C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}
考向三 集合间的基本关系
【例3】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
【训练3】设集合A＝
，B＝{（x，y）|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．
难点突破1——集合问题的命题及求解策略
一、集合与排列组合
【示例】►设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（ ）．
A．57B．56
C．49D．8
二、集合与不等式的解题策略
【示例】►设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于（ ）．
A．[1,2）B．[1,2]C．（2,3]D．[2,3]
三、集合问题中的创新问题
【示例】►设a，b，c为实数，f（x）＝（x＋a）（x2＋bx＋c），g（x）＝（ax＋1）（cx2＋bx＋1）．记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）．
A．|S|＝1且|T|＝0B．|S|＝1且|T|＝1
C．|S|＝2且|T|＝2D．|S|＝2且|T|＝3
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
（1）四种命题
命 题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
（2）四种命题间的逆否关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：
①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
两条规律
（1）逆命题与否命题互为逆否命题；
（2）互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法
（1）定义法：
直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
（2）等价法：
利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：
若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1．以下三个命题：
①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是（ ）．
\A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b
3对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.
考向一 命题正误的判断
【例1】►设集合A、B，有下列四个命题：
①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；
②A⃘B⇔A∩B＝∅；
③A⃘B⇔B⃘A；
④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.
其中真命题的序号是______（把符合要求的命题序号都填上）．
【训练1】给出如下三个命题：
①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
②设a，b∈R，且ab≠0，若
＜1，则
＞1；
③若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．
其中不正确命题的序号是（ ）．
A．①②③B．①②
C．②③D．①③
考向二 四种命题的真假判断
【例2】►已知命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（ ）．
A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题
【训练2】已知命题“函数f（x）、g（x）定义在R上，h（x）＝f（x）·g（x），如果f（x）、g（x）均为奇函数，则h（x）为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
考向三 充要条件的判断
【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．
（1）在△ABC中，p：
∠A＝∠B，q：
sinA＝sinB；
（2）对于实数x、y，p：
x＋y≠8，q：
x≠2或y≠6；
（3）非空集合A、B中，p：
x∈A∪B，q：
x∈B；
（4）已知x、y∈R，p：
（x－1）2＋（y－2）2＝0，
q：
（x－1）（y－2）＝0.
【训练3】设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：
一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判断充分、必要条件要从两方面考虑：
一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．
一、充要条件与不等式的解题策略
【示例】►设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略
【示例】►设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略
【示例】►设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略
【示例】►）若向量a＝（x,3）（x∈R），则“x＝4”是“|a|＝5”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
【示例】►“x＝2kπ＋
（k∈Z）”是“tanx＝1”成立的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础梳理
1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．
（2）简单复合命题的真值表：
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有：
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
（2）常见的存在量词有：
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
（3）全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．
3．全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题叫全称命题．
（2）含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）p或q的否定为：
非p且非q；p且q的否定为：
非p或非q.
一个关系
逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
两类否定
1．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题
全称命题p：
∀x∈M，p（x），它的否定¬p：
∃x0∈M，¬p（x0）．
（2）特称命题的否定是全称命题
特称命题p：
∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：
∀x∈M，¬p（x）．
2．复合命题的否定
（1）綈（p∧q）⇔（¬p）∨（¬q）；
（2）綈（p∨q）⇔（¬p）∧（¬q）．
三条规律
（1）对于“p∧q”命题：
一假则假；
（2）对“p∨q”命题：
一真则真；
（3）对“¬p”命题：
与“p”命题真假相反．
双基自测
1．已知命题p：
∀x∈R，sinx≤1，则（ ）．
A．¬p：
∃x0∈R，sinx0≥1B．¬p：
∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：
∃x0∈R，sinx0>1D．¬p：
∀x∈R，sinx>1
2．若p是真命题，q是假命题，则（ ）．
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．¬p是真命题D．¬q是真命题
3．命题p：
若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：
函数y＝
的定义域是（－∞，－1]∪[3，＋∞）则（ ）．
A．“p或q”为假B．“p且q”为真
C．p真q假D．p假q真
4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是
（ ）．
A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假
5．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断
【例1】►已知命题p1：
函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：
函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：
p1∨p2，q2：
p1∧p2，q3：
（¬p1）∨p2和q4：
p1∧（¬p2）中，真命题是（ ）．
A．q1，q3B．q2，q3
C．q1，q4D．q2，q4
【训练1】已知命题p：
∃x0∈R，使sinx0＝
；命题q：
∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论
①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；
③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．
其中正确的是（ ）．
A．②③B．②④
C．③④D．①②③
考向二 全称命题与特称命题
【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）p：
∀x∈R，x2－x＋
≥0；
（2）q：
所有的正方形都是矩形；
（3）r：
∃x0∈R，x
＋2x0＋2≤0；
（4）s：
至少有一个实数x0，使x
＋1＝0.
【训练2】写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）p：
∀x∈R，x不是3x－5＝0的根；
（2）q：
有些合数是偶数；
（3）r：
∃x0∈R，|x0－1|＞0.
考向三 根据命题的真假，求参数的取值范围
【例3】►已知命题p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．
【训练3】已知a＞0，设命题p：
函数y＝ax在R上单调递增；命题q：
不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题
【问题研究】利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：
一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象.,
【解决方案】解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.
【示例】►已知c＞0，且c≠1，设p：
函数y＝cx在R上单调递减；q：
函数f（x）＝x2－2cx＋1在
上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
【试一试】设p：
方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：
方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．
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