全国重点名校高一数学优质教学资料高一数学 32等差数列第一课时 大纲人教版必修.docx

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全国重点名校高一数学优质教学资料高一数学32等差数列第一课时大纲人教版必修

§3.2等差数列

课时安排

2课时

从容说课

等差数列是一种特殊的数列,其基本特征为:

从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数。

关键是“等差”的特点的理解。

本节首先是由具体的例子引出等差数列的概念,然后由等差数列的定义,通过不完全归纳法得出了等差数列的通项公式。

这种推导过程可以培养观察分析、归纳猜想的能力。

本节的重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式,通过对本节的学习,要深刻理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式及其应用。

第一课时

●课题

§3.2.1等差数列

(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.等差数列的定义.

2.等差数列的通项公式.

(二)能力训练要求

1.明确等差数列的定义

2.掌握等差数列的通项公式,会解决知道an,a1,d,n中的三个,求另外一个的问题

(三)德育渗透目标

1.培养学生观察能力.

2.进一步提高学生推理、归纳能力.

3.培养学生的应用意识.

●教学重点

1.等差数列的概念的理解与掌握.

2.等差数列的通项公式的推导及应用.

●教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.

●教学方法

启发式教学

启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.

●教具准备

幻灯片一张

记作§3.2.1

1,2,3,4,5,6;①

10,8,6,4,2,…;②

21,21

,22,22

,23,23

,24,24

,25③

2,2,2,2,2,…④

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

[师]上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面我们看这样一些例子:

(打出幻灯片§3.2.1)

Ⅱ.讲授新课

[师]首先,请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?

是否可以写出这些数列的通项公式?

(引导学生积极思考,努力寻求各数列通项公式,并找出其共同特点)

[师]大家是否已考虑成熟?

[生甲]数列①是一递增数列,后一项总比前一项多1,其通项公式为:

an=n(1≤n≤6).

[生乙]数列②是由一些偶数组成的数列,是一递减数列,后一项总比前一项少2,其通项公式为:

an=12-2n(n≥1).

[生丙]数列③是一递增数列,后一项总比前一项多

,其通项公式为:

an=20

n(1≤n≤9)

[生丁]数列④的通项公式为:

an=2(n≥1),是一常数数列.

[师]综合上述学生所说,它们的共同特点是什么呢?

[生]它们的共同特点是:

从第2项起,每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.

[师]也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数列.

1.定义

等差数列:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.

如:

上述4个数列都是等差数列,它们的公差依次是1,-2,

,0.

2.等差数列的通项公式

[师]等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得:

(n-1)个等式

若将这n-1个等式左右两边分别相加,则可得:

an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d

当n=1时,等式两边均为a1,即上述等式均成立,则对于一切n∈N*时上述公式都成立,所以它可作为数列{an}的通项公式.

或者由定义可得:

a2-a1=d即:

a2=a1+d;a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……;an-an-1=d,即an=an-1+d=a1+(n-1)d

[师]看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.

如数列①:

an=1+(n-1)×1=n(1≤n≤6),数列②:

an=10+(n-1)×(-2)=12-2n(n≥1),数列③:

an=22+(n-1)

=21

(n≥1),数列④:

an=2+(n-1)×0=2(n≥1)

由通项公式可类推得:

am=a1+(m-1)d,即a1=am-(m-1)d,则:

an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d.

如:

a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d

3.例题讲解

[例1]

(1)求等差数列8,5,2…的第20项.

分析:

由给出的三项先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,然后求出所要项.

解:

由题意可知:

a1=8,d=5-8=2-5=-3

∴该数列通项公式为:

an=8+(n-1)×(-3),即an=11-3n(n≥1),当n=20时,则a20=11-3×20=-49.

答案:

这个数列的第20项为-49.

(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?

如果是,是第几项?

分析:

要想判断-401是否为这数列的一项,关键要求出通项公式,看是否存在正整数n,可使得an=-401.

解:

由题意可知:

a1=-5,d=-9-(-5)=-4,

∴数列通项公式为:

an=-5-4(n-1)=-4n-1.令-401=-4n-1,解之得n=100.

∴-401是这个数列的第100项.

[例2]在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.

①②

解:

由题意可知,

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解这个方程组,得a1=-2,d=3.

即这个等差数列的首项是-2,公差是3.

[例3]在等差数列{an}中,已知a5=10,a15=25,求a25.

思路一:

根据等差数列的已知两项,可求出a1和d,然后可得出该数列的通项公式,便可求出a25.

解法一:

设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得:

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解这个方程组,得a1=4,d=

.

∴这个数列的通项公式为:

an=4+

×(n-1),即an=

.∴a25=

×25+

=40.

思路二:

若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算.

解法二:

由题意可知:

a15=a5+10d,

即25=10+10d,∴10d=15.

又∵a25=a15+10d,∴a25=25+15=40.

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