Projectile in an Inclined Plane 2.docx

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ProjectileinanInclinedPlane2

PROJECTILEINANINCLINEDPLANESOLUTIONS.

SOLUTION#1:

PhysicsforScientistsandEngineers（3rd）

ByDouglasC.Giancoli

Chapter3- Problem49

Wechooseacoordinatesystemwiththeoriginatthebaseofthehill,withxhorizontalandyvertical

withthepositivedirectionup.

Whentheobjectlandsonthehill,y=xtanφ.Thedistanceupthehillisgivenby

d2=x2+y2=x2（1+tan2φ）.

Thustomaximized,wecanmaximizex.Forthehorizontalandverticalmotionswehave

x=x0+v0xt=0+（v0cosθ）t=（v0cosθ）t;

y=y0+v0yt+½ayt2=0+（v0sinθ）t+½（–g）t2=（v0sinθ）t–½gt2.

Wecombinetheseequationstogetxafunctionofθ:

y=xtanφ=（v0sinθ）（x/v0cosθ）–½g（x/v0cosθ）2,whichgives

x=（2v02cosθ/g）（sinθ–cosθtanφ）.

x=（2v02/g）（cossinθ–cos2θtanφ）.

Wecansimplifythisbyusingtrigonometricidentitiestogetfunctionsof2θ:

sincosθ=½sin2θandcos2θ=½（1+cos2θ）

x=（v02/g）（sin2θ+cos2θtanφ+tan）

x=（v02/g）（1/cos）[sin2θ–（1+cos2θ）tanφ].

Thelaststephasanticipated;theterminsquarebracketsontherightisseentobe（sin2+）,whichallowsustoexpresstherangeas:

x=（v02/g）（1/cos）[sin（2θ+）+sinφ].

Tofindthevalueofθformaximumx,wesetdx/dθ=0:

dx/dθ=（v02/g）[2cos2θ–（–2sin2θ）tanφ]=0,whichgives

=（v02/g）[2cos2θ+2sin2θ）tanφ]=0

2sin2θ/2cos2θtanφ=0

tan2θ=–cotφ,orθ=½tan–1（–cotφ）.

Notethatthenegativesignmeansusingtheanglegreaterthan90°fortheinversetangent.

SOLUTION#2:

UniversityPhysicswithModernPhysics（11th）

ByHughD.Young,RogerA.Freedman

Chapter3 - Problem89

a）Accelerationduetogravityisg=9.8m/s2.Wecanstartbywritingtheequationsforxandy

asafunctionoftime.Bynow,wecaneasilyseethatwehave:

x=x0+v0xt=0+（v0cosφ）t=（v0cosφ）t;

y=y0+v0yt+½ayt2=0+（v0sinφ）t+½（–g）t2=（v0sinφ）t–½gt2.

Wecancombinetheseequationstogetarelationbetweenxandyforpointsonthetrajectory;

Fromthefirst,wehave

t=x/（v0cosφ）;

andputtingthisintothesecondonegives:

y=（v0sinφ）（x/v0cosφ）–½g（x/v0cosφ）2

y=xtanφ–gx2/2（v02cos2φ）

Whatistheconditionforthetimethattheprojectilehitstheslope?

Unlikeproblemswhereaprojectile

impactswiththeflatgroundorthewall,wedonotknowthevalueofxandyatimpact.Butsincetheincline

hasaslopeoftan+.Thesetworelationsbetweenxandyallowsustosolveforthevaluesofxandywhere

theimpactoccurs.Substituting,foryabove,wefind:

xtan=xtanθ+φ–gx2/2（v02cos2θ+φ）

Alittlearrangementgives:

gx2/2v02cos2θ+（tanθ-tanθ+）=0

Andthesolutionforxis:

x=2v02cos2θ+（tanθ+φ–tanθ）/g

Theproblemhasustosolveforthedistanceduptheslope;thisdistanceisrelatedtotheimpactvalueofx

by:

d=x/cos

d=x/cos=2v02cos2θ+（tanθ+φ–tanθ）/gcos

b）Formaximumrange,wehavedx/d=0

d/d=2v02cos2θ+tanθ+φ–tanθcos2+/gcos=0

Since

cos2θ+tanθ+φ=cos2θ+sinθ+φ/cosθ+φ

=½（2sinθ+cosθ+φ）

=½sin2（θ+φ）

d/d=2v02/gcos½sin（2θ+2φ）–tanθcos2+=0

=2v02/gcos½sin（2θ+2φ）2+tanθ2cosθ+φsinθ+φ=0

=2v02/gcoscos（2θ+2φ）+tanθsin（2θ+2φ）=0

=cos（2θ+2φ）+tanθsin（2θ+2φ）=0

–tan=cos（2θ+2φ）/sin（2θ+2φ）

cot（/2+）=cot（2θ+2φ）

/2+=2θ+2φ

2φ=/2-

φ=/4-/2

SOLUTION#3:

PhysicsforScientistsandEngineers（6th）

ByRaymondA.Serway,JohnW.Jewitt

Chapter4 - Problem50

a）Accelerationduetogravityisg=9.8m/s2.Wecanstartbywritingtheequationsforxandy

asafunctionoftime.Bynow,wecaneasilyseethatwehave:

x=x0+v0xt=0+（v0cosφ）t=（v0cosφ）t;

y=y0+v0yt+½ayt2=0+（v0sinφ）t+½（–g）t2=（v0sinφ）t–½gt2.

Wecancombinetheseequationsweget

y=xtan–gx2/2（v02cos2）

Settingx=dcos（）,andy=sin（）,wehave;

dsin（）=tan（）（dcos（）–g（dcos（）2/2（v02cos2）.

Solvingfordgives;

d=2v02cos2sin（）cos（）–sin（）cos（）/g2cos2（）.Or

d=2v02cos2sin（–）/g2cos2（）.

b）Weeliminatet=

SOLUTION#4:

a）Wehave:

x=x0+v0xt=0+（v0cos）t=（v0cos）t;

y=y0+v0yt+½ayt2=0+（v0sin）t+½（–g）t2=（v0sin）t–½gt2.

Wecancombinetheseequationstogetarelationbetweenxandyforpointsonthetrajectory;

Fromthefirst,wehave

t=x/（v0cos）;

andputtingthisintothesecondonegives:

y=（v0sin）（x/v0cos）–½g（x/v0cos）2

y=xtan–gx2/2（v02cos2）

Calltheoriginofcoordinatesthelaunchpointwithup+yandhorizontallyacrosstheincline+xThemotionoftheprojectilewith0=+φ.Theprojectilestrikestheplanewithy=xtan.Then

xtan=xtan（+φ）-gx2/2vo2cos2（+φ）.

Theequationhasthetriviailsolutionx=0,andthesolutionofinterest

x=2v02/gcos2（θ+φ）（tan（+φ）–tan（））.

Nowthedistancesuptheinclinecorrespondingtothexis:

x/s=cos（）s=x/cos（）.

So,aftersimplifyingabit,

s=2v02/gcos2（θ+φ）/cos（）（sin（θ+φ）cos（θ）-sin（θ）cos（θ+φ）/cos（+φ）cos（）

s=2v02/gcos（θ+φ）/cos2（）（sin（θ+φ）cos（）–sin（）cos（θ+φ）/cos2（）

Atrigonometricidentity;givesus:

s=2v02/gcos（θ+φ）sin（φ）/cos2（）

b）Theoptimumφisdeterminedbysettingthederivativeofswithrespecttoφtozero:

ds/dφ=2v02/g–sin（θ+φ）sin（φ）+cos（θ+φ）cos（φ）/cos2（）=0

=–sin（θ+φ）sin（φ）+cos（θ+φ）cos（φ）=0

Atrigonometricidentityreducesthisto:

cos（+2φ）=0+2φ=90ºφ=45º–/2

SOLUTION#5:

a）Wehave:

x=Rcos（）=v0cos（）tandy=Rsin（）=v0sin（）t–½gt2.

Wecancombinetheseequationstogetarelationbetweenxandyforpointsonthetrajectory;

Fromthefirst,wehave

t=R/（v0cos）;

Solvetheequationfortandsubstitutethisintothesecondequation

Rsin（）=v0sin（）Rcos（）/（v0cos）–½g（）Rcos（）/（v0cos）2.

sin（）=sin（）cos（）/cos（）–gRcos2（）/2v02cos2（）

tan（）=tan（）–gRcos2（）/2v02cos2（）

gRcos（）=2v02cos2（）tan（）–tan（）

R=2v02cos2（）tan（）–tan（）/gcos（）

http:

//www.atmosp.physics.utoronto.ca/people/codoban/PHY138/Mechanics/ch3p43.pdf

http:

//academic.udayton.edu/LenoPedrotti/examples/206kinematics.pdf