用二分法求方程的近似解.docx
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用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。
教材分三步来进行：
第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。
然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
四、教学目标
1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；
3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。
五、教学重点与难点
教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。
根所在区间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。
六、教学过程设计
1．教学基本流程图
2．教学情景设计
教学过程
教学设计
学情预设
设计意图
知识链接
创设情景
1、大家都看过李咏主持的<幸运52>吧,今天咱也试一回（出示游戏）。
2、竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？
如何确定价格的最可能的范围？
3、如何才能更快的猜中商品的预定价格？
4、“二分”的思路是什么？
1、教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法。
2、学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验。
学生会有很多种方案出来。
3、对于“问题2”学生能够顺利的得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论。
4、此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好。
从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间。
[设计意图：
1、利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛；
2、通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔；
3、通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情景转化为数学模型。
4、通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法；]
组织探究
1、上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？
还有什么问题没有解决？
2、已知函数
在区间（2，3）内存在一个零点；如何求出方程
在区间（2，3）的近似解（精确度为0.01）？
与刚才的游戏是否有类似之处？
3、精确度的含义是什么？
怎样的区间才算满足设定的精确度？
4、区间（2，3）的精确度为多少？
5、如何将零点所在的范围缩小（即如何将精确度缩小）？
缩小的依据是什么？
6、如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来将缩小区间？
7、近似解是多少？
1、教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题。
并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据。
2、通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考。
学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法。
3、学生对精确度的概念可能有所遗忘。
教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作。
4、教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间。
并确定结束的时间。
5、学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出（附录1）中的表格。
表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确的、快速的回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利。
6、对于“问题7”学生比较不容易得到比较简洁的结论。
教师可以进行解释说明：
“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但，区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解。
”，最后得到方程的近似解（附录1的表格后面的内容）。
[设计意图：
1、开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，使得知识有一个连接让学生能够很容易的将知识建构到旧的知识体系中。
2、运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力。
3、师生的互动有利于一边引导一边总结。
将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题。
培养学生实际应用的能力，解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性。
使得最后方法的总结能够顺利进行。
4、有了前面的商品的竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度。
知识连接：
1、函数零点存在定理如果函数
在区间
上图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间内有零点，即存在
，使得
，这个c也就是方程
的根。
2、精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量。
一般是：
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
]
归纳总结
1、我们刚才得求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？
2、我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？
3、点明求方程的近似解的“二分法”：
对于在区间（a，b）上连续不断、且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断的把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法．
4、进一步提出问题：
运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？
5、运用二分法的前提是什么（游戏的开始时要先做什么工作）？
引例条件的内涵是什么？
6、二分法的实质是什么？
它有什么作用?
学生经过老师“问题1～2”的提示与引导，可以得到“取区间的中点，计算函数值，比较符号，确定新的区间”这样的相同的过程。
学生根据“二分法”的定义进行归纳总结：
运用二分法求方程的近似解的步骤（附录2）。
其中步骤
“画图或利用函数值的正负，确定初始区间（a,b），验证f（a）f（b）<0”；学生很有可能会有遗漏。
此时可以提出“问题5”引导学生回忆、思考，从而得到运用二分法的前提——即步骤
。
对于“问题六”较好的学生才能回答出来。
[设计意图：
1、不断的引导，将刚才的解题过程经过“自然语言——数学语言——去其糟粕取其精华——具体步骤”的过程，帮助学生学会归纳总结的方法。
2、课间的及时总结有利于学生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，在后面的作题中可以有法可依，可以提高解题的正确率，增强自信。
3、问题六的设计是将学生的思维得到升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次。
知识链接：
1、运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间。
2、二分法实际上是一种通过缩小区间长度寻找解的一种方法．]
巩固提高
1．练习：
（1）
（2）题为例题仿照题，由同桌协助完成.（3）（4）考察二分法的含义,由同学独立完成,可以寻求帮助.（附录4）
2．思考：
两道题均为实际应用题,为学有余力的同学提高能力。
（附录4）
3．课后作业：
习题3.1A组3、4；B组1、2。
练习1.
（1）
（2）经过同桌两位同学合作可以顺利完成。
（3）（4）独立完成如果有困难的同学在同伴或老师的帮助下可以完成。
练习2实际应用：
学有余力的同学与同伴合作探讨，也可以解决。
[设计意图：
1、不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。
不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获；
2、培养合作、互助精神；
3、培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题。
]
归纳总结
请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？
教师通过点名提问，学生借助教师的帮助对整节课进行最后的归纳总结,得到以下两点
（1）二分法是一种求一元方程近似解的通法。
（2）利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤（附录3）。
[设计意图：
学生的归纳总结的能力不强需要不断的培养；课后的总结有利于学生对整节课的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，养成良好的学习习惯，建立自信心。
]
教学反思1.本节课有两条线，明线：
“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好的赢得游戏？
与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分的运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：
“生活实际（特殊）——二分法的理论（一般）——二分法的应用（特殊），”。
让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美。
2.引入课题的方式，
（1）从生活中常见现象——“商品价格的竞猜”引入；
（2）开门见山——“继续前面的研究”引入。
（附录1）解：
设
，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：
区
间
中点
中点函数值
精确度
2
3
2.5
-0.083709268
1
2.5
3
2.75
0.511600912
0.5
2.5
2.75
2.625
0.215080896
0.25
2.5
2.625
2.5625
0.065983344
0.125
2.5
2.5625
2.53125
-0.008786748
0.0625
2.53125
2.5625
2.546875
0.028617117
0.03125
2.53125
2.546875
2.5390625
0.009919918
0.015625
2.53125
2.5390625
2.53515625
0.000567772
0.007813
2.53125
2.53515625
2.533203125
-0.004109191
0.003906
2.533203125
2.53515625
2.534179688
-0.001770635
0.001953
2.534179688
2.53515625
2.534667969
-0.000601413
0.000977
2.534667969
2.53515625
2.534912109
-1.68157E-05
0.000488
所以，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，因此我们可以将x=2.25作为函数
零点的近似值，也即方程
根的近似值。
（附录2）二分法求解方程f（x）=0[或g（x）=h（x）]近似解的基本步骤：
画图或利用函数值的正负，确定初始区间（a,b），验证f（a）f（b）<0；
求区间（a,b）的中点
；
计算f（x1）：
若f（x1）=0，则x1就是函数f（x）的零点，x1就是f（x）=0的根，计算终止；
若f（a）f（x1）
0，则选择区间（a,x1）；
若f（a）f（x1）
0，则选择区间（x1，b）；
循环操作
、
，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度
（若是要求精确到
两端点精确到同一个近似值时才终止计算）。
（附录3）二分法的过程如下图：
（附录4）
1．练习：
（1）应用计算器，求方程x3+3x-1=0的一个正的近似解。
（2）应用计算器，求方程
的近似解。
（3）用二分法判断方程
的根的个数（）
A.1B.2C.3D.4
（4）方程
的根的情况（）
A.仅有一根B.有一正根一负根C.有两负根D.无实根
2．思考：
（1）从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？
（2）一天，我们泉州七中校区与现代中学（分校）校区的电缆线路出了故障，（相距大约10km）电工是怎样检测的呢？
3．课后作业：
习题3.1A组3、4；B组1、2。
泉州七中冯红果
点评：
一个有经验的的教师，应该对挖掘课本知识是非常重视的，挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养学生的探索能力和创新精神。
冯老师本节的教学设计，能够从知识结构、学生的认知结构展开，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能、思想方法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的策略，立足“方程与函数的关系”，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，程序化的解决问题的策略。
从生活游戏“猜价格”引入贴切，通过游戏直观感受二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，将本节的知识建构在旧知识的体系中。
设计中不管是情境的创设，还是教师的引导和数学活动的设置，都能从学生的实际出发，让学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。
在设计中还注意到数学的应用意识，思考题中把“二分法”应用到电缆线故障点的检修，提升了数学方法的重要性和普遍性，体现了数学与生活的联系。
纵观本节的整体设计，内容安排简洁精致有层次，教法选择合理丰富有重点，过程设计紧凑有序可操作。
方程的根与函数的零点
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
二学生学习情况分析
地理位置：
学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：
中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。
知识、心理、能力储备：
学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。
这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。
但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。
加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。
因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。
三设计思想
教学理念：
培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣
教学原则：
注重各个层面的学生
教学方法：
启发诱导式
四、教学目标
以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
五、教学重点难点
重点：
函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：
发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
六、教学程序设计
1方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
1.1方程的根与函数的零点
问题1：
解方程（比赛）：
①6x－1=0；②3x2＋6x－1=0。
再比赛解3x3＋6x－1=0
设计意图：
问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积极性和主动性。
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：
教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1=0紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。
问题2：
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
如图7-1
方程
与函数
方程
与函数
方程
与函数
图7-1
[师生互动]
师：
教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。
零点概念：
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。
师：
填表格
函数
函数的零点
方程的根
生：
经过独立思考，填完表格
师提示：
根据零点概念，提出问题，零点是点吗？
零点与函数方程的根有何关系？
生：
经过观察表格，得出第一个结论
师再问：
根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系
生：
经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论
师：
概括总结前两个结论（请学生总结）。
1）概念：
函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
例如函数
的零点为x=-1,3
2）函数零点的意义：
函数
的零点就是方程
实数根，亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标．
3）方程
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点。
师：
引导学生仔细体会上述结论。
再提出问题：
如何并根据函数零点的意义求零点？
生：
可以解方程
而得到（代数法）；
可以利用函数
的图象找出零点．（几何法）
问题2一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。
通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
问题3：
是不是所有的二次函数都有零点？
师：
仅提出问题，不须做任何提示。
生：
根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数
的零点：
看△
１）△＞０，方程
有两不等实根，二次函数的图象与
轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
无实根，二次函数的图象与
轴无交点，二次函数无零点．
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。
进而培养学生归纳总结能力。
1.2零点存在性的探索
[师生互动]
师：
要求生用连续不断的几条曲线连接如图4A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：
．A
abl
．B
图4
生：
两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。
师：
再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间（a，b）内。
生：
观察下面函数f（x）＝0的图象（如图5）并回答
图5
①区间[a，b]上______（有/无）零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。
②区间[b，c]上______（有/无）零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。
③区间[c，d]上______（有/无）零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。
师：
教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。
生：
根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）
一般地，我们有：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝
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