第九届希望杯2试题目附答案.docx

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第九届希望杯2试题目附答案

希望杯第九届（1998年）初二年级第二试试题

一、选择题

1．若a＋b＋c＝0，则a3＋a2c－abc＋b2c＋b3的值为【】

A．－1B．0C．1D．2

2．适合关系式｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6的整数x的值的个数是【】

A．0B．1C．2D．大于2的自然数

3．已知x＜0＜z，xy＞0，｜y｜＞｜z｜＞｜x｜，那么｜x＋z｜＋｜y＋z｜－｜x－y｜的值【】

A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号

4.代数式

的值为【】

;

;

;

.

5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是【】

A．140°B．80°或100°C．100°或140°D．80°或140°

6．如图15，ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是【】

A．60°B．65°C．70°D．75°

7.若对于

3以外的一切实数,等式

均成立,则mn的值为【】

A．8B．－8.C．16D．－16

【】

A．15B．18.C．24D．27

9.在方程组

中,x,y,z是互不相等的整数,那么此方程组的解的组数为【】

A．6B．3C．多于6D．少于3

10．如图16，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是【】

A．CF＞GBB．CF＝GBC．CF＜GBD．无法确定的

二、填空题

11．把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是________.

12．设实数x满足方程｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0，则x的值为________.

13设x＝

那么代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值是__________.

14.

的值是__________.

15．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC，则∠DCE的大小是________.

16．如图18，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，则∠CAF的大小是_____.

17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC于H，则BM与CE的大小关系是________.

18．如图20，四边形ABCD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为______；同样，若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为_________.

19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点，分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为________.

20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x＝______.

三、解答题

21.已知n,k均为自然数,且满足不等式

.若对于某一给定的自然数n,只有唯一的一个自然k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.

22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：

先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：

p、q、r分别是哪三个正整数为什么

答案·提示

一、选择题

题号答案

1B2C3C4A5D6B7D8D9A10B

提示：

1．a3＋a2c－abc＋b2c＋b3

＝（a3＋b3）＋（a2＋b2）c－abc

＝（a＋b）（a2－ab＋b2）＋（a2＋b2）c－abc

＝（a＋b）（a2＋b2）－ab（a＋b）＋（a2＋b2）c－abc

∵a＋b＋c＝0

∴a＋b＝－c

∴原式＝－c（a2＋b2）＋abc＋（a＋b）c－abc＝0∴选B.

2．解

（1）当3x－4≥0时，即3x≥4时，原式为3x－4＋3x＋2＝6.

当－2≤3x＜4时.

原式为4－3x＋3x＋2＝6，即6＝6

（2）由已知｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6＝｜（3x－4）－（3x＋2）｜

∴（3x－4）－（3x＋2）≤0.

∴－2≤3x≤4.

∴x1＝0，x2＝1，∴选C.

3．由已知条件，可在数轴上标出x、y、z三数，如图22.

∴x＋z＞0，y＋z＜0，x－y＞0.

∴原式＝x＋z－y－z－x＋y＝0.∴选C.

5．△ABC中，若∠A＝40°，则∠B＝40°，∠C＝100°，∠C的外角为80°.

若∠C＝40°，则∠C的外角为140°.∴选D.

6．如图23，取DE的中点G，连接AG.在Rt△AED中，AG为斜边上的中线

∴∠AGB＝∠ABG.

又∵AG＝GD

∴∠AGB＝2∠ADG

∵AD∥BC

∴∠ADG＝∠DBC

∴∠ABG＝∠AGB＝2∠ADG＝2∠DBC

又∵∠ABC＝75°

∴∠ABG＝50°，∠DBC＝25°

∴∠AED＝∠BEF＝90°－∠EBF＝90°－25°＝65°.∴选B.

8．∵1998＝2×999

9．∵x3＋y3＋z3－3xyz

＝（x＋y＋z）（x2＋y2＋z2－xy－yz－zx）

＝0.

∴x3＋y3＋z3＝3xyz

∴3xyz＝－36即xyz＝－12

∴x，y，z中一定是两正一负，且x＋y＋z＝0

∴x，y，z中负数的绝对值一定等于两个正数的绝对值的和.

又∵12＝1×1×12＝1×2×6＝1×3×4＝2×2×3

这四种组合中只有12＝1×2×4符合条件

共有6个解，选A.

10．如图24，自F作FH⊥AB交AB于H.

∵AF平分∠CAB

∴FC＝FH

又∵△ABC中，∠ACB＝90°CD⊥AB

∴∠ACD＝∠B

∴∠1＝∠CAE＋∠ACD,∠2＝∠FAB＋∠B

∴∠1＝∠2，FC＝CE

∴CE＝FH

又∵EG∥AB

∴∠CGE＝∠B

在Rt△CEG和Rt△FHB中，

∵CE＝FH，∠CGE＝∠B

∴Rt△CEG≌Rt△FHB

∴CG＝FB.∴CF＝GB，选B.

二、填空题

题号答案

11（x－1）2·（y－1）212

1348

141545°1645°17BM＞CE181080°，（n＋1）360°

19

208分钟

提示：

11．（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2

＝（x＋y）2－2xy（x＋y）－2（x＋y）＋4xy＋x2y2－2xy＋1

＝（x＋y）2－2（x＋y）（xy＋1）＋（xy＋1）2

＝（x＋y－xy－1）2

＝（x－1）2·（y－1）2.

12．｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0.

∴｜x＋1｜（｜x－1｜－x）＝0.

当｜x＋1｜＝0时，得x＝－1.

当｜x－1｜－x＝0时，

得｜x－1｜＝x，若x≥1，得x－1＝x，矛盾，舍去.

14．设2000＝k

把k＝2000代入，得原式＝

15．△ACD中，AC＝AD.

16．∵EF是AD的垂直平分线，

∴FA＝FD，∠FDA＝FAD.

∵∠FDA＝∠B＋∠BAD.

∠FAD＝∠CAF＋∠DAC.

∵AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝∠DAC

∴∠CAF＝∠B＝45°.

17．如图25延长CE交BA延长线于F.

∵∠ABE＝∠CBE.BE＝BE.

∴Rt△FBE≌Rt△CBE.

又∵∠ACF＝90°－∠F＝∠＝AC

∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF.

在△ABM中，∠BAM＝45°＞∠ABM.

∴BM＞AM.

在△AMD中，∠ADM＞45°＝∠DAM.

∴AM＞MD.

∴BM＞MD.

18．四边形ABCD中两个点E、F把图形分成6个三角形，这些三角形的内角和为6×180°＝1080°.

若四边形内有n个点，则以这n个点所成n个周角再加上原来四边形的内角和360°，即得

n·360°＋360°＝（n＋1）·360°

19．设AC＝x，BC＝l－x.

∵△ACD、△BCD′均为等腰直角三角形.

20．设公共汽车的速度为v1，甲的速度为v2，因为两辆车间隔距离相等，汽车与甲是追及问题，即两车之间距离为s＝10（v1－v2）.汽车与乙是相遇问题，即两车之间距离为

s＝5（v1＋3v2）.

∴10（v1－v2）＝5（v1＋3v2）

∴v1＝5v2.

三、解答题

综上得n的最大值为84，n的最小值为13.

22．每一轮三人得到的糖块数之和为

r＋q＋p－3p＝r＋q－2p

设他们共分了n轮，则

n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.

∵39＝1×39＝3×13.

且n≠1，否则拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠39，因为每次至少分出2块糖，不可能每轮只分1块糖.

∴n＝3或n＝13.

由于每个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况得到

9＝18－np

∴np＝9p≥1.

∴n≠13，只有n＝3.

∴p＝3.

把n＝3，p＝3代入①式得

r＋q＝19.

又乙得的糖块总数为10，最后一轮得到的糖块r－3块.

∴r－3≤10，r≤13.

若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙必定要在前两轮中再抽得一张q或r.这样乙得的总糖数一定大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙得到的糖数为10块矛盾.

∴r＞12∵12＜r≤13.

∴r＝13.q＝19－r＝6.

综上得p＝3，q＝6，r＝13

甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：

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