勾股定理的应用习题.docx
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勾股定理的应用习题
一、选择题
1、一架41m长的云梯的底端离建筑物9m,则它可以达到建筑物的高度是( )
A.30 B.40C.41 D.36
2、如图,一架25dm长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7dm,如果梯子的顶端沿墙下滑4dm,那么梯足将平滑( )
A.9dm B.15dmC.5dm D.8dm
3、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:
mm),计算两圆孔中心A和B的距离为( ).
A.80mm B.90mmC.100mm D.80
mm
4、如图,学校的保管室里,有一架5m长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成角为45°,如果梯子底端O固定不动,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为( )
A.
B.
C.
D.
5、如图,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2米,梯子的顶端B到地面的距离为7米,现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3米,同时梯子的顶端B下降至B′.那么BB′:
①等于1米,②大于1米,③小于1米.其中正确结论的序号是( )
A.① B.②C.③ D.无法确定
6、如图,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( )
A.20cm B.10cmC.14cm D.无法确定
7、如图所示,在一个正方形上连接直角三角形,再以直角边为边长作正方形,一个一个连接在一起,无限反复同一个过程,构成了千姿百态、奇妙美丽的勾股树,设最大正方形的边长为10,末尾正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和为S,则Sn=( )
A.100 B.120C.110 D.80
8、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城街路上沿直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米处,过了2秒后,测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50米,这辆小汽车速度为( )(提示:
1米/秒=3.6千米/小时)
A.72 B.100C.110 D.80
二、解答题
9、如图所示,一旗杆在离地面5m处断裂,旗杆顶部落在离底部12m处,问旗杆折断前有多高?
10、有一根长70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,30cm,40cm的木箱中,能放进去吗?
11、如图,是一条水渠的横断面,已知渠底宽6米,渠深4米,渠的两坡长都是5米,求渠的两岸距离.
12、一船在灯塔C的正东方向8海里的A处,以20海里/时的速度沿北偏西30°方向航行.
(1)多长时间后,船距灯塔最近?
(2)多长时间后,船到达灯塔的正北方向?
此时船距灯塔多远?
(参考数据:
162-82≈13.92)
13、如图,A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,C、D间的距离为3千米,现在在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的工程费用为每千米20000元,请你在CD上选择水厂的位置O,使铺设水管的费用最省,并求出此时铺设水管的总费用.
14、如图所示,牧童在A处放牛,牧童家在B处,A,B两处相距河岸的距离AC,BD分别为500m和300m,且C,D两处的距离为600m,天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水,再将牛赶回家,那么牧童最少要走多少米?
15、由于过度采伐森林和破坏植被,我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭,近日,A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方方向300km的B处,以
km/h的速度向东偏南30°的BF方向移动,距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴严重影响的区域,问:
A市是否受到这次沙尘暴的影响?
若不受到,说明理由;若受到,求出A市受沙尘暴影响的时间.
16、王老师让同学们讨论这样一个问题:
如图所示,有一个长方体盒子,底面正方形的边长为2cm,高为3cm,在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的F点处的食物,问怎样爬行路程最短?
最短路程是多少?
过了一会儿,王老师问同学们答案,甲生说:
“先由A点到B点,再走对角线BF.”乙生说:
“我认为应由A先走对角线AC,再由C到F.”丙生说:
“将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD,利用勾股定理求AF的长.”丁生说:
“将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG,利用勾股定理求AF的长.”
你认为哪位同学的说法正确?
你还有其他方法吗?
若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:
5.392≈29)
答案:
第1题B
第2题D
第3题C
第4题A
第5题C
第6题B
第7题A
第8题A
提示:
3、构造直角三角形,利用勾股定理求解.
由图可知:
AC=120-60=60,BC=140-60=80,∠ACB=90°.
由勾股定理,得
=100(mm).
因此A、B间的距离为100mm.
5、在Rt△AOB中,
.
在Rt△A′OB′中,A′B′=AB=
,OA′=3.
所以
,
所以BB′=OB-OB′=7-
.因为
,
所以6<
<7.所以BB′=7-
6、将侧面展开为矩形,线段AB为最短路程BC=8㎝,AC=6㎝,
所以AB=10㎝.
7、根据勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
正方形A、正方形B的面积和为正方形1的面积.
正方形l、正方形C的面积和为正方形2的面积.
正方形D、正方形E的面积和为正方形3的面积.
正方形2、正方形3的面积和为正方形4的面积.
即正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和Sn=102=100.
8、由题意,得AC=30米,AB=50米.由勾股定理,得BC=40米.
所以小汽车在2秒内行驶了40米,速度为20米/秒,即72千米/小时.所以小汽车超速了.
9、 分析:
旗杆垂直地面,所以△ABC是直角三角形,根据勾股定理,可得AC2+BC2=AB2.
解:
由题意可知∠C=90°,∴AC2+BC2=AB2.
又∵BC=5m,AC=12m,
∴AB2=AC2+BC2=122+52=144+25=169,
∴AB=13(m).
∴旗杆折断前的高度为BC+AB=5+13=18(m).
10、 分析:
由于木棒长为70cm,远大于各边的边长,而且比每个面的对角线还要长,故按各面的大小都放不进去,但要注意木箱是立体图形,可以利用空间的最大长度.
解:
能放进去,如图所示,连结A1C1,AC1.
在Rt△A1B1C1中,
A1C12=A1B12+B1C12=502+302=3400.
在Rt△AA1C1中,
AC12=AA12+A1C12=402+3400=5000.
∵5000>702,∴AC1>70cm,
∴70cm长的木棒能放入这只木箱中.
小结:
解决此题的关键在于明确AC1即为木箱所能容纳的最大长度,这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系,创造了连续应用勾股定理的条件,同时,还能培养学生的空间想像能力.
11、解:
作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F.
在Rt△AEB中,AE2=AB2-BE2=52-42=32,
∴AE=3.
同理FD=3,∴AD=3+6+3=12.
12、 解:
如图所示.
(1)依题意知,当船航行到D点时,距灯塔最近,
此时有CD⊥AB.
∵∠BAC=60°,∴∠ACD=30°,
∴AD=
AC=
×8=4(海里),
∴4÷20=
(时)=12(分),
∴12分后,船距灯塔最近.
(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时,BC⊥AC.
∴∠B=30,∴AB=2AC=2×8=16(海里),
∴16÷20=
(时)=48(分)
∴BC2=AB2-AC2=162-82≈13.92,∴BC≈13.9(海里),
∴48分后,船到达灯塔的正北方向,此时船距灯塔约13.9海里.
13、解:
延长AC到A′,使A′C=AC,连结A′B与CD交于O点.
铺设的管道最短为
=5(千米),
总费用为5×2=10(万元).
14、解:
如图所示.过点B作关于直线CD的对称点B′,
连结AB′与直线CD相交于点P,
延长AC至E,使CE=BD,连结B′E,则∠E=90°,
∴AE=AC+EC=AC+B′D=AC+BD=500+300=800(米),
EB′=CD=600米.
在Rt△AEB′中,AB′2=B′E2+AE2=6002+8002=1000000(米2),
∴AB′=1000米.
∴牧童最少要走1000米.
15、 解:
依题意画出图形(如图),则沙尘暴运动的路线是从B到C.作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,∠B=30°,AB=300km,
则AD=
AB=150km.
即沙尘暴在运动过程中到A点最近距离为150km,而150km<200km,故A市会受到沙尘暴的影响.
设沙尘暴距A点200km,刚好处在BC上E、F两点.
Rt△ADE中,AE=200km,AD=150km,
∴
.
∴EF=2DE=
km.
故A市受沙尘暴影响的时间为
.
点评:
对于实际问题关键是根据题意,画出几何图形,建立几何模型.再构造直角三角形,运用勾股定理解决.
16、 分析:
要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连结AF,再求出AF,但AF在盒子里面,不符合题目要求.甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同,丙生和丁生的方法类似,只是长方形的长、宽不同.若在丙、丁的长方形中画出甲、乙的路线,则发现丙生和丁生都符合要求,但究竟哪个路程最短,就需要计算了.
解:
按丙生的方法:
将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD.如图所示,