∴使得f（x）<0成立的x的取值范围是（－1，0）∪（1，＋∞）．故答案选B.
选择题答题卡
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
A
B
A
D
A
D
D
A
C
D
A
B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分．
13．已知α为锐角，a＝，b，且a∥b，则α为__15°或75°__．
【解析】因为a
∥b，×－cosα×sinα＝0?
sin2α＝，故α为15°或75°.
14．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A、B满足||＝||＝·＝2，由点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R}所表示的区域的面积是__4__．
【解析】由||＝||＝·＝2知，〈，〉＝.
设＝（2，0），＝（1，），＝（x，y），则
解得由|λ|＋|μ|≤1，得|x－y|＋|2y|≤2.
作出可行域，如右图阴影部分所示．
则所求面积S＝2××4×＝4.
15．在平面直角坐标系xOy中，以点A（1，0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__（x－1）2＋y2＝2__．
【解析】直线mx－y－2m－1＝0恒过定点P（2，－1），当AP与直线mx－y－2m－1＝0垂直，即点P（2，－1）为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.
16．在平面几何里，已知直角△SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA＝a，SB＝b则AB边上的高h＝；拓展到空间，如图，三棱锥S－ABC的三条侧棱SB、SB、SC两两相互垂直，且SA＝a，SB＝b，SC＝c，则点S到面ABC的距离h′＝____．
【解析】把结论类比到空间：
三棱锥S－ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA＝a，SB＝b，SC＝c，则点S到平面ABC的距离h′＝.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本
小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＋b＝c（m>0）．
（1）当m＝3时，若B＝，求sin（A－C）的值；
（2）当m＝2时，若c＝2，求△ABC面积最大值．
【解析】
（1）∵a＋b＝c，∴sinA＋sinB＝sinC，
∴sinA＋＝sin＝，4分
化简得sinA＋cosA＝，∴sin＝，
∴A＋＝，即A＝，∴C＝，
∴sin（A－C）＝sin＝.6分
（2）∵c＝2，∴a＋b＝2，∴b＝2－a，
∴S△ABC＝absinC≤ab，8分
∴S△ABC≤ab＝a（2－a）＝－a2＋a，10分
∴当a＝时，－a2＋a取最大值1，
此时a＝b＝，c＝2满足C＝，∴△ABC面积最大值为1.12分
18.（本题满分12分）
如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E、F分别为线段AD、PC的中点．
（1）求证：
AP∥平面BEF；
（2）设∠PDA＝30°，∠BAD＝60°，求直线BF与平面PAC所成的角的大小．
【解析】
（1）证明：
设AC∩BE＝O，连接OF、EC.
∵E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，
∴AE∥BC，AE＝AB＝BC，
∴四边形ABCE为菱形.2分
∴O为AC的中点.3分
又F为PC的中点，在△PAC中，可得AP∥OF.4分
又OF?
平面BEF，AP?
平面BEF.5分
∴AP∥平面BEF.6分
（2）由题意知ED∥BC，ED＝BC.
∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD，∴AP⊥BE.
∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP、AC?
平面PAC，∴BE⊥平面PAC.
∴直线BF与平面PAC所成的角为∠BFO.8分
不妨设AP＝2，∵∠PDA＝30°
，∴AE＝AD＝2，
又∵四边形ABCE为菱形，∠BAD＝60°，∴OB＝1，
∵Rt△BOF中，OF＝AP＝1，OB＝1，∴∠BFO＝45°.11分
故直线BF与平面PAC所成的角的大小为45°.12分
19．（本小题满分12分）
已知数列{an}中，Sn为其前n项和，且a1≠a2，当n∈N＋时，恒有Sn＝pnan（p为常数）．
（1）求常数p的值；
（2）当a2＝2时，求数列{an}的通项公式；
（3）在
（2）的条件下，设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
Tn<.
【解析】
（1）当n＝1时，a1
＝S1，∴a1＝pa1，p＝1或a1＝0，
当p＝1时，Sn＝nan则有S2＝2a2?
a1＋a2＝2a2?
a1＝a2与已知矛盾，
∴p≠1，只有a1＝0.2分
当n＝2时，由S2＝2pa2?
a1＋a2＝2pa2，∵a1＝0又a1≠a2，∴a2≠0，
∴p＝.4分
（2）∵a2＝2，Sn＝nan，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，6分
（n－2）an＝（n－1）an－1?
＝，
∴＝?
an＝2n－2.8分
当n＝1时，a1＝2×1－2＝0也适合，∴an＝2n－2.9分
（
3）bn＝＝<＝－
.10分
当n＝1，2时，显然成立，当n≥3时有
∴Tn<1＋＋＋…＋＝－<.12分
20．（本题满分12分）
已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B、P为椭圆C上三点，满足＝＋，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：
y＝x＋1与轨迹E交于M、N两点，求|MN|.
【解析】
（1）由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.4分
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵＝＋，∴＝，
∴点P坐标为.5分
∵点P在椭圆C上，
∴＋＝1，
∴＋＋＝1，
即＋＋＝1，即＋＝0.6分
令线段AB的中点坐标为Q（x，y），则7分
∵A、B在椭圆C上，∴8分
?
＋＝2，
∴＋＝2.
∵＋＝0，
∴＋＝2，
即Q点的轨迹E的方程为＋＝1.9分
联立得3x2＋4x－2＝0.
设M（x3，y3）、N（x4，y4），
则x3＋x4＝－，x3·x4＝－.10分
故|MN|＝|x3－x4|＝＝.12分
第
（2）问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分．
21．（本题满分12分）
已知函数f（x）＝ex＋e－x，g（x）＝2x＋ax3，a为实常数．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）当a＝－1时，证明：
?
x0∈（0，1），使得y＝f（x）和y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线互相平行．
【解析】
（1）g′（x）＝3
ax2＋2，1分
当a≥0时，g′（x）>0故g（x）的单调增区间为（－∞，＋∞）.3分
当a<0时，令g′（x）≥0得－≤x≤，g（x）的单调增区间为，
g（x）的单调减区间为，.5分
（2）当a＝－1时，f′（x）＝ex－e－x，g′（x）＝2－3x2，
?
x0∈（0，1），使得y＝f（x）和y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线互相平行．
即?
x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0），6分
令h（x）＝f′（x）－g′（x）＝ex－e－x－2＋3x2，
h（0）＝－2<0，h
（1）＝e－－2＋3>0，
∴?
x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0）.7分
∵当x∈时g′（x）>0，当x∈（，1）时g′（x）<0，
∴所以g（x）在区间（0，1）的最大值为
g，g＝<2.9分
而f（x）＝ex＋e－x≥2＝2，10分
∴x∈（0，1）时f（x）>g（x）恒成立，∴f（x0）≠g（x0）．
从而当a＝－1时，x0∈（0，1），使得y＝f（x）和y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线互相平行．
12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程ρsin＝t（t为参数）．
（1）求曲线M和N的直角坐标方程；
（2）若曲线N和曲线M有公共点，求t的取值范围．
【解析】
（1）由x＝cosα＋sinα＝2sin得x∈[－2，2]，
又∵x2＝（cosα＋sinα）2＝2cos2α＋2sinαcosα＋1，
所以曲线M的普通方程为y＝x2－1，x∈[－2，2]．
由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t，
即ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N的直角坐标方程为x＋y＝t.4分
（2）若曲线M、N有公共点，则当曲线N过点（2，3）时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立得x2＋x－t－1＝0，Δ＝1＋4（1＋t）＝0?
t＝－.
综上所述，t的取值范围是.10分
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝.
（1）解不等式f（x）<4－；
（2）已知m＋n＝1（m，n>0），若－f（x）≤＋（a>0）恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）不等式f（x）<4－即为<4－.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4?
－当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4?
－≤x<；
当x>1时，即3x＋2＋x－1<4无解．
综上所述，原不等式的解集为.5分
（2）＋＝（m＋n）＝1＋1＋＋≥4，
令g（x）＝－f（x）＝－＝
所以当x＝－时，g（x）max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g（x）max＝＋a≤4?
010分
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