三点定型法在相似证明中的应用.docx

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三点定型法在相似证明中的应用

“三点定型”法在相似证明中的应用

在相似这一章中，比例式和等积式的证明是本章的重点和难点。

我在平时教学中发现用“横看、竖看”加“三点定型”法及适当变形做这类题比较简单，现分三类举例如下。

（思想方法）如：

欲证

，即只需证

.而我们都知道：

相似三角形对应边的比相等.可知：

欲证

成立，则其中的分子取自一个三角形，分母取自第二个三角形.这样就是“横看”，定出两个三角形：

△ABC和△BEF.接下来，只需证明这两个三角形相似即可！

若通过“横看”，找不到三角形，这时，也可以“竖看”，找三角形！

——这就是“横看、竖看”三点定型法.

一类：

直接利用“横看、竖看”加以“三点定型”

例：

已知：

∠ACB=900，CD⊥AB.求证：

AC2=AD•AB【射影定理】

分析：

要证AC2=AD•AB，可先证

，这时“横看”定出：

△和△.即证△∽△；聪明的你，也可以试一试“竖看”！

针对本题：

你也可以自行证明：

（1）DC2=AD•DB；

（2）BC2=BD•AB.

二类：

当“横看、竖看”“三点定型”找不到三角形时，若有相等的线段时，可用相等的线段替换。

例1，已知；AD平分∠BAC，EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。

求证：

DF2=BF•CF

分析：

直接证DF2=BF•CF，通过“横看、竖看”加以“三点定型”找不到三角形.由已知可得DF=AF，可改证AF2=BF•CF，即证

，这时用“横看、竖看”加以“三点定型”定出：

需证△ABF∽△CAF.

例2，已知；在Rt△ABC中，∠A=900，四边形DEFG为正方形。

求证：

EF2=BE•FC

分析：

要证EF2=BE•FC，可证

，这时我们“横看、竖看”加以“三点定型”B、E、F、C都在同一直线上，不能确定两个三角形。

但在图形中有相等的线段DE=EF=FG，这时用相等的线段去替换即证

即可。

再用“横看、竖看”加以“三点定型”的方法确定证△BDE∽△GCF从而完成证明。

三类：

既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。

例1，已知：

梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O点，作BE//CD,交CA的延长线于点E.

求证：

OC2=OA.OE

分析：

要证OC2=OA.OE,这时我们“横看、竖看”加以“三点定型”发现O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？

这时，我们可以寻找（或做平行构造）A型图、X型图转移比例式，再三点定型，找三角形.

即：

AD//BC可证

，用“横看、竖看”定出△OBC∽△ODC,然后再证

用同样的方法确定证△OBE∽△ODC相似即可。

例2，已知：

BD、CE是△ABC的两个高，DG⊥BC，与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于H。

求证：

GD2=GF•GH

分析：

要证GD2=GF•GH,这时我们发现G、D、E、F在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，这时，我们可以转移待证的某个积式，再化为比例式进行三点定型，找三角形.即利用【射影定理】得出GD2=BG•CG，从而把原题转化为证BG•CG=GF•GH，再用“横看、竖看”加以“三点定型”确定证△BGH∽△FGC相似即可。

※通过上述的分析，相信聪明的你可以完成完整的书写过程！

【练习】

1.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M在AC上，点N在BC上，将△ABC沿着MN翻折，使得点C落在AB上的P点。

求证：

.

（法1）“三点定型”后“互补不相似”

（法2）构造垂直结构

（法3）构造“一线三等角”

（法4）作平行构造A型图、X型图

2.建立模型

（1）如图，在△ABC中，点P为边AB上一点，若∠ACP=∠B，求证：

AC²=AP·AB；

模型应用

（2）如图，点D在线段BC上，DA为射线（其中∠ADC＞90°），点E为线段DA延长线上一点，连接BE，EC，且∠BED=∠ACD，设AC=a，AD=b，CD=c．

①当a=4，b=2，且CD=2BD，求线段AE的长；

②如果△EBD是以ED为腰的等腰三角形，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由．

3.在

Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．

（1）特殊发现：

如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：

PC=PE．

（2）问题探究：

把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．

①如图2，若点E在CA的延长线上，则

（1）的结论是否还成立？

若成立，请证明；若不成立，说明理由；

②如图3，若点F在边AB上，则

（1）的结论是否还成立？

若成立，请证明；若不成立，说明理由；

4.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC=

，∠BAC＝90°，F为BC中点.动点D在线段CB上从C出发以每秒1个单位长度向B匀速运动.连接AD，在AD的左侧作等腰Rt△AED，AE＝DE，∠AED＝90°.设点D的运动时间为t秒.

（I）求线段DE的长度取值范围；

（II）证明：

点E始终落在某一条固定直线上；

（III）连接EF，设△DEF的面积为S.求S关于t的函数关系式.

5.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6.过点A作射线AG∥BC，动点F从B出发以每秒1个单位长度向A运动，连接CF,过点F作∠CFD=∠B交射线AG于点D.设点F的运动时间为t秒：

（1）问：

点D的运动速度是否恒定？

若是，请求出速度；若不是，请探索速度变化情况.

（2）设S=S△ADF，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值.

图1备用图

四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD=α，AB▪CD=AD▪BC.则称该四边形为“个性四边形”，并称

为其“个性值”.

（1）当α=240°，且“个性四边形”ABCD是菱形时，求其“个性值”.

（2）当α=180°时，如图，求BD▪AC的值.