重点推荐版高中数学 第二章 概率 21 随机变量及其概率分布学案 苏教版选修23.docx
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重点推荐版高中数学第二章概率21随机变量及其概率分布学案苏教版选修23
2.1随机变量及其概率分布
学习目标
1.理解随机变量的含义，了解随机变量与函数的区别与联系.2.理解随机变量x的概率分布，掌握两点分布.3.会求简单的分布．
知识点一 随机变量
思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
思考2 在一块地里种10棵树苗，成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？
梳理
（1）随机变量的定义
一般地，如果____________的结果可以用一个________来表示，那么这样的变量叫做____________．
（2）随机变量的表示方法
①随机变量通常用大写拉丁字母____________（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示．
②随机变量取的可能值常用小写拉丁字母____________（加上适当下标）等表示．
知识点二 随机变量的概率分布
思考 掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？
当X取不同的值时，其概率分别是多少？
你能用表格表示X与P的对应关系吗？
梳理
（1）随机变量X的概率分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P（X＝xi）＝______，i＝1,2,3，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi（i＝1,2，…，n）满足条件pi______0，p1＋p2＋…＋pn＝______.
（2）0－1分布（或两点分布）
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为____________分布或______________，此处“～”表示“________”．
类型一 随机变量的概念
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？
并说明理由．
（1）某机场一年中每天运送乘客的数量；
（2）某单位办公室一天中接到电话的次数；
（3）明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
（4）明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
反思与感悟 随机变量的辨析方法
（1）随机试验的结果的可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
（2）随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
跟踪训练1 判断下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
（1）某天广电局信息台接到咨询电话的个数；
（2）某运动员在某场比赛中（48分钟），上场比赛的时间；
（3）在一次绘画作品评比中设有一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
（4）体积为64cm3的正方体的棱长．
类型二 随机变量的取值
引申探究
在本例
（1）的条件下，若规定取出一个红球赢2元，而取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
例2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；
（2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（1）从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；
（2）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．
类型三 随机变量的分布列
例3 设随机变量X的分布列为P（X＝）＝ak（k＝1,2,3,4,5）．
（1）求常数a的值；
（2）求P（X≥）；
（3）求P（
反思与感悟 利用概率分布及其性质解题时要注意以下两个问题
（1）X的各个取值表示的事件是互斥的．
（2）不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练3
（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的概率分布表．
X
－1
0
1
P
试说明该同学的计算结果是否正确．
（2）设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下表：
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
①求q的值；
②求P（ξ<0），P（ξ≤0）．
引申探究
若将本例条件中5个球改为6个球，最小号码改为最大号码，其他条件不变，试写出随机变量X的概率分布．例4 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的概率分布．
反思与感悟 求随机变量的概率分布的步骤
（1）明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
（2）利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．
（3）按规范形式写出概率分布，并用概率分布的性质验证．
跟踪训练4 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的概率分布．
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．（填序号）
2．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
p
p
则p的值为________．
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验的结果是________．
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X的可能取值有________个．
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
1．随机变量的三个特征
（1）可用数来表示；
（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；
（3）在试验之前不能确定取值．
2．求随机变量的分布列应注意的几个问题
（1）随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
（2）在处理随机变量的概率分布时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．
（3）求出概率分布后注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
思考2 X＝0,1,2,3，…，10.
梳理
（1）随机试验 变量 随机变量
（2）①X，Y，Z ②x，y，z
知识点二
思考
（1）X＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
（2）X与P的对应关系如下.
X
1
2
3
4
5
6
P
梳理
（1）pi ≥ 1
（2）X～0－1
X～两点分布 服从
题型探究
例1 解
（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
（2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
（3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
（4）济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量．
跟踪训练1 解
（1）接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
（2）该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
（3）获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
（4）体积为64cm3的正方体的棱长为4cm，为定值，因此不是随机变量．
例2 解
（1）X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
（2）X＝3表示取出的球编号为1,2,3；
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4；
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
引申探究
解 ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
跟踪训练2 解
（1）ξ可取0,1,2,3，
ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；
ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；
ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；
ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.
（2）ξ的可能取值为区间[0,59.5]内的任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
例3 解
（1）由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
（2）∵P（X＝）＝k（k＝1,2,3,4,5），
∴P（X≥）＝P（X＝）＋P（X＝）＋P（X＝1）＝＋＋＝.
（3）当故P（跟踪训练3 解
（1）因为P（X＝－1）＋P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．
（2）①由概率分布的性质，得1－2q≥0，
q2≥0，
＋（1－2q）＋q2＝1，
所以q＝1－.
②P（ξ<0）＝P（ξ＝－1）＝，
P（ξ≤0）＝P（ξ＝－1）＋P（ξ＝0）
＝＋1－2＝－.
例4 解 随机变量X的可能取值为1,2,3.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P（X＝1）＝＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P（X＝2）＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P（X＝3）＝＝.
因此，X的概率分布如下表：
X
1
2
3
P
引申探究
解 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C：
事件“X＝3”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC，
从而有P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
3
4
5
6
P
跟踪训练4 解 X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P（X＝1）＝，
第2次取到白球的概率为P（X＝2）＝＝，
第3次取到白球的概率为P（X＝3）＝＝，
进步，总结是一面镜子，通过总结可以全面地对自己成绩与教训、长处与不足、困难与机遇的进行客观评判，为下一步工作理清思路，明确目标，制订措施，提供参考和保障。
所以总结不仅仅是给领导看的，更是对自己进行全方位的剖析，使自己更加认识自己，发挥优点，弥补不足，不断提高。
为此，必须认识到总结的重要意义。
当然各级领导也要重视总结的重要性，要让下属广开言道，言无不尽，言者无罪，实事求是，客观认真地总结。
二、对一年来工作的回顾，对一年来各项工作的完成情况进行总结，全面总结成绩：
各项计划完成了多少、销售指标（销量、销售额、回款、利润）完成情况、与去年同期相比各项任务是否有增长、产品结构是否得到优化、渠道建设和客户关系是否得到加强、经销商的素质是否得到提高、经销商与消费者对品牌的满意度和忠诚度是否得到提升、竞争对手衰退了没有、如果作为团队领导还要总结团队建设、培训学习等方面的内容。
三、分析取得成绩的原因。
没有人会随随便便成功，每一个成功的后面都是付出的艰辛努力。
认真分析取得成绩的原因，总结经验，并使之得以传承，是实现工作业绩持续提升的前提和基础。
成绩固然要全面总结，原因更要认真客观分析：
1、成绩的取得客观因素分析：
行业宏观环境的势利性、竞争对手失误所造成的机会、公司所给予的资源支持程度、团队领导在具体方面的指导、同事的帮助。
2、成绩取得的主观因素分析：
自己对年度目标任务的认识和分解、自己对市场的前瞻性认识、自己的困难的挑战意识、自己自我学习素质提升、解决问题能力提升、自己对市场变化的反应能力。
四、分析导致工作目标没有达成的失误和问题。
人贵有自知之明，年度总结并不是要总结得形势一片大好，必须认真客观的分析在工作中的失误和存在的问题。
通过分析问题，查找原因，认识不足，不断改进和提高，实现工作质量的持续提高。
来反思自己为什么没有进步。
1、主观认识不足，思路不够高度重视。
2、自身没有远大理想与目标，对自己不能严格要求，对下属和自己过于放任。
3、计划制订得不合理，脱离客观实际。
4、对计划的分解不到位，执行和过程监控不到位。
5、对竞争对手的跟踪分析不深入，市场反应速度滞后。
6、产品结构、价格策略、促销组合、渠道建设、品牌传播计划不合理、执行不到位。
7、团队管理能力差、个体成员素质差，不能胜任工作的要求。
8、来自于竞争对手的强大压力，使自身的优势不能突显。
1、外界宏观与微观环境分析：
行业发展现状与发展、竞争对手现状与动向预测、区域市场现状与发展、渠道组织与关系现状、消费者的满意度和忠诚度总体评价。
2、内部环境分析。
企业的战略正确性和明晰性、企业在产品、价格、促销、品牌等资源方面的匹配程度。
3、自身现状分析。
自身的目标与定位、工作思路和理念、个人素质方面的优势与差距。
通过对现状与未来的客观分析，能够更加清楚所面临的困难和机遇。
从而对困难有清醒的认识和深刻的分析，找到解决困难的方法，对机遇有较强的洞察力，及早做好抢抓机遇的各项准备。
六、下一年度工作计划与安排。
总结上年工作当然是年度总结的重点，但更好的筹划和安排下年工作才总结的目的，所以下一年度工作计划和安排同等重要。
1、明确工作的主要思路。
战略决定命运，思路决定出路，良好的业绩必须要有清楚正确的思路的支撑。
否则人就变成了无头苍蝇，偏离了方向和轨道，就会越走越远。
2、新一年度工作的具体目标：
销量目标、回款目标、利润目标、渠道建设目标、区域市场发展目标、团队建设目标、学习培训目标。
3、完成计划的具体方法：
团队整体素质与协作能力的提升、资源需要和保障措施、目标任务的分解、渠道的开发与管理、产品结构的调整与优
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