人教版九年级上册第二十一章 《一元二次方程》单元评测题.docx

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人教版九年级上册第二十一章《一元二次方程》单元评测题

《一元二次方程》单元评测题

一．选择题

1．下列方程：

①

，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④ax2+bx+c＝0，⑤x2+2x＝x2﹣1中是一元二次方程的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（　　）

A．2012B．2016C．2020D．2021

3．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）

A．11B．16C．11或16D．不能确定

4．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．有两个实数根D．没有实数根

5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（　　）

A．（x﹣3）2＝2B．（x﹣3）2＝11C．（x+3）2＝11D．（x+3）2＝2

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0，下列说法正确的是（　　）

A．一次项系数是﹣2B．常数项是3

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

8．若a，b，c是△ABC三条边的长，则关于x的方程cx2+（a+b）x+

＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法确定

9．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：

现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？

若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）

A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2

C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝82

10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（　　）

A．0B．﹣2C．0或﹣

D．﹣2或0

二．填空题

11．方程x2＝2020x的解是　　．

12．已知方程x2﹣mx+12＝0有两个根，一个根为6，求另一个根为　　．

13．如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是　　．

14．已知：

方程（a+9）x|a|﹣7+8x+1＝0是一元二次方程，则a的值为　　．

15．已知关于x的一元二次方程：

x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：

①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；

②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为　　．

三．解答题

16．请选择适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x2+6x+3＝0；

（2）（x+2）2＝3（x+2）．

17．判断关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根的情况，并直接写出关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根及相应的m的取值范围．

18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：

如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．

（1）降价后，每件衬衫的利润为　　元，销量为　　件；（用含x的式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？

19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于

cm？

（2）在

（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？

请说明理由．

20．红心火龙果是仙人掌科三角柱属多年生蔓性植物，是一种新兴的有良好保健功效的水果，原产于西半球赤道附近，中美洲热带雨林地区．因其含有的独特成份，对人体有绝佳的保健功效，从6月份开始，红心和白心两种火龙果开始上市，根据市场调查，红心火龙果售价为20元/千克，白心火龙果售价为15元/千克．

（1）重庆某水果店抓住商机，开始销售这两种火龙果，若第一周红心火龙果的销量比白心火龙果的销量多100千克，要使该水果店第一周销售这两种火龙果的总销售额不低于9000元，则第一周至少销售红心火龙果多少千克？

（2）若该水果店第一周按照

（1）中红心和白心的最低销量销售这两种火龙果，并决定第二周继续销售这两种火龙果，第二周红心火龙果售价降低了

a%，销量比第一周增加了2a%，白心火龙果的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果两种火龙果第二周的总销售额比第一周增加了

a%，求a的值．

参考答案

一．选择题

1．解：

①

是分式方程，故①不是一元二次方程；

②2x2﹣5xy+y2＝0中含有两个未知数，故②不是一元二次方程；

③7x2+1＝0符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程；

④ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程化为bx+c＝0，不含二次项，故④不是一元二次方程；

⑤将x2+2x＝x2﹣1整理得：

2x＝﹣1，不含二次项，故⑤不是一元二次方程．

综上，只有③是一元二次方程．

故选：

A．

2．解：

把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，

所以a﹣b＝﹣5，

所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣5）＝2020．

故选：

C．

3．解：

∵x2﹣9x+14＝0，

∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，

则x﹣2＝0或x﹣7＝0，

解得x＝2或x＝7，

当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去；

当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，

故选：

B．

4．解：

△＝[﹣（k+3）]2﹣4×2（k+1）＝（k﹣1）2，

∵（k﹣1）2≥0，

即△≥0，

∴方程有两个实数根．

故选：

C．

5．解：

∵x2﹣6x﹣2＝0，

∴x2﹣6x＝2，

则x2﹣6x+9＝2+9，即（x﹣3）2＝11，

故选：

B．

6．解：

∵b2+c2＝2b+4c﹣5

∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0

∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，

∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，

∴b＝1，c＝2．

又∵a2＝b2+c2﹣bc，

∴a2＝1+4﹣2＝3，

∴a＝

或a＝﹣

（舍）

∵

，

∴△ABC是以1和

为直角边的直角三角形，

∴△ABC的面积为：

＝

，

故选：

B．

7．解：

在一元二次方程x2+2x﹣3＝0中，一次项系数为2，常数项为﹣3，

∵△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，

∴方程x2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．

故选：

D．

8．解：

△＝（a+b）2﹣4c×

＝（a+b+c）（a+b﹣c），

∵a，b，c是△ABC三条边的长，

∴a+b+c＞0，a+b＞c，

∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：

C．

9．解：

设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，

故选：

C．

10．解：

∵方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，

∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，

∵x12+x22＝3，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，

∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m﹣1）＝3，

解得m＝0或m＝﹣

，

∵△＝（2m+1）2﹣4（m﹣1）＝4m2+5＞0，

∴m为任意实数，方程均有实数根，

∴m＝0或m＝﹣

均符合题意．

故选：

C．

二．填空题（共5小题）

11．解：

∵x2﹣2020x＝0，

∴x（x﹣2020）＝0，

则x＝0或x﹣2020＝0，

解得x1＝0，x2＝2020，

故答案为：

x1＝0，x2＝2020．

12．解：

设方程另一根为x2，

由题意得6x2＝12，

解得x2＝2．

故另一个根为2．

故答案为：

2．

13．解：

∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，

∴△＝（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×（﹣1）≥0，

解得：

m≥﹣2，

又∵m﹣2≠0，即m≠2，

∴m≥﹣2且m≠2，

故答案为：

m≥﹣2且m≠2．

14．解：

由题意可知：

|a|﹣7＝2，

∴a＝±9，

∵a+9≠0，

∴a＝9，

故答案为：

9．

15．解：

∵x2﹣2x﹣a＝0，

∴△＝4+4a，

∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，

②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，

③方程的根为x＝

＝1±

，

∵a＞﹣1，

∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，

④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

则有32﹣6﹣a＜0，

∴a＞3，故④正确，

故答案为①③④．

三．解答题（共5小题）

16．解：

（1）∵2x2+6x+3＝0，

∴a＝2，b＝6，c＝3，

∴△＝36﹣4×2×3＝12，

∴x＝

＝

．

（2）∵（x+2）2＝3（x+2），

∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，

∴（x+2）（x+2﹣3）＝0，

∴x＝﹣2或x＝1．

17．解：

当m＝0时，方程化为﹣x+3＝0，解得x＝3；

当m≠0时，当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＞0，解得m＜

，方程的解为x1＝

，x2＝

；

当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＝0，解得m＝

，方程的解为x1＝x2＝7；

当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＜0，解得m＞

，方程没有实数解．

综上所述，当m＝0时，x＝3；当m＜

且m≠0，x1＝

，x2＝

；当m＝

，x1＝x2＝7；当m＞

，方程没有实数解．

18．解：

（1）∵每件衬衫降价x元，

∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．

故答案为：

（40﹣x）；（20+2x）．

（2）依题意，得：

（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得：

x2﹣30x+200＝0，

解得：

x1＝10，x2＝20．

∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，

∴x＝20．

答：

每件衬衫应降价20元．

19．

（1）设x秒后，PQ＝2

BP＝5﹣xBQ＝2x

∵BP2+BQ2＝PQ2

∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2

）2

解得：

x1＝3，x2＝﹣1（舍去）

∴3秒后，PQ的长度等于2

；

（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：

设t秒后，PB＝5﹣tQB＝2t

又∵S△PQB＝

×BP×QB＝7

×（5﹣t）×2t＝7

∴t2﹣5t+7＝0

△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0

∴方程没有实数根

∴△PQB的面积不能等于7cm2．

20．解：

（1）设第一周销售红心火龙果x千克，则销售白心火龙果（x﹣100）千克，

依题意，得：

20x+15（x﹣100）≥9000，

解得：

x≥300．

答：

第一周至少销售红心火龙果300千克．

（2）依题意，得：

20（1﹣

a%）×300（1+2a%）+15×（300﹣100）（1+a%）＝[20×300+15×（300﹣100）]（1+

a%），

整理，得：

0.6a2﹣12a＝0，

解得：

a1＝20，a2＝0（不符合题意，舍去）．

答：

a的值为20．