内蒙古通辽市中考数学试题解析版.docx

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内蒙古通辽市中考数学试题解析版

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）

1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（　　）

A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万

【分析】根据科学记数法定义：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示．

【解答】解：

30000用科学记数法表示为：

3×104．

故选：

B．

【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．[科学记数法形式：

a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．

2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（　　）

A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积

C．2a是单项式D．2a是偶数

【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．

【解答】解：

A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；

B.2a是2和数a的积，说法正确；

C.2a是单项式，说法正确；

D.2a不一定是偶数，故原说法错误．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．

3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（　　）

A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨

【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．

【解答】解：

A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；

B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；

C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；

D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；

故选：

C．

【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．

【解答】解：

A．∠α与∠β互余，故本选项正确；

B．∠α＝∠β，故本选项错误；

C．∠α＝∠β，故本选项错误；

D．∠α与∠β互补，故本选项错误，

故选：

A．

【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．

5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（　　）

A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1

【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．

【解答】解：

k＝0时，是一元一次方程，有实数根；

k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，

解得k≤1，

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．

【解答】解：

三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．

故选：

B．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：

熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．

7．（3分）（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（　　）

A．108°B．72°C．54°D．36°

【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．

【解答】解：

连接OA、OB，

∵PA，PB分别为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，

∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，

由圆周角定理得，∠C

∠AOB＝54°，

故选：

C．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　）

A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝ACD．AB＝AE

【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．

【解答】解：

添加∠BAC＝90°时，

∵AD是△ABC的中线，

∴AD

BC＝CD，

∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；

添加∠DAE＝90°，

∵四边形ADCE是平行四边形

∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；

添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；

添加AB＝AE，

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴AE＝CD，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD＝AE，

∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；

故选：

A．

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．

9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y

于点A，且OC：

OA＝5：

3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（　　）

A．18B．50C．12D．

【分析】延长DA、CB，交x轴于E、F，通过证得三角形相似求得△AOE的面积＝9，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值．

【解答】解：

延长DA、CB，交x轴于E、F，

∵四边形ABCD矩形，且AB∥x轴，

∴DE⊥x轴，CF⊥x轴，

∴AE∥CF，

∴△AOE∽△COF，

∴

（

）2

，

∵矩形ABCD的面积是8，

∴△ABC的面积为4，

∵AB∥x轴，

∴△ABC∽△OFC，

∴

（

）2，

∵OC：

OA＝5：

3，

∴

，

∴

，

∴S△OFC＝25，

∴

，

∴S△AOE＝9，

∵双曲线y

经过点A，

∴S△AOE

|k|＝9，

∵k＞0，

∴k＝18，

故选：

A．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．

10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）

（1）无理数都是无限小数；

（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；

（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；

（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．

A．

B．

C．

D．1

【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．

【解答】解：

（1）无理数都是无限小数是真命题，

（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；

（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；

（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：

150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；

故随机抽取一个是真命题的概率是

，

故选：

C．

【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．

二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）

11．（3分）（2020•通辽）计算：

（1）（3.14﹣π）0＝　1　；

（2）2cos45°＝　

　；

（3）﹣12＝　﹣1　．

【分析】

（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；

（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；

（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．

【解答】解：

（1）（3.14﹣π）0＝1；

（2）2cos45°

；

（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．

故答案为：

（1）1；

（2）

；（3）﹣1．

【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．

12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中

（1）众数是　3　；

（2）a的值是　1　；

（3）方差是　

　．

【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．

【解答】解：

（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；

（2）（3×3+a+5）＝3×5，

解得，a＝1，

（3）S2

[（1﹣3）2+（5﹣3）2]

，

故答案为：

3，1，

．

【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．

13．（3分）（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是　121°42′32″　．

【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．

【解答】解：

∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，

故答案为：

121°42′32″．

【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：

如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．

14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多　2n+3　个小正方形．

【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．

【解答】解：

∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，

第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，

第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，

…，

∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，

第n个正方形有（n+1）2个小正方形，

故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．

故答案为：

2n+3．

【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．

15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．

【分析】根据增长率问题：

增长率＝增长数量/原数量×100%．如：

若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

【解答】解：

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

（1+x）2＝169

1+x＝±13

x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．

答：

每轮传染中平均一个人传染了12个人．

故答案为：

12．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：

增长率＝增长数量/原数量×100%．如：

若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PB2+AP2＝2CP2　．

【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．

【解答】解：

如图，连接BQ，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵△PCQ是等腰直角三角形，

∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，

∴∠ACP＝∠BCQ，

又∵AC＝BC，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，

∴∠ABQ＝90°，

∴PB2+BQ2＝PQ2，

∴PB2+AP2＝2CP2，

故答案为：

PB2+AP2＝2CP2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．

17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　3+2

　．

【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．

【解答】解：

如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，

设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×ACsin∠OAC＝4m×sin60°＝2

m，

从图②看，BC＝3

2

m，解得：

m

；

点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，

∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，

而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，

则a＝PC

m，

此时b＝AA′＝2m，

则a+b＝2m

m＝3+2

．

故答案为3+2

．

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18．（5分）（2020•通辽）解方程：

．

【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．

【解答】解：

方程两边都乘以x（x﹣2）得，

2x＝3x﹣6，

解得x＝6，

检验：

当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，

所以x＝6是分式方程的解．

因此，原分式方程的解是x＝6．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．

【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．

【解答】解：

在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），

在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），

∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），

答：

这栋楼高BC约为270米．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．

20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：

对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：

1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．

（1）求（﹣2）※

；

（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

【分析】

（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；

（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．

【解答】解：

（1）（﹣2）※

（﹣2）2

（﹣2）

3

4

2

3

3

；

（2）3※m≥﹣6，

则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，

解得：

m≥﹣2，

将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．

21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：

（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；

（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．

【分析】

（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；

（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：

（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，

所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率

；

（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，

所以取出的3个小球上全是奇数的概率

．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：

利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：

AB⊥CD．

【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC•PD＝PA•PB，利用PC2＝PB•PA得到PC＝PD，然后根据垂径定理得到结论．

【解答】证明：

连接AC、BC，如图，

∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，

∴△APC∽△BPD，

∴PC：

PB＝PA：

PD，

∴PC•PD＝PA•PB，

∵PC2＝PB•PA，

∴PC＝PD，

∵AB为直径，

∴AB⊥CD．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：

在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．

23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．

【分析】

（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；

（2）根据

（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名．

【解答】解：

（1）40÷40%＝100（名），

即在这次调查中，共调查了100名学生；

（2）爱好上网的学生有：

100×10%＝10（名），

爱好阅读的学生有：

100﹣40﹣20﹣10＝30（名），

补全的条形统计图如右图所示；

（3）800÷40%＝2000（名），

答：

该校学生总数大约有2000名．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．

（1）求A，B型服装的单价；

（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？

【分析】

（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，根据购进A型件数不少于B型件数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该专卖店需要准备w元的货款，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：

（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，

依题意，得：

，

解得：

．

答：

A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．

（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，

依题意，得：

60﹣m≥2m，

解得：

m≤20．

设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，

∵k＝﹣50，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．

答：

该专卖店至少需要准备47000元货款．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；

（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．

（1）求证：

四边形PBQE为平行四边形；

（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．

【分析】

（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP＝EQ，同理PE＝BQ，由此即可证明；

（2）求出t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，

∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，

∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，

在△ABP和△DEQ中，

，

∴△ABP≌△DEQ（SAS），

∴BP＝EQ，

同理可证PE＝QB，

∴四边形PEQB为平行四边形．

（2）解：

连接BE、OA，则∠AOB

60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，

当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：

则∠EAF＝∠AEF＝30°，

∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，

∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．

当t＝6时