第2章231条件概率.docx

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第2章231条件概率

2.3　独立性

2.3.1　条件概率

1．了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．（重点）

2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．（难点）

[基础·初探]

教材整理　条件概率

阅读教材P56～P57“例1”以上部分，完成下列问题．

1．条件概率

一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P（A|B）．若A，B互斥，则P（A|B）＝P（B|A）＝0.

2．条件概率公式

（1）一般地，若P（B）＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P（A|B）＝.

（2）乘法公式：

P（AB）＝P（A|B）P（B）．

设A，B为两个事件，且P（A）>0，若P（AB）＝，P（A）＝，则P（B|A）＝________.

【导学号：

29440042】

【解析】　由P（B|A）＝＝＝.

【答案】　

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

利用P（B|A）＝求条件概率

（1）设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．

（2）抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．

①求P（A），P（B），P（AB）；

②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

【精彩点拨】　

（1）直接应用公式P（B|A）＝求解．

（2）①利用古典概型求P（A），P（B）及P（AB）．

②借助公式P（B|A）＝求概率．

【自主解答】　

（1）设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.4，而所求概率为P（B|A），由于B⊆A，故AB＝B，

于是P（B|A）＝＝＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.

【答案】　0.5

（2）①设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立对应如图．

显然：

P（A）＝＝，

P（B）＝＝，P（AB）＝.

②P（B|A）＝＝＝.

1．用定义法求条件概率P（B|A）的步骤

（1）分析题意，弄清概率模型；

（2）计算P（A），P（AB）；

（3）代入公式求P（B|A）＝.

2．在

（2）题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P（B|A），揭示出P（A），P（B）和P（B|A）三者之间的关系．

[再练一题]

1．

（1）甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P（A）＝0.2，P（B）＝0.18，P（AB）＝0.12，则P（A|B）＝________，P（B|A）＝________.

（2）有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

【解析】　

（1）由公式P（A|B）＝＝，P（B|A）＝＝.

（2）设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为P（B|A）＝0.8，

又P（A）＝0.9，P（B|A）＝，

得P（AB）＝P（B|A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72.

【答案】　

（1）　　

（2）0.72

利用基本事件个数求条件概率

　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

【精彩点拨】　第

（1）、

（2）问属古典概型问题，可直接代入公式；第（3）问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．

【自主解答】　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n（Ω）＝A＝30，

根据分步计数原理n（A）＝AA＝20，于是P（A）＝＝＝.

（2）因为n（AB）＝A＝12，于是P（AB）＝＝＝.

（3）法一：

由

（1）

（2）可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为

P（B|A）＝＝＝.

法二：

因为n（AB）＝12，n（A）＝20，

所以P（B|A）＝＝＝.

1．本题第（3）问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．

2．计算条件概率的方法

（1）在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P（B|A）．

（2）在原样本空间Ω中，先计算P（AB），P（A），再利用公式P（B|A）＝计算求得P（B|A）．

（3）条件概率的算法：

已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P（B|A），相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P（B|A）＝＝＝.

[再练一题]

2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？

【解】　由题意得球的分布如下：

玻璃

木质

合计

红

2

3

5

蓝

4

7

11

合计

6

10

16

设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，

则P（A）＝，P（AB）＝＝.

∴P（B|A）＝＝＝.

[探究共研型]

利用条件概率的性质求概率

探究1　掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？

它们之间有什么关系？

随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？

【提示】　掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．

探究2　“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？

【提示】　“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．

探究3　先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？

【提示】　设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为（B＋C）|A.

∴P（（B＋C）|A）＝P（B|A）＋P（C|A）＝＋＝.

　将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：

先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．

【精彩点拨】　设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．

【自主解答】　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，

B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，

R＝{第二次取出的球是红球}，

W＝{第二次取出的球是白球}，

则容易求得P（A）＝，P（B）＝，

P（R|A）＝，P（W|A）＝，P（R|B）＝，P（W|B）＝.

事件“试验成功”表示为RA＋RB，又事件RA与事件RB互斥，

所以由概率的加法公式得

P（RA＋RB）

＝P（RA）＋P（RB）

＝P（R|A）·P（A）＋P（R|B）·P（B）

＝×＋×＝.

条件概率的解题策略

分解计算，代入求值：

为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．

[再练一题]

3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．

（1）求此人患色盲的概率；

（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率．

【解】　设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.

（1）此人患色盲的概率P（C）＝P（AC）＋P（BC）

＝P（A）P（C|A）＋P（B）P（C|B）

＝×＋×＝.

（2）P（A|C）＝＝＝.

[构建·体系]

1．已知P（AB）＝，P（B）＝，则P（A|B）＝________.

【解析】　P（A|B）＝＝＝.

【答案】　

2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．

【解析】　设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P（AB）＝，

所以P（B|A）＝＝＝.

【答案】　

3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P（B|A）＝________.

【解析】　∵P（AB）＝，P（A）＝，∴P（B|A）＝.

【答案】　

4．抛掷骰子2次，每次结果用（x1，x2）表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{（x1，x2）|x1＋x2＝10}，B＝{（x1，x2）|x1>x2}．则P（B|A）＝________.【导学号：

29440043】

【解析】　∵P（A）＝＝，P（AB）＝，

∴P（B|A）＝＝＝.

【答案】　

5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么

（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？

（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？

【解】　

（1）设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.

（2）设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P（A1）＝，P（A1B1）＝＝，所以P（B1|A1）＝＝＝.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）