自动控制原理实验报告球杆系统.docx
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自动控制原理实验报告球杆系统
1系统建模
连线（连杆和同步带轮的连接点与齿轮中心的连线）和水平线的夹角为
（
的角度存在一定的限制，在最小和最大的范围之间），它作为连杆的输入，横杆的
倾斜角
和
之间的有如下的数学关系：
角度
和电机轴之间存在一个减速比n=4的同步带，控制器设计的任务是通过调
整齿轮的角度
，使得小球在某一位置平衡。
小球在横杆上滚动的加速度如下式：
其中：
小球在横杆上的位置r为输出
小球的质量m=0.11kg;
小球的半径R=0.015m;
重力加速度g=-9.8m/s2;
横杆长L=0.4m;
连杆和齿轮的连接点与齿轮中心的距离为d=0.04（m）;
小球的转动惯量J=2*m*R^2/5（N/m2）。
我们假设小球在横杆上的运动为滚动，且摩擦力可以忽略不计。
因为我们期望角度
在0附近，因此我们可以在0附近对其进行线性化，得到近似的线性方程：
Laplace变换得：
2实验步骤
【主要方法】：
通过球杆系统仿真，与理想传递函数下的反馈系统的对比，深刻理解系统的调节以及稳定性特征。
2.1PID控制法
2.1.1P控制
1.含有控制器、球杆系统结构和小球位置反馈的系统框图如下所示：
其中，Xd（s）为小球目标位置的拉普拉斯变换，P控制器为：
GP（s）=KP
闭环系统的传递函数为：
其中，
。
2.MATLAB仿真
程序代码：
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[-K];den=[100];
plant=tf（num,den）;
kp=3;
sys_cl=feedback（kp*plant,1）;
step（0.2*sys_cl）
（1）当Kp=3时
（2）当Kp=6时
（3）当Kp=10时
3.在Simulink环境下仿真
（1）当Kp=3时
（2）当Kp=6时
（3）当Kp=10时
分析：
从仿真图和实验图中可以看出，他们的大致波形是一致的，但由于实验受环境影响，如用手抓取小球，桌面收到碰撞震荡等，使波形出现很多毛刺，但系统是不稳定的，出现等幅振荡。
2.1.2PD控制
1.给控制器添加一个微分控制，闭环系统的结构图如下：
PD控制器的传递函数为：
为简单起见，我们假设固定比例增益KP，调整KD的大小。
闭环系统的传递函数为：
2.MATLAB仿真
程序代码：
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[-K];den=[100];
plant=tf（num,den）;
kp=6;
kd=6;
contr=tf（[kdkp],1）;
sys_cl=feedback（contr*plant,1）;
t=0:
0.01:
5;
step（0.2*sys_cl）
（1）当Kp=6，Kd=6时
（2）当Kp=4，Kd=4时
3.在Simulink环境下仿真
（1）当Kp=6，Kd=6时
（2）当Kp=4，Kd=4时
分析：
可以看出，当控制器中加入一个微分控制时，闭环系统是一个稳定的系统。
当Kp=6，Kd=6时，超调量P.O.=20%，调节时间Ts=2.5s；当Kp=4，Kd=4时，超调量P.O.=13%，调节时间Ts=4.8s。
此时系统虽然是稳定的，但是超调量和调节时间都过大，稳定效果较差。
2.1.3PID控制
1.添加PID控制器后，闭环系统的结构图如下：
PID控制器的传递函数为：
其中，KD和KI对应于积分和微分控制，KP为比例增益.
闭环系统的传递函数如下所示：
2.MATLAB仿真
程序代码：
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[-K];den=[100];
plant=tf（num,den）;
kp=3;
kd=10;
ki=1;
contr=tf（[kdkpki],1）;
sys_cl=feedback（contr*plant,1）;
t=0:
0.01:
100;
y=step（0.2*sys_cl,t）;
plot（t,y）,grid
（1）当Kp=10，Kd=10，Ki=1时
（2）当Kp=10，Kd=40，Ki=1时
（3）当Kp=15，Kd=40，Ki=0.5时
3.在Simulink环境下仿真
（1）当Kp=10，Kd=10，Ki=1时
（2）当Kp=10，Kd=40，Ki=1时
（3）当Kp=15，Kd=40，Ki=0.5时
分析：
可以看出，增大KD可以减少超调量，而减小调节时间可以增大Kp,第三个图明显的减少了系统的稳态误差，基本上满足了设计要求，但与MATLAB仿真相比，实际中系统会受到很多影响，因此总是有很多毛刺。
2.2根轨迹法
【主要方法】：
通过分析系统的开环零极点位置，来分析闭环系统的特性，通过增加极点或零点的方法（校正器），根轨迹以及闭环系统的响应都将发生改变。
1.添加控制器后，一个典型的闭环系统如下：
2.MATLAB仿真
（1）校正前程序代码：
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[0.7];den=[100];
plant=tf（num,den）;
sys_cl=feedback（plant,1）;
t=0:
0.01:
50;
y=step（0.2*sys_cl,t）;
plot（t,y）,grid
校正前根轨迹
校正前单位阶跃响应
（2）校正后程序代码：
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[K];
den=[100];
g0=tf（num,den）;
sigma=10;%超调量（百分比）
ts=1;%调整时间
sigma=sigma/100;
zeta=sqrt（1/（pi^2/log（sigma）^2+1））;%二阶系统参数ζ、ωn
wn=4/（ts*zeta）;
s1_real=-wn*zeta;%Óɶþ½×ϵͳËã³öµÄ±Õ»·ÏµÍ³Ö÷µ¼¼«µã
s1_imag=wn*sqrt（1-zeta^2）;
s1=s1_real+j*s1_imag;
phi=angle（s1）;%由而写系统算出的闭环系统主导极点
num_s1=polyval（num,s1）;
den_s1=polyval（den,s1）;
g0_s1=num_s1/den_s1;%主导极点的相角
theta=angle（g0_s1）;%未校正系统传递函数在主导极点上的相角θ
phi_c=pi-theta;%校正器的相角可由主导极点上闭环特征方程的相角条件确定
theta_z=（phi+phi_c）/2;
theta_p=（phi-phi_c）/2;
z_c=real（s1）-imag（s1）/tan（theta_z）;%校正器零、极点
p_c=real（s1）-imag（s1）/tan（theta_p）;
num_c=[1-z_c];
den_c=[1-p_c];
gc=tf（num_c,den_c）%校正器的传递函数
numc_s1=polyval（num_c,s1）;
denc_s1=polyval（den_c,s1）;
gc_s1=numc_s1/denc_s1;%校正器传递函数在主导极点上的值
K=1/（abs（g0_s1*gc_s1））%根据主导极点上闭环特征方程的幅值条件求增益
rlocus（g0*gc）%画根轨迹图
close=feedback（K*g0*gc,1）;%闭环负反馈
figure
t=0:
0.01:
10;%时间标尺
step（close,t）%校正后系统单位阶跃响应
校正后根轨迹
校正后单位阶跃响应
3.在Simulink环境下仿真
（1）Zeros=[-2.4],Poles=[-13.80],Gain=[114.2]
（2）Zeros=[-0.5],Poles=[-4],Gain=[15.68]
（3）Zeros=[-0.5],Poles=[-5],Gain=[15.68]
分析：
由图可知，减小减小控制器的零、极点，会使系统的稳定性增加。
2.3频率响应法
【主要方法】根据开环传递函数的Bode图，给系统添加一个校正器，改变开环系统的Bode图，从而改变闭环系统的响应，使其达到期望的性能。
1.添加控制器后，一个典型的控制系统如下：
2.MATLAB仿真
（1）校正前程序代码
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[K];den=[100];
g0=tf（num,den）;
bode（g0）
uncomp=feedback（g0,1）;
t=[0:
0.01:
100];
y=step（uncomp,t）;
plot（t,y），grid
校正前Bode图
校正前单位阶跃响应
（2）校正后程序代码：
m=0.11;R=0.015;g=-9.8;L=0.4;d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K0=（m*g*d）/（L*（J/R^2+m））;
num=[0.7];den=[100];
g0=tf（num,den）;
sigma=10;%超调量（百分比）
sigma=sigma/100;
zeta=sqrt（1/（pi^2/log（sigma）^2+1））;%二阶系统阻尼比ζ
gamma=atan（2/sqrt（sqrt（1/zeta^4+4）-2））;%相角裕度
phi=gamma;%相位超前角
%wc=1
wc1=1%频率带宽的中心频率
a1=（1-sin（phi））/（1+sin（phi））;%·分度系数
T1=1/（wc1*sqrt（a1））;%时间常数
numlead1=[T11];%校正系统传递函数
denlead1=[a1*T11];
gc1=tf（numlead1,denlead1）;
K=2;
sys1=series（K*g0,gc1）;
sys_cl1=feedback（sys1,[1]）;
%wc=2
wc2=2;
a2=（1-sin（phi））/（1+sin（phi））;
T2=1/（wc2*sqrt（a2））;
numlead2=[T21];
denlead2=[a2*T21];
gc2=tf（numlead2,denlead2）;
K=2;
sys2=series（K*g0,gc2）;
sys_cl2=feedback（sys2,[1]）;
%wc=3
wc3=3;
a3=（1-sin（phi））/（1+sin（phi））;
T3=1/（wc3*sqrt（a3））;
numlead3=[T31];
denlead3=[a3*T31];
gc3=tf（numlead3,denlead3）;
K=2;
sys3=series（K*g0,gc3）;
sys_cl3=feedback（sys3,[1]）;
bode（sys1,sys2,sys3）,grid
t=[0:
0.01:
20];
y1=step（sys_cl1,t）;
y2=step（sys_cl2,t）;
y3=step（sys_cl3,t）;
plot（t,y1,t,y2,t,y3）,grid
校正后bode图
校正后单位阶跃响应
1.在Simulink环境下仿真
（1）Numerator=130*[16.71],Denominator=[7.61]
（2）Numerator=3*[4.41],Denominator=[0.221]
（3）Numerator=4*[2.21],Denominator=[0.111]
分析：
减小增益值可以抑制超调量，从而增加系统的稳定性。
3实验心得总结
通过这次球杆实验使我对控制系统有了更深刻更直观的认识，了解到控制系统在实际生活特别是自动化生产中有着重要的作用。
日常生活中的水温控制，驾驶系统，以至于点点滴滴都会应用到反馈系统的理论。
一个控制系统往往会有很多的控制器设计方法，PID控制法、根轨迹法、频率响应法等。
在实验中，不管用什么方法都需要反复尝试不同的控制参数，直到得到满意的控制效果。
本实验也让我对PID控制的认识有了深化，但PID的调节过程比较繁琐，需要不断的尝试各种参数，发现其中规律，并最终寻找到最合适的系统参数。
在实验中，发现图像中存在很多瑕疵，可见系统总要受到外界环境的影响，在实际系统的设计中，有时候需要考虑各种外界干扰的存在，尽可能减少它们的作用。
另外要提到的是，实验设备对实验结果的影响是很大的，在实验中我们组的simulink仿真图像毛刺特别多，系统特别不稳定，但是经过我们反复修改参数和尝试，终于使系统的稳定性提高了一点点。
所以希望学校能更新一下部分实验设备，以方便我们今后的学习与实践。
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