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电势电势差和电势能
第12单元：
电势、电势差和电势能
【教学结构】
电势能、电势、电势差三个物理量联系密切，表示电场的能的性质。
三个概念均很重要，但需要突出电势差概念的理解和应用。
一、电势能
1.电场力的功
W=F·SS应是沿电场线方向位移，根据F、S的方向决定电场力做正功、负功。
电场力做功与路径无关，与重力功比较理解上述内容
2.电势能：
电荷在电场中具有的势能，和重力势能一样要确定0势能的位置。
比0电势能高的电势能为正，比零电势能低的电势能为负。
电势能用ε表示，单位焦耳（J）
3.电势能与电场力的功的关系，W=－△ε△ε=ε2－ε1，电场力做正功电势能减少，电场力做负功电势能增加。
与重力功和重力势能变化的关系进行比较。
二、电势
1.电势定义：
U=
。
图1所示为正点电荷的电场，为距Q无穷远处，此处电势能为零，把电量不同的正电荷q1、q2、q3……从无穷远处A点移到电场中B点，电场力做负功为W1、W2、W3……，所以电荷在B点电势能应为ε1、ε2、ε3，虽然q不同，ε不同，但它们比值，
相同，用此理解，电势的概念为单位电量电荷在B处所具有的电势能，或理解为1库仑的电荷从B到A电场力做的功。
2.电势是标量，单位：
伏特简称伏，用V表示，1V=1J／C。
从上面过程分析可知，在离场源无穷远处电势为0。
（1）正电荷电场中，处处电势为正，负电荷电场中，处处电势为负。
（2）沿电力线方向，电势降低。
3.电势能与电势的关系，ε=υq，对照电场力和电场强度的联系和区别进行比较。
判断q在正、负点电荷电场中的电势能的正负，分q为正、负电荷两种情况考虑。
4.等势面：
电场中电势相等的点构成的面
（1）在同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力不做功，与在同一水平面上移动的物体重力不做功的道理一样
（2）等势面一定与电场线垂直
（3）匀强电场中的等势面是与电场线垂直的一族平面。
思考点电荷电场等势面情况
（4）处于静电平衡的导体是等势体。
等势体不是电势为零
三、电势差
1.1.电势差的定义：
电场中两点间的电势的差值。
又叫电压。
单位：
伏特符号：
U
UAB=UA－UBUA＞UB时，UAB＞0为正，UA＜UB时，UAB＜0为负
2.2.电场力的功：
W=UABq，当UA＞UB时q为正电荷电场力做正功，电势能减少，与UAq＞Ubq相等。
q为负电荷时电场力做负功，电势能增加，与－UAq＜－Ubq相符。
3.3.电势差的物理意义：
电势差的值即为电场力作用下两点间移动一库仑正电荷电场力做的功。
例如：
UAB=10V，移动1库仑正电荷电场力做功10J，1库仑负电荷电场力做功－10J。
4.4.电子伏特，是能量单位，1电子伏特（国际符号是eV）就是在电压为1V的两点间移动电子时电场力做的功。
1eV=1.6×10－19J
5.5.在匀强电场中，场强与电势差的关系：
E=
，
为AB两点沿电力线方向的距离。
（1）
（1）沿场强方向电势降低最快的方向
（2）
（2）场强单位1V／m=1N／c
（3）（3）在匀强电场中，电场强度可理解为，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势。
（4）（4）注意场强公式适用条件：
E=
为定义式，普遍适用。
E=K
，只适用于在真空中点电荷产生电场的情况，E=
，只适用于匀强电场。
【解题点要】
例一、下列说法正确的是（）
A.A.电场中顺着电场线移动电荷，电场力做功，电荷电势能减少
B.B.在电场中逆着电场线移动电荷，电场力做功，电荷电势能减少
C.C.在电场中顺着电场线移动正电荷，电场力做正功，电荷电势能减少
D.D.在电场中逆着电场线移动负电荷，电场力做负功，电荷电势能增加
解析：
根据我们学过电场知识可知顺着电场线移动正电荷，电场力做正功，电荷电势减少，移动负电荷，电场力做负功电荷电势能增加；逆着电场线移动正电荷，电场力做负功电荷电势能增加，移动负电荷电场力做正功，电荷电势能减少。
选项A，不知移动电荷正、负，无法判断电场力做功正、负，结论不正确，不能选A，同样道理不能B。
沿电场线移动正电荷，电场力做正功，电荷电势能一定减小，故选项C正确，选项D，电场力做负功是错的，结论是错的，不能选D，答案：
C
本题解答过程中所用的知识可做为一条原则记下，考虑问题时会比较方便
例二、电子在电场中由电势高处运动到电势低处的过程中，下列说法中正确的是（）
A.A.电子动能一定越来越小
B.B.电子电势能一定越来越大
C.C.电子速度一定越来越大
D.D.电子电势能可能越来越小
解析：
根据题意和选项，解答本题需要力学知识，电场知识的结合才能准确选择，从高电势处运动到低电势处，是顺电场线方向运动，电子所受电场力与运动方向反向，电场力对电子做负功，根据动能定理，电子动能应减小，A选项正确，同量电子电势能增加，B选项正确，C、D选项错误。
答案应为AB
从本题可以看出：
（1）前面学过力学规律在解答电场问题必须能准确使用
（2）
（2）电场力对电子做负功，使电子动能减少，转化为电势能，符合能量转化原理。
例三、图一表示等量异种电荷p和Q形成的电场内的一簇等势面，求
（1）
（1）p、Q各带何种电荷？
（2）
（2）把q=10－7C的正点电荷从A移到B，电场力做多少功？
（3）（3）把q从B移到C电场力做多少功？
（4）（4）把q从C匀速回到A电场力做多少功？
（5）（5）q从A出发经过B和C回到A的过程中电场力对电荷做的总功为多少？
解析：
沿Qp方向电势降低方向，可见电场线应是由Q指向p，电场线应是从正电荷出发，结束于负电荷，所以，Q带正电，p带负电，A、B所示在等势面分别为30V、－10V，UAB=30－（－10）=40V，WAB=UAB·q=40×10－6J。
q从B到C
WBC=20×10－7=2×10－6J。
电荷q从C到A时，UCA=－30V－30V=－60V，WCA=－60×10－7=－6×10－6J。
q从A经B、C又回到A，从上面计算看，电场力做功总和为0J。
注意：
如果A、B、C三点不离开各自的等势面，无论如何变化位置，本题计算结果都不会改变。
例四、如图二所示的一簇平等线为求知方向的匀强电场的电场线。
沿与平行线成60°角的方向，把1μC负电荷以A点移到B点，电场力做了2μJ的功。
AB间距离为2cm，问
（1）
（1）匀强电场的场强多大？
方向如何？
（2）
（2）若B点电势为1V，则A点电势是多大？
（3）（3）电子处于B点时，它具有的电势能是多少电子伏？
它从A点移到B点，电势能增加多少电子伏？
解析：
电场力做正功，有时也说电场力做功，电场力做负功也说成克服电场力做功，或非电场力做功，本题中电场力做2μJ的功即是2μJ的正功。
另：
1μC=10－6C,1μJ=10－6J。
（1）W=UAB·qUAB=
，A点电势比B点电势低2V。
E=
d=2×10－2×sin30°=1×10－2m。
d应为沿电场线方向的距离，E=
其方向沿斜线向下。
（2）
（2）UAB=UA－UBUA=UB+UAB=1－2=－1V
（3）（3）εB=－eUb=－1eV，△ε=εB－εＡ ＝－1－1＝－2eV。
电子带负电在Ｂ处电势能为负。
Ａ处电势为－1Ｖ，电子带负电，电势能应为正。
本题要求：
概念，规定必须清楚，如题中给出ＡＢ间移动2cm，但公式中的d不是2cm，应是沿电场线ＡＢ间的距离，故不能直接用2cm。
又如电势，电势能的正负必须清楚。
例五、如图三所示，平行金属板AB相距2cm，接在电压为12V的电池组上，电池组中心接地，试求：
（1）AB板电势各是多少伏？
AB间场强多大？
（2）如果在距A板0.5cm处插入一块接地的金属板C，则A、B板的电势各为多大？
AC与BC间场强各多大？
解析
（1）图中
为接地符号，一般的接地处的电势为零，电源中心接地中心处电势为零，C板接地，C板电势为零，电池组左侧部分正极比零电势高6V，为+6V，左侧负极比中心处低6V，电势为－6V，A板电势为6V，B板电势为－6V。
EA=
EB=
【课余思考】
1.什么是电势？
电势、电势能在数值上等于什么？
2.什么是电势差？
UAB=22V，是什么意思？
【同步练习】
1.1.一个点电荷，从静电场的a点移到b点，其电势变化为零，则（）
A.A.a、b两点场强一定相等
B.B.该点电荷一定沿等势面移动
C.C.作用于该点电荷的电场力与其移动方向总是垂直的
D.D.a、b两点的电势一定相等
2.2.如图四所示，为电场中心一条电场线，一个点电荷由静止开始，在电场力作用下，从A点移到B点，下面论述正确的是（）
A.A.A处场强大于B处场强；
B.B.点电荷在A处电势能大于在B处电势能；
C.C.点电荷带负电；
D.D.由A到B点电荷受到电场力越来越小。
3.如图五所示，q1、q2是等量异号点电荷，pQ是两个点电荷连线的垂直平分线，则
（1）
（1）将电量为q的正电荷，从无穷远处沿pQ连线移到B点时，电场力对点电荷q做的功为，电荷q在移动过程中，其电势能。
（2）电荷q在A、B、C三点具有电势能相比，
电势能最大；电势能最小；电能为零。
4.4.图六所示的匀强电场场强为103N／C，ab=dc=4cm，bc=ad=3cm，则下述计算结果正确的是（）
A.A. ab之间电势差为40V
B.B. ac之间电势差为50V
C.C. 将q=－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abcd移动一周，电场力做功为零
D.D. 将q=－5×10－3C的点电荷沿abc或abc从a移动到c，电场力做功都是－0.25J
5.5.图七所示在匀强电场中，MN为一绝缘杆，两端有等量异号的点电荷，开始时杆与场强方向平行，处于平衡状态。
当杆绕中心O转180°时，使MN交换位置，需要克服电场力做功W，求杆与场强方向成45°夹角时，杆所受的电场力的力矩的大小等于多少？
【参改答案】
1.D2.B3.
（1）零不变
（2）ACB4.AC5.M=
静电场·电势电势差等势面·
一、教学目标
1．在物理知识方面要求：
（1）了解什么是电势。
（2）掌握电势差、等势面的概念，在头脑中建立不同场等势面图景。
2．渗透物理学方法的教育，运用理想化方法抽象出等势面的空间模型。
二、难点、重点分析
1．难点是使学生掌握电势的概念，这一概念虽要求不高，却不好理解。
2．重点是掌握电势差、等势面。
三、主要教学过程
（一）引入新课
前面我们曾经学习过用来描述电场力学性质的一个物理量——场强（E）。
下面一起来回忆一下有关内容：
（1）电场的基本性质；
（2）场强是怎么定义的，方向如何？
电场除了具有力的性质外，还具有能的性质，用什么物理量来描述这一性质——电势（U）。
（二）教学过程设计
1．电势U
放在电场中的电荷具有电势能，电势能与重力势能相似具有相对性。
一般来说如果将一个检验电荷放在点电荷电场中，在无穷远处检验电荷具有的电势能为零。
电场为做正功电势能减少，克服电场力做功，电势能增加。
如图1所示，将一电量为q的正检验电荷放在正点电荷的电场中，B点为无穷远处。
此时q具有的电势能为零，将q由B点移至A点，需克服电场力做功，电势能增加，如果克服电场力做功为E，B点电势能为零，所以A点电势能为E，电势能与电量比为E/q。
换用2q的检验电荷，同理可知需克服电场力做功2E，在A点具有电势能为2E，电势能与电量比为2E/2q=E/q，换用nq检验电荷，从B点到A点需克服电场力做功nE，在A点具有的电势能为nE，电势能与电量的比值为nE/nq=E/q。
由此可见对于电场中的某一点来说，不同检验电荷具有的电势能不同但电势能与电量的比值相同，与检验电荷无关。
如果将负检验电荷q从B点移至A点，电场力做正功，电势能减少，B点电势能为零，所以A点电势能为-E，但电势能与电量之比为-E/-q=
说，在电场中的同一点，不同的检验电荷可以具有不同的电势能，但电势能与电量的比值与检验电荷无关，由场唯一决定，我们就把这一比值称为场中这一点的电势。
如果用U表示电势，用E表示电荷q的电势能，那么U=E/q（E、q、U均可正可负，计算时带符号运算）。
此式只是电势的定义式，而不是决定式场中某点电势由场唯一决定。
场定了，场中某点电势就唯一确定了，与放不放检验电荷，放什么样的检验电荷无关。
（1）电势是相对的，是相对于零势面来说的，一般选大地或无限远为零势面。
（2）沿着电场线方向电势降低。
如图2所示：
将正检验电荷q从无穷远分别移至A，B，C，…各点电场力所做负功为EA，EB，EC，…且EA＞EB＞EC均为正值，EA/q＞EB/q＞EC/q＞…。
即UA＞UB＞UC＞…＞0沿着电场线方向电势降低，同理可证负电荷电场也如此。
（3）正电荷电场中各点电势均为正；负电荷电场中各点电势均为负。
关于正电荷的由
（2）可知：
关于负电荷由图3可知：
将正检验电荷q从无穷远移至A点，电场力做正功，电势能减少无穷远处电势能为零，在A点电势能为负，电势能与电量之比为负，即电势为负。
（4）电势是标量，只有大小没有方向。
虽是标量但有正负，正的代表比零电势高，负的代表比零电势低，而不代表方向。
（5）电势的单位：
伏特（V）
2．电势差
电场确定后，场中各点电势就唯一确定了，一般来说不同的点具有不同的电势，两点间电势的差值，称为这两点间的电势差，也叫电压。
例：
A点电势UA，B点电势UB，A、B两点间的电势差UAB=UA-UB，如UA=10V，UB=-5V，UAB=UA-UB=10V-（-5V）=15V，BA两点间电势差为UBA=UB-UA=（-5V）-10V=-15V，UBA=-UAB。
知道了电场中两点的电势，由E=qU即可算出电荷在这两点的电势能，从而算出从一点到另一点电势能的增量，设UA＞UB，则正电荷在A点，电势能为UAq，在B点电势能为UBq，q从A点移到B点电势能减少了qUA-qUB。
而电势能的减少等于电场力做的正功，所以正电荷从A点移到B点时电场力做的正功W=qUA-qUB=q（UA-UB）=qUAB，如果把正电荷q从B点移到A点，电势能增加了qUA-qUB，而电势能的增加等于电场力做的负功，所以正电荷从B点移到A点电场力做的负功大小为qUA-qUB=q（UA-UB）=qUAB。
与此类似，将负电荷-q从A移到B，或从B移到A，电场力做功的大小仍是qUAB，所以，在电场中AB两点间移动电荷时，电场力做的功W等于电量q和这两点间的电势差U的乘积，即W=qU，式中q用C做单位，U用V做单位，W用J做单位，利用这个公式时，qU都取绝对值，算出的功W也为绝对值。
说明：
（1）电势能是相对的，而电势能的变化是绝对的，△E=qAB或△E=qUBA，仅由q与两点间电势差决定。
（2）电场力做正功，电势能减少，末态减初态，增量为负。
电场力做负功，电势能增加，末态减初态，增量△E为正。
例题：
设电场中AB两点电势差U=2.0×102V，带电粒子的电量q=1.2×10－8C，把q从A点移到B点，电场力做了多少功？
是正功还是负功？
设UA＜UB。
W＝qU=1.2×10-8×2.0×102J
=2.4×10-6J
因为UA＜UB，q为正电荷，故q在B点的电势能大于A点电势能，即从A点移到B点电势能增加，即电功力做负功。
3．等势面
一般说来，电场中各点的电势不同，但电场中也有许多点的电势相等。
我们把电场中电势相等的点构成的面叫等势面。
（1）在同一等势面上的任意两点间移动电荷，电场力不做功，因为等势面上各点电势相等，电荷在同一等势面上各点具有相同的电势能，所以在同一等势面上移动电荷电势能不变，即电场力不做功。
（2）等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直。
假如不是这样，场强就有一个沿着等势面的分量，这样在等势面上移动电荷时电场力就要做功。
但这是不可能的，因为在等势面上各点电势相等，沿着等势面移动电荷时电场力是不做功的。
所以场强一定跟等势面垂直。
（3）前面已经指出，沿着电场线方向电势越来越低。
可见，电场线不但距等势面垂直，而且是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
（4）几种典型场的等势面。
（5）处于静电平衡状态的导体是一个等势体，它的表面是一个等势面。
因为导体在静电平衡状态时内部场强处处为零，在导体的任意两点间移动电荷时电场力所做的功为零，因此导体内部各点电势相等。
静电场·电势能 电势差·教案
一、教学目标
1．通过与重力势能对比，使学生掌握电势能这一概念。
2．掌握电势差概念。
3．复习巩固用比值定义物理量的条件。
4．复习加深能量转化和功之间的关系。
二、重点、难点分析
1．重点是明确电场力的功和电势能的变化之间的关系及建立电势差的概念。
电荷的分布及两个点的位置决定，而与W、q无关。
三、主要教学过程
（一）引入新课
前面我们从电荷在电场中受到力的作用出发，研究了电场的性质。
我们引入电场强度矢量E描述电场强弱，用矢量E描述电场力的性质。
规定单位正电荷在某点所受电场力的方向为该点场强方向，大小为场强大小。
这样表示出电场力的性质。
电场对放入其中的电荷有力的作用，此力可以做功，所以电场也有能的性质。
下面我们从能量角度研究电场性质。
复习：
1．功的量度
W=Fscosθ力和物体在力的方向上位移的乘积。
（θ为F与s的夹角）
2．重力功
（1）重力功只与物体的起末位置有关而与路径无关。
如图1所示，物体沿不同路径经由A到B，重力功仅与AB两点竖直方向高度差有关，与所走路径无关。
W=mgh
（2）重力功与重力势能的关系
重力对物体做功，物体重力势能减小，物体克服重力做功，物体重力势能增加。
重力做多少功，重力势能就减少多少。
重力功等于重力势能增量的负值，即：
WG=-△Ep（3）重力势能是相对的，有零势能面。
（人为选定）
（4）物体在某处的重力势能（可正可负），数值上等于把物体从该点移到零势能面处时，重力所做的功，如前图1中，如设EpA=0，则EpB=-mgh，如设EpB=0，则EpA=mgh。
（5）重力势能应归物体与地球所共有。
一般我们只提物体不说地球，但不等于归物体自己所有，原因是如没有地球则谈不上物体受重力，所以也谈不上重力势能。
以上为重力功的特点及它与重力势能的关系。
在热学中，我们学过分子间有分子力，r＜r0时为斥力，r＞r0时为引力，分子力间可做功，且与路径无关，因此有分子势能。
分子做正功分子势能减小，分子做负功分子势能增大。
下边我们首先来看看电场力做功的特点。
（二）教学过程设计
1．电场力做功的特点
上节课我们了解了几种典型电场，今天我们就用匀强电场来研究电场力功的特点。
在场强为E的匀强场中，令电荷q沿任意一条曲线由A移至B（如图2），可将AB分成若干小段AA1、A1A2……，若小段的数目足够多，每一小段都足够短，则可用折射AB1、A1B1、A1B2、A2B2……代替曲线，电荷在AB1、A1B2……段上移动时，电场力的功为Eq·AB1、Eq·A1B2……，电荷在B1A1、B2A2……段上移动时，电场力不做功，所以电荷由A移至B的过程中电场力做功W=Eq·（AB1＋A1B2＋…）=Eq·AB＇即W为电场力与AB在电场力方向上投影的乘积，与路径无关。
由上可知：
电场力做功与路径无关，仅与电荷运动的起末位置有关。
此结论不仅适用于匀强电场而且适用于任何电场。
（在中学阶段不必学习其证明方法）
例如：
如图3所示，在场电荷+Q的电场中检验电荷q由A移至B，电场力做的功为W。
以OA为半径画弧交OB于C，则q由A沿弧到C到B电场力做功为W1，q由C到B电场力做功为W2，则有：
W=W1＝W2。
原因是q由A到C，电场力做功为零，WACB=WAC+WCB=W1=W2＝W
小结：
（1）重力做功与路径无关，所以物体具有由位置决定的重力势能。
（2）分子力做功与路径无关，所以分子间有由相对位置决定的分子能。
类似地电场力做功也与路径，无关仅与电荷起末位置有关，所以电荷在电场中也具有与位置有关的势能——电势能。
2．电势能E
电荷在电场中具有的与电荷位置有关的能，叫电势能。
提问：
电场力功与电势能有什么关系？
提示重力功与重力势能的关系。
在学生回答的基础上总结：
（1）电场力对电荷做正功，电势能减少；电场力对电荷做负功，电势能增加。
电场力功等于电势能增量负值，即W电=-△E。
（2）电势能也是相对的，零势能点是人为选定的。
点电荷一般取无穷远为零势能处。
提问：
电荷在电场中的电势能由谁决定？
讨论：
如图4所示，＋Q电场中检验电荷q由A移到B再到无穷远，如果是+q电场力做正功，电势能减少，到无穷远时电势能变为零，所以+q在A点时所具有的电势能大于零；如果是-q电场力做负功，电势能增加，到无穷远时电势能变为零，所以-q在A点时所具有的电势能小于零。
如果图4中+Q变为-Q，检验电荷q由A移到B再到无穷远，如果是+q电场力做负功，电势能增加，到无穷远时电势能变为零，所以+q在A点时所具有的电势能小于零；如果是-q电场力做正功，电势能减少，到无穷远时电势能变为零，所以-q在A点时所具有的电势能大于零。
在学生回答的基础上总结：
（3）电荷在电场中的电势能由电荷正负和电场共同决定。
点电荷电场中电势能正负：
如场电荷与检验电荷同号，则电势能E大于零；如场电荷与检验电荷反号，则电势能E小于零（前提：
规定无穷远为零势能处）。
（4）电势能是属检验电荷与电场所共有的。
（5）电势能是标量，只有大小无方向。
总结：
从功能关系看，电荷在电场中某点的电势能数值应为把电荷从零势能处移到场中某点时电场力所做功的负值。
3．电势差
提问：
相同的电荷q在电场中都由A点出发，分别通过图5所示的路径Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ到达B点，哪个电荷电势能改变量小？
在学生回答的基础上总结：
根据电场力的功与路径无关，而电场力的功数值上等于电势能的改变量，所以三者的电势能改变量相同。
让学生总结出：
电荷在电场中移动时其电势能的改变量由起始点与终点的位置决定。
提问：
把1C的电荷由A移到B，若电场力做了2J的功，若把2C的电荷由A移到B，电场力做了多少功？
经讨论明确2C的电荷在移动过程中的每一点处受到的电场力都是1C电荷受力的2倍，所以电场力对它做的功应是4J，即电场力的功还与移动电荷的电量q有关，即电势能的改变量△E与电量q及移动的起末位置有关。
提问：
△E与q有什么关系？
由上例很容易得出△E与q成正比关系。
更明确指出：
场和场内两点位置确定以后，将电荷q由一点移至另一点，虽然q改变时，△E也
内两点位置决定，与检验电荷q、检验电荷q在场内两点间电势能差之值无关。
问：
国际单位制中U的单位是什么？
答：
焦耳/库仑又称伏特，简称伏。
问：
电场中两点间电势差与零电势点选取有关吗？
取无关。
（三）让学生总结本节重要内容
提问：
电场力的功、电势能的改变量、电势差三者中哪些与移动的电量有关？
哪些与移动的电量无关？
答：
电场力的功、电势能的改变量与移动的电量有关，电势差与移动的电量无关。
（四）例题
如图6所示，O点固定，绝缘轻细杆l，A端粘有一带正电荷的小球，电量为q，质量为m，将小球拉成水平后自由释放，求在最低点时绝缘杆给小球的力。
解 如图7，在B点对小球进行受力分析，在B点由T与mg合力充当向心力，球由A运动到B过程由动能定理得：
在B点：
由①②得：
故
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