全国重点名校高一数学优质教学资料高一数学 32等差数列第一课时 大纲人教版必修.docx

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全国重点名校高一数学优质教学资料高一数学32等差数列第一课时大纲人教版必修

§3.2等差数列

课时安排

2课时

从容说课

等差数列是一种特殊的数列，其基本特征为：

从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。

关键是“等差”的特点的理解。

本节首先是由具体的例子引出等差数列的概念，然后由等差数列的定义，通过不完全归纳法得出了等差数列的通项公式。

这种推导过程可以培养观察分析、归纳猜想的能力。

本节的重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式，通过对本节的学习，要深刻理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及其应用。

第一课时

●课题

§3.2.1等差数列

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.等差数列的定义.

2.等差数列的通项公式.

（二）能力训练要求

1.明确等差数列的定义

2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

（三）德育渗透目标

1.培养学生观察能力.

2.进一步提高学生推理、归纳能力.

3.培养学生的应用意识.

●教学重点

1.等差数列的概念的理解与掌握.

2.等差数列的通项公式的推导及应用.

●教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.

●教学方法

启发式教学

启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.

●教具准备

幻灯片一张

记作§3.2.1

1，2，3，4，5，6；①

10，8，6，4，2，…；②

21，21

，22，22

，23，23

，24，24

，25③

2，2，2，2，2，…④

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子：

（打出幻灯片§3.2.1）

Ⅱ.讲授新课

［师］首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?

是否可以写出这些数列的通项公式？

（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）

［师］大家是否已考虑成熟？

［生甲］数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：

an=n（1≤n≤6）.

[生乙]数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：

an=12－2n（n≥1）.

[生丙]数列③是一递增数列，后一项总比前一项多

，其通项公式为：

an=20

n（1≤n≤9）

[生丁]数列④的通项公式为：

an=2（n≥1），是一常数数列.

［师］综合上述学生所说，它们的共同特点是什么呢？

［生］它们的共同特点是：

从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.

［师］也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.

1.定义

等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

如：

上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，

，0.

2.等差数列的通项公式

［师］等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

（n－1）个等式

若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：

an－a1=（n－1）d，即an=a1+（n－1）d

当n=1时，等式两边均为a1,即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式.

或者由定义可得：

a2－a1=d即：

a2=a1+d；a3－a2=d，即a3=a2+d=a1+2d；a4－a3=d，即a4=a3+d=a1+3d；……；an－an－1=d,即an=an－1+d=a1+（n－1）d

［师］看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.

如数列①:

an=1+（n－1）×1=n（1≤n≤6）,数列②：

an=10+（n－1）×（－2）=12－2n（n≥1）,数列③：

an=22+（n－1）

=21

（n≥1）,数列④：

an=2+（n－1）×0=2（n≥1）

由通项公式可类推得：

am=a1+（m－1）d，即a1=am－（m－1）d，则：

an=a1+（n－1）d=am－（m－1）d+（n－1）d=am+（n－m）d.

如：

a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d

3.例题讲解

［例1］

（1）求等差数列8，5，2…的第20项.

分析：

由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.

解：

由题意可知：

a1=8,d=5－8=2－5=－3

∴该数列通项公式为：

an=8+（n－1）×（－3）,即an=11－3n（n≥1）,当n=20时，则a20=11－3×20=－49.

答案：

这个数列的第20项为－49.

（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?

如果是，是第几项?

分析：

要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=－401.

解：

由题意可知：

a1=－5,d=－9－（－5）=－4,

∴数列通项公式为：

an=－5－4（n－1）=－4n－1.令－401=－4n－1,解之得n=100.

∴－401是这个数列的第100项.

［例2］在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.

①②

解：

由题意可知，

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1=－2,d=3.

即这个等差数列的首项是－2，公差是3.

［例3］在等差数列{an}中，已知a5=10,a15=25,求a25.

思路一：

根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.

解法一：

设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1=4,d=

.

∴这个数列的通项公式为：

an=4+

×（n－1）,即an=

.∴a25=

×25+

=40.

思路二：

若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+（n－m）d.这样可简化运算.

解法二：

由题意可知：

a15=a5+10d,

即25=10+10d,∴10d=15.

又∵a25=a15+10d,∴a25=25+15=40.