最新数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学打印优秀名师资料.docx

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最新数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学打印优秀名师资料

数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学打印

数列专题复习一、等差数列的有关概念:

1、等差数列的判断方法:

定义法或。

aadd,,（为常数）aaaan,,,,

（2）nn，1nnnn，,11

aaa，，？

，12nnN,*如设是等差数列，求证:

以b=为通项公式的数列为{}a{}bnnnn

等差数列。

2、等差数列的通项:

或。

aand,，,

（1）aanmd,，,（）n1nm

210n，如

（1）等差数列中，，，则通项（答:

）;{}aa,30a,50a,n1020n

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答:

8）,,d33

naa（），nn

（1）,1n3、等差数列的前和:

，。

S,Snad,，nn1n22

3115*a,aannN,，,,S,,如

（1）数列中，，，前n项和，（2,）{}ann,nnn1222

n,10则,,，,,（答:

，）;aa,,3n11

2

（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答:

{||}aTn{}aSnn,,12nnnn

2*,12（6,）nnnnN,,,,）.T,,n2*nnnnN,，,,1272（6,）,,

ab，bA,4、等差中项:

若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

aaAb,,2

d提醒:

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:

a、、、a及nnn1

dSa，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，n1

即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，

d„（公差为）;偶数个数成等差，可设为„，adadaadad,,，，2,,,,2

d,„（公差为2）adadadad,,，，3,,,3

5、等差数列的性质:

d,0n

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一aanddnad,，,,，,

（1）n11

nndd

（1）,2dSnadnan,，,，,（）nn次函数，且斜率为公差;前和是关于的二次n11222

函数且常数项为0.

1/12

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差d,0d,0

，则为常数列。

d,0

（3）当时,则有，特别地，当时，则有a，a,a，amnpq，,，mnp，,2mnpq

.aaa，,2mnp

如

（1）等差数列中，，则,____（答:

27）;{}aSaaaS,，，,,18,3,1nnnnn,,123n

k（4）若、是等差数列，则、（、是非零常数）、p{}a{}b{}ka{}kapb，nnnnn

*an、，„也成等差数列，而成等比数列;若{}（,）apqN,SSSSS,,,,{}a{}apnq，nnnnn232n是等比数列，且，则是等差数列.a,0{lg}ann

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。

（答:

225）

2n21n,（5）在等差数列中，当项数为偶数时，;项数为奇数时，SSnd,,{}an偶奇

，（这里即）;。

Sna,,,（21），，SSa,,aS:

S,n:

n-1a21n,n奇偶奇偶中中中

）在等差数列中，S,22，则,______（答:

2）;如（1a116

（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中{}an

间项与项数（答:

5;31）.

An（）,fn（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则{}a{}bABnnnnnBnanaA（21）,nnn21,,,,,fn（21）.如设{a}与{b}是两个等差数列，它们的前项和分nnnbnbB（21）,nnn21,

S3n，1na62n,n,ST别为和，若，那么___________（答:

）,nnT4n,3b87n,nn

（7）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增n

等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

法一:

由不等式组n

a0a0,,,,,,nnn确定出前多少项为非负（或非正）;法二:

因等差数列前项是关于,,或,,,,a0a0,,n，1n，1,,,,

*nN,n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

上述两种方法是运用了哪种数学思想,（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗,

{}aa,25SS,如

（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大,并求此最大n1917

2/12

值。

（答:

前13项和最大，最大值为169）;

（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和{}aa,0,aa，,0aa,,0n12003200420032004

成立的最大正整数n是（答:

4006）S,0n

（3）在等差数列中，，且，是其前项和，则（）aaa,,0,0aa,||Sn,,nn10111110

A、都小于0，都大于0SSS,？

SS,？

12101112

B、都小于0，都大于0SSS,？

SS,？

12192021

C、都小于0，都大于0SSS,？

SS,？

12567

D、都小于0，都大于0（答:

B）SSS,？

SS,？

12202122

（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:

公共项仅是公共的项，其项

数不一定相同，即研究.ab,nm

二、等比数列的有关概念:

an，11、等比数列的判断方法:

定义法，其中或qa,,0,0,（为常数）qqnan

aann，1。

（2）n,,aann,1

21n，如

（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则aann，1

5n,2为____（答:

）;

（2）数列中，=4a+1（）且a=1，若b,a,2a，{}aSnnn，1nn,11n6

求证:

数列,b,是等比数列。

n

n,1nm,2、等比数列的通项:

或。

aaq,aaq,n1nm

qaa，,66aa,128如等比数列中，，，前n项和,126，求n和.（答:

{}aSn1n21n,n

1n,6q,，或2）2

naaq,aq

（1）,1n1Sna,n,3、等比数列的前和:

当q,1时，;当q,1时，。

S,n1n,q11,q

qa，a，？

，a如

（1）等比数列中，,2，S=77，求（答:

44）;993699

n10k

（2）的值为__________（答:

2046）;（C）,,nn,,k10

3/12

特别提醒:

等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要nn判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，qqq要对分和两种情形讨论求解。

qq,1q,1

4、等比中项:

若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。

提醒:

不是任何baaAb,,

两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。

如已知两个正数,ab

的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答:

A,B）abab,（）,

提醒:

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:

、、、及qaannn1，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，qSan1

即知3求2;

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为„，

aaaa32„（公比为）;但偶数个数成等比时，不能设为„，„，q,,aq,aq,,,,aaqaq23qqqq

2因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。

如有四个数，其中前三q

，第二个数与第三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16个数的和为12，求此四个数。

（答:

15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质:

（1）当aaaa,时，则有，特别地，当时，则有mnpq，,，mnp，,2mnpq

2aaa,.mnp

如

（1）在等比数列{}a中，aaaa，,,,124,512，公比q是整数，则a=___3847n10（答:

512）;

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则{}aaa,,9ogllaaaogl，，，,og？

n563132310（答:

10）。

*{}（,）apqN,{}a{||}a{}ka

（2）若是等比数列，则、、成等比数列;若pnq，nnn

an{}{}{}ab、{}ab{}a成等比数列，则、成等比数列;若是等比数列，且公比，q,,1nnnnnbn

SSSSS,,,,n则数列，„也是等比数列。

当q,,1，且为偶数时，数列nnnnn232

SSSSS,,,,，„是常数数列0，它不是等比数列.nnnnn232

a,0a,1（*）nN,{}xlog1logxx,，如

（1）已知且，设数列满足，且nanan，1

4/12

100，则.（答:

）;100axxx，，，,？

100xxx，，，,？

12100101102200

（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则{a}SS,13S,S，S,140Snn3010103020

的值为______（答:

40）

（3）若，则为递增数列;若,则为递减数列;若aq,,0,1{}aaq,,0,1{}a11nn

，则为递减数列;若,则为递增数列;若，aq,,,0,01{}aaq,,,0,01{}aq,011nn则为摆动数列;若，则为常数列.{}a{}aq,1nn

aann11ab，,0（4）当时，，这里，但，q,1ab,,0,0S,q，,aq，bn1,q1,q

是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。

S{}annn

n如若是等比数列，且，则,（答:

1）Sr,，3{}arnn

mn（5）.如设等比数列的公比为，前项和为，q{a}SnSSqSSqS,，,，nn，mnmnnm

若成等差数列，则的值为_____（答:

2）qSSS,,nnn，，12

2n21n,（6）在等比数列中，当项数为偶数时，SqS,;项数为奇数时，{}an偶奇SaqS,，.1奇偶

（7）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数{}a{}ann数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

{}an

n,N如设数列,,的前n项和为（），关于数列,,有下列三个命题:

?

若aSannn

2，则,,既是等差数列又是等比数列;?

若，a,a（n,N）a，，S,an，bna、b,Rnn，1nn

n则,,,,是等差数列;?

若，则是等比数列。

这些命题中，真命题的序号a，，aS,1,,1nnn

是（答:

?

?

）

三、数列通项公式的求法

一、公式法

（Sn,1）,1a,?

;,nSS（n2）,,,nn,1

,,,aa?

等差、等比数列公式.nn

5/12

n例已知数列满足，，求数列的通项公式。

{}aa,2{}aaa,，，232n1n，1nn

aa3nnn，1评注:

本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列,,aa,，，232，1nn，1nn222aa3nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{},，,1

（1）nnn222

的通项公式。

{}an

二、累加法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

{}aaana,，，,211，{}ann，11nn评注:

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求aan,，，21aan,,，21nn，1nn，1出，即得数列的通项公式。

（）（）（）（）aaaaaaaaa,，,，，,，,，？

{}annnn,,,11232211n

n例已知数列满足，求数列的通项公式。

{}a{}aaaa,，，，,2313，nn，11nn

nn评注:

本题解题的关键是把