一模西城文数 学试题及答案.docx

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一模西城文数学试题及答案

北京市西城区2014年高三一模试卷

数学（文科）2014．4

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设全集，集合，则集合（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．已知平面向量，，那么等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

6．设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在

上是增函数”的（）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）

（A）

（B）5

（C）6

（D）7

8．如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）

（A）4个（B）6个（C）10个（D）14个

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．设复数，其中，则______．

10．若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．

11．已知函数若，则实数______；函数的最大值为_____．

12．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为______．

13．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是__________．

14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点．设，，记，则____；函数的值域为_________．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）如果，，求的值．

16．（本小题满分13分）

某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．

寿命（天）

频数

频率

10

30

70

60

合计

200

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；

（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；

（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，N是棱的中点．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面平面?

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆W的方程．

（Ⅱ）设斜率为的直线l与W相交于两点，记面积的最大值为，证明：

．

20．（本小题满分13分）

在数列中，．从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列．例如数列为的一个4项子列．

（Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等比数列；

（Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：

的公差满足；

（Ⅲ）如果为数列的一个6项子列，且为等比数列，证明：

．

北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科）2014．4

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．C2．B3．D4．C

5．D6．A7．B8．C

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．10．

11．12．

13．14．

注：

第10、11、14题第一问2分，第二问3分．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

因为，

所以，………………4分

又因为，

所以．………………6分

（Ⅱ）解：

因为，，

所以，………………8分

由正弦定理，………………11分

得．………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

，，．………………3分

（Ⅱ）解：

设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件．………………4分

由表可知：

这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，

所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．……………8分

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为．

………………10分

所以按分层抽样法，购买灯泡数，

所以的最小值为．………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：

因为底面是矩形，

所以，………………1分

又因为平面，平面，

所以平面．………………3分

（Ⅱ）证明：

因为，

所以平面SAD，………………5分

又因为平面，

所以．………………6分

因为，且N为AD中点，

所以．

又因为，

所以平面．………………8分

（Ⅲ）解：

如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作交于点P，连接PB，PD．

因为平面，

所以平面．……………11分

又因为平面，

所以平面平面．……………12分

在矩形中，因为，

所以．

在中，因为，

所以．

则在棱SC上存在点P，使得平面平面，此时．………14分

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

由，得，………………2分

所以，

又因为，

所以函数的图象在点处的切线方程为．………………4分

（Ⅱ）解：

由，得，

即．………………6分

设函数，

则，………………8分

因为，

所以，，

所以当时，，………………10分

故函数在上单调递增，

所以当时，．………………11分

因为对于任意，都有成立，

所以对于任意，都有成立．

所以．………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：

由题意，得椭圆W的半焦距，右焦点，上顶点，……1分

所以直线的斜率为，

解得，………………3分

由，得，

所以椭圆W的方程为．………………5分

（Ⅱ）证明：

设直线l的方程为，其中或2，，．…6分

由方程组得，………………7分

所以，（*）

由韦达定理，得,．………………8分

所以．……9分

因为原点到直线的距离，………………10分

所以，………………11分

当时，因为，

所以当时，的最大值，

验证知（*）成立；………………12分

当时，因为，

所以当时，的最大值；

验证知（*）成立．

所以．………………14分

注：

本题中对于任意给定的，的面积的最大值都是．

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

答案不唯一．如3项子列：

，，．………………2分

（Ⅱ）证明：

由题意，知，

所以．………………4分

因为，，

所以，

解得．

所以．………………7分

（Ⅲ）证明：

由题意，设的公比为，

则．

因为为的一个6项子列，

所以为正有理数，且，．………………8分

设，且互质，）．

当时，

因为，

所以

，

所以．………………10分

当时，

因为是中的项，且互质，

所以，

所以

．

因为，，

所以．

综上，．………………13分