．函数表达式，自变量取值围．①列表、图形．

3．验证取舍．

精讲精练

1．

（1）

；

（2）当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大是

5000元．

（3）当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏．

2．

（1）

（

，且x为正整数）；

（2）每件商品的售价定为5元或6元时，每个月可获得最

大利润，最大的月利润是2400元；

（3）每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润

恰为2200元，每件商品的售价m满足

时，每

个月的利润不低于2200元．

3．

（1）

（

）；

（2）垂直于墙的一边的长为

米时，这个苗圃园的面积最

大，最大面积是

平方米；

（3）

．

4．设一薄板的边长为xcm，出厂价为y元，利润为w元．

（1）

；

（2）①

；

②当边长为25cm时，出厂一薄板所获得的利润最大，最

大利润是35元．

5．

（1）

（

）；

（2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损310万元；

（3）不能，理由略．

二次函数应用题之最值问题

（随堂测试）

1.某商场将进货单价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：

这种冰箱的销售单价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是

y元，请求出y与x之间的函数关系式．

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又

要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润

最高？

最高利润是多少？

【分析】

售价

进价

利润

销量

【参考答案】

1．

（1）

．

（2）每台冰箱应降价200元．

（3）每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润

最高，最高利润是5000元．

二次函数应用题之最值问题（作业）

1.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：

销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．

（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值围．

（2）当每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为

2520元？

（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？

最大的月销售利润是多少？

【分析】

售价

进价

利润

月销量

解：

2.在Rt△ABC的部作一个矩形DEFG，按如图所示的位置放置，其中∠A=90°，AB=40m，AC=30m．

（1）如果设矩形的一边DE=xm，那么DG边的长度如何

表示？

（2）在

（1）的条件下，设矩形的面积为ym2，则当x取何值时，y的值最大？

最大值是多少？

3.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，已知绿茶每千克的成本为50元，在第一个月的试销时间发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：

销售单价x（元/kg）

…

70

75

80

85

90

…

销售量w（kg）

…

100

90

80

70

60

…

设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）．

（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值围）；

（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值围），并求出当x为何值时，y的值最大；

（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门的干预，销售单价不得高于90元/kg，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？

【分析】

售价

成本

利润

销量

其他成本

解：

4.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且图象经过点

（0，-3）．求这个二次函数的解析式．

5.二次函数

的图象如图所示，若一元二次方程

有实数根，则m的最大值为（）

A．-3B．3C．-5D．9

6.抛物线

上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x

…

-1

2

3

5

…

y

…

0

0

-6

…

根据上表判断下列五种说法：

①抛物线的对称轴是直线x=1；

②当

时，y随x的增大而减小；③抛物线有最高点，顶点坐标为（2，

）；④抛物线的解析式为

；

⑤以抛物线的顶点以及与x轴的两个交点为顶点的三角形的面积为4．其中正确结论的序号是_______________．

7.二次函数

（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①

；②

；③

；

④

；⑤

；⑥

（m≠1）．

其中正确结论的序号是_______________．

【参考答案】

1．

（1）

（

，且x为正整数）；

（2）当每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰好为

2520元；

（3）每件玩具的售价定为6元或7元时，可使月销售利润最

大，最大的月销售利润是2720元．

2．

（1）

；

（2）当x=12时，y的值最大，最大值是300．

3．

（1）

；

（2）

，当x=85时，y的值最大；

（3）第2个月里应该确定销售单价为75元．

4．

5．B

6．①②④⑤

7．①④⑤⑥

每周一练

（二）

1.△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且

，则△ABC一定是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．有一个角是60°的三角形

2.已知

，那么

的值为（）

A．

B．

C．1D．

3.对于二次函数

，下列说确的是（）

A．图象开口向下

B．当

时，y随x的增大而减小

C．函数有最小值-8

D．与y轴交点的坐标为（0，-8）

4.在同一平面直角坐标系，将函数

的图象沿

轴向右平移2个单位长度后再沿

轴向下平移1个单位长度，所得图象的顶点坐标是（）

A．（-1，1）B．（1，-2）

C．（2，-2）D．（1，-1）

5.将抛物线

的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为

，则有（）

A．b=2，c=6B．b=2，c=-6

C．b=-6，c=14D．b=-6，c=0

6.

二次函数

的图象如图所示，则一次函数

的图象经过（）

A．