新教材高中数学23二次函数与一元二次方程不等式教学案新人教A版必修第一册.docx

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新教材高中数学23二次函数与一元二次方程不等式教学案新人教A版必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

（教师独具内容）

课程标准：

1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题．

教学重点：

1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．

教学难点：

1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

【知识导学】

知识点一　　　一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有

一个未知数，并且未知数的

最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0（≥0）或ax2＋bx＋c＜0（≤0）（其中a，b，c均为常数，a≠0）的不等式都是一元二次不等式．

知识点二　　　二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的

零点．

知识点三　　　一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的

集合叫做这个一元二次不等式的

解集．

知识点四　　　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

知识点五　　　利用不等式解决实际问题的一般步骤

（1）选取合适的

字母表示题中的

未知数；

（2）由题中给出的不等关系，列出

关于未知数的不等式（组）；

（3）

求解所列出的不等式（组）；

（4）结合题目的

实际意义确定答案．

【新知拓展】

1．解一元二次不等式的方法与步骤

（1）解一元二次不等式的常用方法

①图象法：

由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

（ⅰ）化不等式为标准形式：

ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）；

（ⅱ）求方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；

（ⅲ）由图象得出不等式的解集．

②代数法：

将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．

当m0，则可得x>n或x

若（x－m）（x－n）<0，则可得m

有口诀如下：

大于取两边，小于取中间．

（2）含有参数的一元二次型的不等式

在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：

①关于不等式类型的讨论：

二次项系数a>0，a<0，a＝0.

②关于不等式对应的方程根的讨论：

两根（Δ>0），一根（Δ＝0），无根（Δ<0）．

③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：

x1>x2，x1＝x2，x1

2．利用不等式解决实际问题需注意以下四点

（1）阅读理解材料：

应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．

（2）建立数学模型：

根据

（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．

（3）讨论不等关系：

根据

（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．

（4）作出问题结论：

根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．（　　）

（2）（x＋a）（x＋a＋1）<0是一元二次不等式．（　　）

（3）设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2（x10的解集不可能为{x|x1

（4）用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

2．做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）不等式x2－2x＋3>0的解集为________．

（2）不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．

（3）当a>0时，若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为________．

（4）已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1

（5）有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．

答案　

（1）R　

（2）{x|－4

（5）大于8小于等于

题型一不含参数的一元二次不等式的解法

例1　求下列不等式的解集：

（1）2x2＋7x＋3>0；

（2）－x2＋8x－3>0；

（3）x2－4x－5≤0；（4）－4x2＋18x－

≥0；

（5）－

x2＋3x－5>0；（6）－2x2＋3x－2<0.

[解]　

（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－

，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为

.

（2）因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－

，x2＝4＋

，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－

}．

（3）原不等式可化为（x－5）（x＋1）≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．

（4）原不等式可化为

2≤0，所以原不等式的解集为

.

（5）原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅.

（6）原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R.

金版点睛

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．

（2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．

（3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．

（4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．

（5）根据图象写出不等式的解集．

　求下列不等式的解集：

（1）x2－3x＋1≤0；

（2）3x2＋5x－2>0；

（3）－9x2＋6x－1<0；（4）x2－4x＋5>0；

（5）2x2＋x＋1<0.

解　

（1）因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝

，x2＝

，所以原不等式的解集为

≤x≤

.

（2）原不等式可化为（3x－1）（x＋2）>0，所以原不等式的解集为

.

（3）原不等式可化为（3x－1）2>0，所以原不等式的解集为

.

（4）因为Δ＝（－4）2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R.

（5）因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅.

题型二含参数的一元二次不等式的解法

例2　解关于x的不等式（a∈R）：

（1）2x2＋ax＋2>0；

（2）ax2－（a＋1）x＋1<0.

[解]　

（1）Δ＝a2－16，下面分情况讨论：

①当Δ<0，即－4

②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为

x1＝

（－a－

），x2＝

（－a＋

）．

当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；

当a>4或a<－4时，原不等式的解集为

x<

（－a－

）或x>

（－a＋

）；

当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．

（2）若a＝0，原不等式为－x＋1<0，解得x>1；

若a<0，原不等式可化为

（x－1）>0，解得x<

或x>1；

若a>0，原不等式可化为

（x－1）<0，（*）

其解的情况应由

与1的大小关系决定，故

①当a＝1时，由（*）式可得x∈∅；

②当a>1时，由（*）式可得

③当0

.

综上所述，当a<0时，解集为

；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0

；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为

.

金版点睛

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

（1）讨论二次项系数：

二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

（2）判断方程根的个数：

讨论判别式Δ与0的关系．

（3）写出解集：

确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

　解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0.

解　原不等式可化为（x－a）（x－a2）>0.

方程x2－（a＋a2）x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2.

由a2－a＝a（a－1）可知：

①当a<0或a>1时，a2>a.

解原不等式得x>a2或x

②当0

解原不等式得x>a或x

③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.

④当a＝1时，原不等式为（x－1）2>0，∴x≠1.

综上可知：

当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；

当0a}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.

题型三“三个二次”之间的转化关系

例3　若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3

[解]　因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3

即

所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0，

即为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，

故所求的不等式的解集为{x|－3

[条件探究]　本例中把{x|－34}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？

解　因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3或x>4}，所以a>0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得

即

所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0，即为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15>0，解得x<－3或x>5，

故所求不等式的解集为{x|x<－3或x>5}．

金版点睛

三个“二次”之间的关系

（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．

（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：

（1）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是

，则ax2－bx＋c>0的解集为________；

（2）已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－

和2，则不等式ax2＋bx－1>0的解集为________．

答案　

（1）

（2）

解析　

（1）由题意－2，－

是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，故

解得a＝c，b＝

c，

所以不等式ax2－bx＋c>0即为2x2－5x＋2<0，解得

（2）∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－

和2，由根与系数的关系可得

∴a＝－2，b＝3，

ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0，

即2x2－3x＋1<0，解得

题型四利用一元二次不等式判断车速

例4　某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）sm和汽车车速xkm/h有如下关系：

s＝

x＋

x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？

（精确到0.01km/h，

≈168.88）

[解]　设这辆汽车刹车前的车速为xkm/h，

根据题意，得

x＋

x2＞39.5.

移项整理，得x2＋9x－7110＞0.

显然Δ＞0，x2＋9x－7110＝0有两个实数根，

即x1≈－88.94，x2≈79.94.

然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7110的图象，

得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x＞79.94}．

在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

金版点睛

一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.

　汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有如下关系：

s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：

超速行驶应负主要责任的是谁？

解　由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1200>0，

解得x>30或x<－40（不符合实际意义，舍去），

这表明甲车的车速超过30km/h.但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h.

对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0，

解得x>40或x<－50（不符合实际意义，舍去），

这表明乙车的车速超过40km/h，即超过规定限速，

所以乙应负主要责任.

题型五利用一元二次不等式解决利润问题

例5　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量．

（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

[解]　

（1）依题意，得y＝[1.2（1＋0.75x）－（1＋x）]×1000×（1＋0.6x）＝1000（－0.06x2＋0.02x＋0.2）．

∴所求关系式为y＝1000（－0.06x2＋0.02x＋0.2）（0＜x＜1）．

（2）依题意，得

1000（－0.06x2＋0.02x＋0.2）＞（1.2－1）×1000.

化简，得3x2－x＜0.解得0＜x＜

.

∴投入成本增加的比例x的范围是0

.

金版点睛

解不等式应用题，一般可按四步进行：

①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系或表示成函数关系；③解不等式或求函数最值；④回归到实际问题.

　将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．问为了使赚得的利润不少于8000元，售价应定在多少范围？

这时应进货又在什么范围？

解　如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元．为了使赚得的利润不少于8000元，只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多．设该商品涨价x元，则该商品销售时的单价是（50＋x）元，每个商品的利润是[（50＋x）－40]元，销售量是（500－10x）个．由题意可列不等式为[（50＋x）－40]（500－10x）≥8000.

整理，得x2－40x＋300≤0.

解这个一元二次不等式，得10≤x≤30.

故该商品销售时的单价应定在大于等于60小于等于80之间．

因为销售量和该商品涨价x元之间是一次函数关系，且

当该商品销售时的单价为60元时，其销售量是500－10×10＝400（个）；

当该商品销售时的单价为80元时，其销售量是500－10×30＝200（个）．

故这时应进货的范围为大于等于200小于等于400.

1．在下列不等式中，解集是∅的是（　　）

A．x2－3x＋5>0B．x2＋4x＋4≤0

C．4－4x－x2<0D．－2＋3x－2x2>0

答案　D

解析　A的解集为R；B的解集是{x|x＝－2}；C的解集为{x|x>－2＋2

或x<－2－2

}，用排除法应选D.

2．在R上定义运算⊙：

a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙（x－2）<0的实数x的取值范围为（　　）

A．0

C．x<－2或x>1D．－1

答案　B

解析　∵x⊙（x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2<0，

∴x2＋x－2<0即（x－1）（x＋2）<0，

解得－2

3．若t>2，则关于x的不等式（x－t）

<0的解集为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　A

解析　∵t>2，∴t>

，

∴（x－t）

<0，解得

4．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积不大于2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的不等式是（　　）

A．（60＋2x）（40＋2x）≤2816

B．（60＋x）（40＋x）≥2816

C．（60＋2x）（40＋x）＞2816

D．（60＋x）（40＋2x）＜2816

答案　A

解析　“不大于”就是“≤”，所以根据题意可列出不等式为（60＋2x）（40＋2x）≤2816.

5．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件这种风衣所需成本为c＝500＋30x元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，问：

该厂日产量多大时，可使该厂日获利不少于1300元？

解　设该厂日产量为x件时，日获利为y元，

则y＝（160－2x）x－（500＋30x）＝－2x2＋130x－500，

由题意可得－2x2＋130x－500≥1300.

解得20≤x≤45.

∴当该厂日产量x满足20≤x≤45时，可使该厂日获利不少于1300元．