《高等数学下》作业集答案.docx
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《高等数学下》作业集答案
第七章向量代数与空间解析几何
第一节向量及其标表示
2．（i）A、B间的距离为d=3；（ii）中点C的坐标为（0,1,）；（iii）A、B联线与
23
三坐标面交点为（-3,-2,0）,（-1,0,-1）,（0,1,）
3
2
3．
（1）i+j+k不是单位向量，
（2）三个单位向量之和有可能是零向量，此时
a=-b-c。
5
5．prjba=2及prjab=m与b的夹角为arccos.
13
第二节数量积、向量积和混合积
一、1．36.2．λ=3.3．共面.4．18。
二、计算下列各题，1
。
arccos，
2、
（1）3，{5,1,7}；
（2）,18，{10,2,14}；（3
）cos=
2.
3、
π
3
.4
3,cos=-
3，5．（0,0,）。
5第三节空间平面与空间直线
一、1．D，2．C，3．C．4．A．5．D．6．A．7．A．8．C．
二、1．1，2．x-y+z=0。
3．过点（x-1）-（y-2）-（z+1）=0，4．已知两条直线的方程是（x-1）+（y-2）-（z-3）=0。
三、
（1）2（x-1）+3y+（z+1）=0；
（2）3x-2y-1=0；（3）x-z=1；
（4）2x-y+z=0；（5）y-3z=0；（6）4x+3（y-1）-z=0.四、
（1）
x+53
=y+82=
=z1
x+41
x3
y-40y-2-1
z
x
y-1
z
;
（2）
z-41
==
五、
（1）
x-2-1
y+33
=；
（2）==
3z-42
;（3）；（3）
-3x+13
=
12y-2z-1==
-11
=
六、
（1）异面，
（2）d=1,（3）⎨
⎧3x+7y-6z-12=0⎩x=1
z2
第四节空间曲面与空间曲线
5
．z=0,（x-1）+y≤1;x=0,（
2
2
-1）+y≤1,z≥0;y=0,x≤z≤
22
.
第七章综合练习题
2．如果x=0,y=0，a,b可任意，如果x≠0，则a=b。
22
3．
（1）（a+b+c）=59；
（2）（a-2b+c）=8；（3）（2a-b）（3b-c）=-30
4．如果x=0,y=0,z=0，a,b,c可任意，如果x≠0,y=z=0，则a=0,b,c任意，
a等，如果x≠0,y≠0,z=0，则a=b,c可任意，如果x≠0,y≠0,z≠0时、b、c共面。
1．都不正确
|AB⨯AC|28|AB⨯AC||AB⨯AC|8．hAB=，hBC=
=hAC===
5|AB||AC||BC|11．3x+3y+6z-11=0。
第八章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的基本概念
一、1．B．2．A．3．D．4．C．5．D．C．7．D．8．A．9．C．10．B．二、1．x2+y2=1，2．{（x,y）|x>0∧y>0}，3．x-y=0间断，4．定义域是整个平面，5．ln2。
三、xy，
四、⑴D={（x,y）|y2>x}，⑵D={（x,y）|x≥0,y≥0,x2>y}⑶D={（x,xy）|x+y>0,x-y>0}，⑷D={（x,y）|0≤x14
，⑶2，⑷1
第二节偏导数
一、1．A．2．A．3．C．4．A．5．D．6．D．7．B．
∂z∂zx∂z∂z4x1xy2
=（1+xy）e2=-，2，4．，5．，=+=3x（x+xy）22
∂x∂y（x+y）∂y∂x2x+yx
6．
∂z
∂x
∂z2y9．，=2
∂x（x+y）
=3xy-y，7．
23
∂z∂x
=ycos（xy）+cosy，8．
∂z∂x
=cot
yx
sec
yx
（-
yx
），
10．
∂z∂x
=（1+xy）[2ln（1+xy）+
∂z∂x∂z∂x
22
22
2x
2x1+xy
]，11．
∂z∂x
=yx
y-1
，12．fx'（1,2）=
1
∂z
25
。
四、⑴
⑶
=12x,
x
∂z∂x∂y
=12xy,=y
x-1
∂z∂y
1∂zx
，=-6y⑵=,=,=-222
∂xx∂x∂yy∂yy
∂z∂y
22
∂z
=ylny,
∂z∂x∂y
（1+xlny）,=x（x-1）y
x-2
。
第三节全微分
一、1．C．2．B．3．A．4．A．5．D．6．C．A．8．C．二、dz
（1,1）
=e（dx+dy），
y
∂z∂y
（1,2）
=1+e，
∂z∂t
（1,2）
=16+7e。
6
三、⑴dz=ex（-⑶dz=四、∆z=
y-xy
ydxx
+
dyx
）⑵dz=x
xdx+ydyx+y
yz-1
22
yz
dx+
y（1-xy）
dy,⑷du=yzxdx+zxlnxdy+yx
yz
lnxdz.
2.01⨯1.032.01-1.03
-
23
dz=-
59
⨯0.01+
109
⨯0.03．
第四节多元复合函数与隐函数的求导法则
一、1．B．2．B．3．C．1，4．A．5．A．6．C．
二、1．
dudx
∂z∂y=
2x=1ax
2
=-1，2．
ae
ax2
dzdt
=（cost-6t）e
2x-2y
，3．
∂z∂x∂z∂x
dzdx
=
y+xe
x2
1+（xy）
，
4．
ae（y-z）a+1
=2xf1+ye
2
+
xy
cosx∂z∂y
a+1
f2，
+
e
ax
sinx
2
a+1
。
5．
xy
=2u+2v，
∂z∂y
=2u-2v，∂z∂y
三、⑴
∂z∂x
=-2yf1+xef2,⑵=f1+yf2+f3，=xf2-f3．
∂2z
四、=-2f11+（2sinx-ycosx）f12+ysinxcosxf22+cosf2。
∂x∂y
五、fy（x,x）=-
2
12
。
七、
y
2y
cosy+e-2xy
.
第五节多元函数微分学在几何上的应用
一、⎨
⎧x=y⎩z=0
二、
x-116
=
y-19
=
z-1-1
，16x+9y-z=24,三、2（x-1）+（y-2）=0。
xyz
五、x-y+2z=±
∂z∂x
∂z∂y
112
.六、∂z∂x∂y
2
∂z∂x
=
yz-
，
∂z∂y
2
xyz-xy
=
xz-2xyzxyz-xy
．
2
2
x
七、
+=1．九、=
z
2
y（x+z）
∂u∂n
．十、
∂z∂x
2
=
2yze-2xyz-yze
（e-xyz）
z
2z
．
第六节方向导数和梯度
一、1+
=
xa
2
204
，四、1
204
+
yb
+
zc
204
第七节多元函数的极值与最值
一、1．D．2．C．3．B．4．B．5．A．6．D．7．C．8．A．9．D．二、1．（x0,y0）=（0,0），2．（x0,y0）=（0,0），3．（x0,y0）=（0,0）,（1,1）。
三、⑴极小值f（1,0）=-5，极大值f（-3,20=31⑵极大值z（3,2）=36⑶极小值
f（12
-1）=-
e2
14
四、极大值f（,）=
22
11
．五、当长、宽、高都等于
32abc.
2a3
时，体积最大.．
六、切点（
a3
b3
c3
），Vmin=
第八节多元函数微分学在经济管理中的应用
一、两种产品的产量分别为120和80。
二、
（1）x=0.75万元，y=1.25万元，
（2）x=0，y=1.5万元。
第八章综合习题
⒌
∂u∂x
22
=f11-2f13+f33，
2
2
∂u∂y∂z
2
=f12-f13-f22-f23，⒍极大值z（1,1）=1．
2
2
⒎求函数f（x,y）=x-y在圆周x+4y≤4上的最大值、最小值．⒏zmax（-2,1）=6,zmin（-2,1）=-2．⒐l={b,c,a}.⒑λ=
3abc9
.
第九章重积分及其应用第一节二重积分的概念与性质
一、1．C，2．A，3．B，4．D，5．D，6．B，7．C，8．A。
二、1．3，2．π，3．3π。
三、1．1，6.
14
。
第二节二重积分的计算（直角坐标）
一、1．A，2．D，3．D，4．A，5．D，6.A，7.B，8．C。
1x1x1
二、1．⎰dx⎰f（x,y）dy，2．0，3．⎰dx⎰2f（x,y）dy，4．。
-40x002（1-e）三、1.
⎰
ba
f（x）dx=2，2.ϕ（x）=
f（x）（1-x）
2
2
，3.[x1（y）,x2（y）]=[y,1]
四、
（1）原式=
⎰
1
dy⎰
e
y
e
f（x,y）dx,
（2）原式=
⎰
1
dy⎰f（x,y）dx+
y
1
⎰
1
dy⎰
2-y
1
f（x,y）dx
第二节二重积分的计算（极坐标）
一、1．D，2．B，3．C，4．B，5．A，6．B。
二、1．⎰
2π0
dθ⎰f（rcosθ,rsinθ）rdr，2．3π，3．⎰
12π
dθ⎰rdr
R
3
三、1．2π
a
3
3
，2．π（1-e-a），3．a3π，4．2π（5ln10-ln2-4），5．（α,β）=（
2
π
2
π）。
第三节二重积分的应用
一、1．D，2．C。
二、1．⎰⎰f（x,y）dxdy=
D
⎰
3
y+2
1
dy⎰
3
1
f（x,y）dx+
⎰
y+2
3
dy⎰116
3y-2
f（x）dx，
π
2．⎰4dθ
0⎰
2cosθ
2cosθ+sinθ
f（rcosθ,rsinθ）rdr，3．，4．0。
第四节三重积分的概念
一、1．A，2．A，3．C，4．C，5．C，6．A．
二、
（1）
12
（e-1）
（2）
2
32
πa（3）4。
2
四、原式=
⎰
1
dz⎰dx⎰
z
11-x
f（x,y,z）dy+
⎰
10
dz⎰dx⎰
z1-xz-x
f（x,y,z）dy。
第五章三重积分的计算
一、1．D，2．C，3．B，4．A，5．C，6．D。
π
二、1．
⎰⎰
D
2
f（x,y）dσ=
π
2
⎰
40dt⎰
10
10
f（rcost,rsint）rdr，
2
2．
⎰⎰e
D
x+y
dσ=
⎰
20dt⎰
redr=
r
π
（e-1）。
三、1．
2
1
，1.（I1,I2,I3）2
2
=（0,0,
π
12
），2.ϕ（r）=2πr（1-r）f（r），3.
2
ϕ（ρ）=4πρf（ρ）。
4.ϕ（z）=π（R-z）f（z）。
22
第六节三重积分的应用
1．
（1）
23
（2）
712
（3）
54
π,（4）
76
π,（5）21π
442
⎛⎛2a2a73（A-a）⎫a⎫3⎫⎛
2．
（1）0,0,⎪,
（2）0,0,，（3）,,⎪33⎪
8（A+a）⎭4⎭⎝⎝⎝5530⎭
ππ2224
3．
（1）J=hR4,
（2）J=hR，4.Jz=⎰⎰rdm=⎰⎰（x+y）μ（x,y,z）dS，5.
210∑∑
83
π。
第九章综合练习
1．2π,2．8．
π
8
34
3．，3ln2-2，4．
π-2
4
，5．
8π15
12
，6．-
π
2
，7．cπR2，
，9．
18
ln2,10．
54
2
π-816
2
11.
712
π，12.
a。
13.kπR4，14．（0,0,17．
368105
R），15．
16．
4a3
，
ρ，18．
16
πa+1），19．。
第十章曲线积分与曲面积分
第一节第一类曲线积分与第一类曲面积分
1.
2πa
3
，
2.3.
112
，4．
2a2（2-.5.21，6.
，
2
+）π+8π。
315
第二节第二类曲线积分
1.0，2.2a2π，3.-2，4.
（1）-
512
（2）-
715
（3）-
2
.3
第三节格林公式，平面曲线积分与路径无关的问题
1.π，2.8π，3.-6.
（1）∴u=
π
2
，4.0，5.3πa
2
3x+1131322
x+xy-xy+y+c,
（2）∴u=+c33x+y
xdy-ydx
y
2
7.
（1）ydx+xdy=d（xy），3,
（2）（3）u=xcosy+ycosx+c,-
k
2
2
2
=d（-
xy
），-
，6
π
4
。
2
1353πa1π4
（e-1），10.8.,1，9
（1）πR
（2）-2abπ（3）-（4）,12.2σ。
232028
131322
13.
（1）∴U=x+xy-xy-y+c（c为常数）。
33
（2）∴U=xcosy+ycosx+c（c为原函数）。
14.计
（1）-2,
（2）9（3）
12e-
12
22
。
15.
（1）∴U=x2cosy+y2cosxs+c（c为常数）为势函数。
（2）∴U=xex+y+ex+y-yex+y+yex+c（c为常数）为势函数。
第五节高斯公式与散度
1Rπ
1.，2.2aπ，3.-，4.，5.a2bc+ab2c+abc2，
82415
2
1
6.
12235
a+aπR，
5
（2）3a3（3）2πa2H。
第六节斯托克斯公式与旋度
1..
-4.
13
3
2222
a，.2.3a，3.（1`）2πr
（2）环量为2πR，
2
，5.
（1）rot=0
（2）rotA=0，6.（-4xz-16z）j-3xyk，
2
12π45
πR（3）-h，8.2πa3，9.
（1）6,
（2）81,8（，5213131343322
10.
（1）u=x+y+z-2xyz+c，
（2）u=x+3xy+y+c。
3333
7.:
（1）3a4,
（2）
第十章综合练习
3.
14
，4.
π
2
a，5.4π，6.
23
3
23
a，7.
5
4
m-n2
-sin1
8.
（1）质心P（0,0,a），
（2）转动惯量aπ，9.
（1）
质心（0,0,（
5
-
15
π）
（2）转动惯
-
3（1+量，10.
1+cos1-1），11.-，12.4π，13.
π，
3222
14.0，15.-
π
2
4
R，16.0，17.h=
-1+
2
2
5
8
a，18.
2
4π5
R，19.0，
5
20.
（1）u=sinxy-cosz+c,
（2）u=xcosy+ycosx+c。
第十一章常微分方程第一节常微分方程的基本概念
一、1．C，2．C，3．A，4．D，5．A，6．B，7．A，8．D，9．A，
10．B，11．B。
三.y=
13（x-1）
3
.四.x=
112
t-
4
12
t+t.
2
第二节一阶常微分方程
一、1．B，2．C，3．B，4．D，5．B，6．D，7．B，8．A，9．A，10．A，
11．D，12．A，13．B，14．B，15．C。
二、y=xcosx+ccosx，2.y=
sinx+cosx
2
+ce
-x
，3.y=
12
e+ce
x-x
，4.y=xe+ce。
xx
三
（1）x2+y2=C；
（2）y2+2-x2=C；（3）y=1+tan（x+C）；（4）y=3tan（3t2+C）.
四.
（1）（x2+y2）3=Cx2;
（2）y=xeCx+1;（3）arctan五.
（1）xsinx+cosx+1=y6-y;
（2）y=-六.
（1）arctan
y+5x-1
-12
ln[（x-1）+（y+5）]=C
2
2
yx
-
12
ln（x+y）=C.
2
22
x
2
lnx+x
2
;
（2）2x+（x-y）2=C.
=
sinx+C
2
七.
（1）y=e-x（x+C）;
（2）y=Ccosx-2cos2x;（3）y
x-1
11
（4）2xlny=ln2y+C;（5）x=Cy3+y2;（6）x=Ce2y+（2y2+2y+1）
42
1111
（7）y=Ce2x-ex+x+,y=2e2x-ex+x+;（8）s=Ce-sint+sint-1.
2424
;
;
八.
（1）（4）x-1
y
-2
=Ce
2
2x
2
+x+
2
12
;
（2）
1y
112
=（x+C）cosx;
（3）
y2=C（-x）4+
13
（x-1）
2
;
=Ce
-
y
2
+2-y.
2
九.
（1）是，x2y-x=C；
（2）是，x4+y4-x2y2=C；（3）是，xy=C；（4）是，xsin（x+y）=C；（5）a=b=1时，是，yex+xey=C.十.
（1）（3）
1x
2
x-
yx
2
=C
;
（2）
1x+y
1
22
2
12,
ln（x+y）-arctan12
2
2
22
xy
=C;xy
23v0
1y
2
x-xy
=C
;（4）
x+y
2
ln（x+y）-arctan=C;
十一.
（2）当α+β=1时,是方程的解.十二
f（x）=
23
f（x）=e2xln2.十三.t=ln3;s=.
十四.y=3x-x2（0x+
13x
.
第三节可降阶的高阶常微分方程
一、1．B，2．C，3．C，4．D，5．B，6．A。
二、求解下列各微分方程
kx-k
（1）y=c1+c2x+2xlnx+x，
（2）.，y=c1e+c2e。
三.
（1）y=（x-3）ex+C1x2+C2x+C3;
（2）y=C1e2x+C2;（3）y（4）y=C1e+C2x+C3;（5）y四.
y=1-x.
x
=
1C1x+C2
;及y=C
=
1+C1C1
2
2
ln+C1x-
xC1
+C2
;（6）y=2+ln（）2.
2
x
第四节高阶线性微分方程
一、1．C，2．D，3．D。
二.y=C1cosωx+C2sinωx.
三.
（1）线性无关;
（2）线性无关;（3）线性相关;（4）线性相关;（5）线性无关.
第五节常系数线性微分方程
一、1．C，2．A，3．D，4．C，5．D，6．A，7．A，8．B，9．B。
二、填空题1．y=ae
-x
+be
-3x
，2.y=axe+b，3.y=（a+bx）e+cxe，
x
xx2x
4.y=（ax+b）sinx+（cx+d）cosx，5.y"-y'=（a+bx）e+（c+dx）。
三.
（1）y=C1e-5x+C2e-3x;
（2）y=（C1+C2x）e-3x;（3）y=e-2x（C1cosx+C2sinx）;（4）y=C1cosx+C2sinx;（5）y=（C1+C2x+C3x2）eax;（6）y
=C1cos
2x+C2sin
2x+C3e
2x
+C4e
-2x
;
（7）y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x;
（8）y=（C1+C2x）cosx+（C3+C4x）sinx.四.
（1）y=e-xcosx;
（2）y+2cos
3x+3sin
3x.
五.
（1）Axex;
（2）（Ax+B）xex;（3）（Ax2+Bx+C）xe2x;（4）A;（5）Ax（9）ex（Acosx+Bsinx）;（10）（Acos2x+Bsin2x）.六.
（1）y=C1ex+C2e2x-x（1+（3）y=C1e+C2e-（5）当a（6）y
x
6x
+B
;
（6）（Ax3+Bx2+Cx+D）e-x;（7）Ae3x;（8）Axex+（Bx+C）e3x;
1234
14
2
x）e;
5x
x
（2）y=C1ex+C2e-3x-
=（C1+C2x）e
3x
xe+
-3x
;
2
3x
14
（x+）e
;（4）y
1
2
+（
x12
12
）xe;
12
xcosx.
≠1时,y=C1cosax+C2sinax+
x
a-1
sinx
当a
=1
时,y=C1cosx+C2sinx-
12
=e（C1cosx+C2sinx）+
xe41
x
（cosx+xsinx）;
（7）y=C1cos2x+C2sin2x-
xcos2x
;
（8）y=C1cosx+C2sinx+x+
18
2
xsinx.
七.y=（C1+C2x）e2x+cos2x.八.
（1）y
=（1-
ba
22
）cosax+
ba
22
;
（2）y=（1+）sin2x;（3）y=ex-（1+2x）e-2x.
4
x
第六节欧拉方程
一.
（1）y=C1x-1+C2x2;
（2）y=C1x2+C2x3+（3）y=C1cos[ln（x+1）]+C2sin[ln（x+1）]+1.二.11.55%
三.
（1）N（t）=694e0.366t;
（2）N（0）=694.
13
;
第七节常微分方程在经济管理中的应用
一.-30℃.二.u
=
8（e
8kt
-1）+1）
k（e
8kt
.
三.Q（t）=20e-t/20.四.p=五.P=（P0-
a+1b）e
-bx
a+cb+d.
t
+Ce
-k（b+d）t
.
-x+
a+1b
六.
（1）Y（t）=（Y0-
I（t）=（1-a）（Y0-
b1-a
b
）e
1-a
）e
1-aka
t
ka
+
b1-a
lim
t→∞
;
C（t）=a（Y0-
b1-a
1-a
）e
ka
t
+
b1-a
;
1-a
;
（2）
Y（t）I（t）
=
11-a
.
七.R=（20x2-2x3）1/3八.C（t）=
at
+（C0-
at0）（tt0）
b-1
.
第十
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