九年级数学上册 第2章 教案北师大版.docx

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九年级数学上册第2章教案北师大版

第二章一元二次方程

1认识一元二次方程

第1课时一元二次方程的定义

【知识与技能】

探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识.

【过程与方法】

在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系.

【情感态度】

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

【教学重点】

一元二次方程的概念.

【教学难点】

如何把实际问题转化为数学方程.

一、情境导入,初步认识

问题1：

有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2：

一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？

你能设出未知数，列出相应的方程吗？

【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.

二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？

（1）（100-2x）（50-2x）＝3600

（2）（x+6）2+72=102

【教学说明】

分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2.

【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）

这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

活动中教师应重点关注：

（1）引导学生观察所列出的两个方程的特点；

（2）让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；

（3）强调定义中体现的3个特征：

①整式；②一元；③2次.

【教学说明】

让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.

三、运用新知，深化理解

1.下列方程是一元二次方程的有_______.

（1）x2+1/x-5=0

（2）x2-3xy+7=0

（3）x+

=4（4）m3-2m+3=0

（5）

x2-5=0（6）ax2-bx=4

解答：

（5）

2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程.

解析：

当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠-2时，方程是一元二次方程.

解答：

m=-2m≠-2

3.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______.

解析：

一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.

解答：

2x2－x－7=0

4.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为（）

A.x2+6/5x+3/5=0B.x2-6x-3=0

C.x2-6/5x-3/5=0D.x2-6/5x+3/5=0

解析：

注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.

解答：

C

5.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是_______.

解答：

m≠-3

6.把方程（1-3x）（x+3）=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.

解：

原方程化为一般形式是：

5x2+8x-2=0，其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2（因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的符号）.

7.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？

分析：

先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

解：

由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0,所以m-1≠0，即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.

【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解.

四、师生互动、课堂小结

本节课你学到了哪些内容和方法？

【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.

1.布置作业：

教材“习题2.1”中第1、2题.

2.完成练习册中相应练习.

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且能够真正消化.

第2课时一元二次方程的根及近似解

【知识与技能】

会进行简单的一元二次方程的试解.

【过程与方法】

根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.

【情感态度】

理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.

【教学重点】

判定一个数是否是方程的根.

【教学难点】

会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.

一、情境导入，初步认识

学生活动：

请同学独立完成下列问题.

问题1：

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？

设梯子底端距墙为xm，那么，

根据题意，可得方程为x2+82=102.

整理，得x2-36=0.

列表：

问题2：

一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.

根据题意，得x（x+2）=120.

整理，得x2+2x-120=0.

列表：

【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.

二、思考探究，获取新知

提问：

（1）问题1中一元二次方程的解是多少？

问题2中一元二次方程的解是多少？

（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？

问题2呢？

老师点评：

（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解.

（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.

为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回过头来看：

x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.

【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.

三、运用新知，深化理解

1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

分析：

要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.

解：

将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.

2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2014（a+b+c）的值.

分析:

如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.

3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0

（3）x2-3x=0

分析：

要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.

4.x（x-1）=2的两根为（D）

A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1

C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=2

5.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）

A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/a

C.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b2

6.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=9，x2=-9.

7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.

解：

由已知，得a+b=-3，

原式=（a+b）2

=（-3）2

=9

8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：

-1必是该方程的一个根.

解：

由题意可知：

a+c=b，a-b+c=0，

把x=-1代入原方程，得

ax2+bx+c

=a×（-1）2+b×（-1）+c

=a-b+c

=0

∴-1必是该方程的一个根.

9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（

）2-2×

+1=0，令

=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：

求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.

解：

设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，

当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；

当x2-1=-1时，x3=x4=0.

∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.

【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.

四、师生互动，课堂小结

本节课应掌握：

1.一元二次方程根的概念；

2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；

3.求一元二次方程的根的方法.

1.布置作业：

教材“习题2.2”第1、2题.

2.完成练习册中相应练习.

本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.

2用配方法求解一元二次方程

【知识与技能】

理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

【过程与方法】

通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

【情感态度】

学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

【教学难点】

了解并掌握用配方求解一元二次方程.

一、情境导入,初步认识

1.根据完全平方公式填空：

（1）x2+6x+9=（）2

（2）x2-8x+16=（）2

（3）x2+10x+（）2=（）2

（4）x2-3x+（）2=（）2

2.解下列方程：

（1）（x+3）2=25；

（2）12（x-2）2-9=0.

3.你会解方程x2+6x-16=0吗？

你会将它变成（x+m）2=n（n为非负数）的形式吗？

试试看，如果是方程2x2+1=3x呢？

【教学说明】利用完全平方知识填空，为后面学习打下基础.

二、思考探究，获取新知

思考：

怎样解方程x2+6x-16=0？

x2+6x-16=0

移项：

x2+6x=16

两边都加上9,即

，使左边配成

x2+2bx+b2的形式：

x2+6x+9，右边为：

16+9；

写成平方形式：

（x+3）2=25

降次：

x+3=±5

解一次方程：

x+3=5，x+3=-5，

∴x1=2，x2=-8

【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将x2+px+q=0形式转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式.

【归纳结论】通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.

三、运用新知，深化理解

1.解方程（注：

学生练习，教师巡视，适当辅导）.

（1）x2-10x+24=0；

（2）（2x-1）（x+3）=5；

（3）3x2-6x+4=0.

解：

（1）移项，得x2-10x=-24

配方，得x2-10x+25=-24+25，

由此可得（x-5）2=1，

x-5=±1，

∴x1=6，x2=4

（2）整理，得2x2+5x-8=0.

移项，得2x2+5x=8

二次项系数化为1得x2+

x=4

配方，得x2+

x+（

）2=4+（

）2

由此可得（x+

）2=

x+

=

∴x1=

，x2=

（3）移项，得3x2-6x=-4

二次项系数化为1，得x2-2x=

配方，得x2-2x+12=

+12

（x-1）2=

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1）2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根.

2.用配方法将下列各式化为a（x+h）2+k的形式.

（1）-3x2-6x+1；

（2）

y2+

y-2；

（3）0.4x-0.8x-1.

【教学说明】化二次三项式ax2+bx+c（a≠0）为a（x+h）2+k形式分以下几个步骤：

（1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1；

（2）配方：

在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方；

（3）化简、整理.

本题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础.

四、师生互动，课堂小结

1.本节课学习的数学知识是用配方法解一元二次方程；

2.本节课学习的数学方法是：

①转化思想，②根据实际问题建立数学模型；

3.用配方法求解一元二次方程的一般步骤是什么？

（1）把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；

（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

（3）配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（x+h）2=k的形式；

（4）用直接开平方法解变形后的方程.

【教学说明】使学生在直观的基础上学习归纳，促进学生形成科学的、系统的数学知识体系.

1.布置作业：

教材“习题2.4”中第1题.

2.完成练习册中相应练习.

在教学过程中，由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师做学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.

3用公式法求解一元二次方程

【知识与技能】

1.理解求根公式的推导过程和判别公式.

2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.

【过程与方法】

通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.

【情感态度】

让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.

【教学重点】

求根公式的推导和公式法的应用.

【教学难点】

理解求根公式的推导过程及判别公式的应用.

一、情境导入,初步认识

用配方法解方程：

（1）x2+3x+2=0

（2）2x2-3x+5=0

【教学说明】学生板演，复习旧知.

二、思考探究，获取新知

1.探究：

用配方法解方程：

ax2+bx+c=0（a≠0）.

分析：

前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.

解：

移项，得：

ax2+bx=-c

因为a≠0，所以方程两边同除以a，得：

x2+

x=

配方，得：

x2+

x+（

）2=

+（

）2

即（x+

）2=

∵a≠0，∴4a2>0，当b2-4ac≥0时，

≥0

∴x+

=

即x=

∴x1=

，x2=

【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=

（b2-4ac≥0），

就可求出方程的根；

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式；

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：

（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；

（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分.

【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.

2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

（1）2x2-3x=0；

（2）3x2-2

x+1=0；

（3）4x2+x+1=0.

【归纳总结】

（1）当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，即x1=

，x2=

；

（2）当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=-

；

（3）当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.

【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系.

三、运用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程.

（1）2x2-x-1=0；

（2）x2+1.5=-3x；

（3）x2-

x+12=0；

（4）4x2-3x+2=0.

分析：

用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解.

【教学说明】

（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=

中，可求得方程的两个根；

（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.

2.不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3；

（2）9x2+6x+1=0；

（3）2x2-9x+8=0；

（4）x2-7x-18=0.

分析：

不解方程，判定方程根的情况，只需根据b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.

3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.

分析：

要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.

解：

∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.

∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

∴a<-2

∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，

∴所求不等式的解集为x<-3/a.

【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.

四、师生互动，课堂小结

本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.

1.布置作业：

教材“习题2.5”中第1、2题.

2.完成练习册中相应练习.

通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.

4用因式分解法求解一元二次方程

【知识与技能】

能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法.

【过程与方法】

通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.

【情感态度】

通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法.

【教学重点】

用因式分解法解一元二次方程.

【教学难点】

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.

一、情境导入,初步认识

复习：

将下列各式分解因式

（1）5x2-4x；

（2）x2-4x+4；

（3）4x（x-1）-2+2x；

（4）x2-4；

（5）（2x-1）2-x2.

【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度.

二、思考探究，获取新知

一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？

如果相等，这个数是几？

你是怎样求出来的？

板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程.

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法.

【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.

三、运用新知，深化理解

1.解方程5x2＝4x.

解：

原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步

∴x＝0或5x-4＝0……第二步

∴x1=0，x2=4/5.

【教学说明】教师提问、板书，学生回答.

分析步骤

（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤

（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.

2.用因式分解法解下列方程：

（1）5x2+3x＝0；

（2）7x（3-x）＝4（x-3）；

（3）9（x-2）2＝4（x+1）2.

分析：

（1）左边＝x（5x+3），右边＝0；

（2）先把右边化为0，即7x（3-x）-4（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系；（3）应用平方差公式.

解：

（1）因式分解，得x（5x+3）＝0，

于是得x＝0或5x+3＝0，

x1＝0，x2＝-3/5；

（2）原方程化为7x（3-x）-4（x-3）＝0，

因式分解，得（x-3）（-7x-4）＝0，

于是得x-3＝0或-7x-4＝0，

x1＝3，x2＝-4/7；

（3）原方程化为9（x-2）2-4（x+1）2＝0，

因式分解，得

［3（x-2）+2（x+1）］［3（x-2）-2（x+1）］＝0，

即（5x-4）（x-8）＝0，

于是得5x-4＝0或x-8＝0，

x1＝4/5，x2＝8.

【教学说明】

（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：

一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解.

（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数.

3.选择合适的方法解下列方程.

（1）2x2-5x+2=0；

（2）（1-x）（x+4）=（x-1）（1-2x）；

（3）3（x-2）2＝x2-2x