动中求定的八大策略探索解析几何中求解定点定值定向定线等问题的策略.docx

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动中求定的八大策略探索解析几何中求解定点定值定向定线等问题的策略

“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略

注意到A∈[÷,2],可得所求为[2,÷].JJ

点评:

求参数的取值范围,一直是数学中的

经典问题.解题的关键是如何构造出关于参数

的表达式或不等式,转化为求函数的值域或解

不等式问题.本例是直接利用题设的A的范围,

求出值域,属简单题.而一些较复杂的题,往往

要用以下一些条件和方法:

圆锥曲线的范围,几

何图形的性质,变量的取值范围（如sinO,cosO

●徐素琴舒林军

的范围）,判别式法,基本不等式法,分离参数

法等.

以上五类问题是解析几何中的重点题型,

一

定要掌握求解的通法,在解题实践中不断对

各种解法加以比较,总结,提高自己择优解题的

能力,使解析几何解答题成为你的得分点,从而

在高考中获得数学卷的高分

动中求定"的八大策略

探索解析几何中求解定点,定值,定向,定线等问题的策略

在解析几何中常常出现求定点,定值,定

向,定线等问题,它已经成为当前各省高考试题

中的热点.本文对此类问题加以探究,得出一些

行之有效的方法策略,供以参考.

策略一:

提取参数

对于某些含参数的曲线方程,如果可以把

参数与x,y分离,则提出参数后,再根据恒等式

的性质,即可以解得x,y的值,得到定点的坐

标.

例?

1已知动直线（2+k）x一（1+k）一

2（3+2k）=0,求证:

点P（一2,2）到该动直线

的距离d≤4.

证明:

把直线方程化为

.i}

（一）,一4）+（2x—Y一6）=0,

知J.一）,一4=o,

L2x一）,一6=0.

解得=2,Y=一2,即动直线过定点（2,

一

2）.连,则点P（一2,2）到该动直线的距离

d≤lPI=~/（一2—2）+（2+2）=

4.'

策略二:

观察巧代

2O?

充分利用已知式的结构特征,经过观察分

析,只要找出满足条件的,y的值,就是定点的

坐标.

例2

（1）已知实数17/.,n满足三+=l,

则动直线羔+上:

l必过定点的坐标为

——

;

（2）已知实数p,g满足p+2q—l=0,则

动直线+3y+q=0恒过定点M的坐标为

略解:

（1）只要令=2,,,=l,即得定点

（2,1）;

（2）已知式化为号一下1+q=0,只要令

寺一IM（1,一吉）.

策略三:

设参分离

根据题意,设立参数,建立方程,分离参数,

即可以求得定点.

例3已知抛物线C:

y=8x,焦点为F,定

点P（2,4）,动点A,B是抛物线C上的两个点,

且满足后?

keB=8,试问AB所在的直线是否

过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理

由.

解:

设A（8t;,8t1）,B（8t,8t2）（t1≠t2）,则

】.1

PA,

kpB'

fl+一2f2+一2

因为J}?

后雎=8,

所以8t1t2=一1—4（tl+t2）.①

因为Ij}仙,所以A曰的方程:

）,一8tt:

（一8￡;）?

再利用①化简即得

（一1）一（t1+t2）（）,+4）=0.

可见直线AB过定点（1,一4）.

策略四:

巧"特"结论

有两种情形:

一种利用特殊值探求结论,再

验证其充分性;另一种是也先用特殊值探求结

论,后作一般性探求.

例4已知椭圆等+=1,过左焦点作

不垂直于轴的弦交椭圆于A,两点,AB的垂

直平分线交轴于点,则IFI:

IABl的值

为（）

（A1（B1（c了2（D）}

解:

本题为选择题,即知此比值为定值,故

可用特殊值法.设AB与轴重合时,就是原

点,则AB长为6,MF的长为2,故IMFl:

IABI

答案为（B）.如果不用特殊法解,本题就

是一个较难的解答题,同学们不妨一试.若用极

坐标方程解较方便一些.可见在解选择题时,用

特殊值法来判断和寻找答案尤为重要.

例5已知椭圆方程+=1,过点

s（o,一÷）的动直线f交该椭圆于A,B两点,

试问:

在坐标平面内是否存在一个定点,使得

以AB为直径的圆恒过定点,若存在求出T的

坐标;若不存在,请说明理由.

解:

假设满足条件的定点存在.

当直线Z与轴平行时,以AB为直径的圆

方程为

2+-y'）=;

当直线Z与）,轴重合时,以AB为直径的圆

方程为

+）,=1.

以上两圆方程联立解得』=o,即r（0,1）

ty=1,

是满足条件的必要条件.下面证明其充分性:

若存在v（o,1）,对过点S不与坐标轴平行

的直线设为y=kx一÷（Il}≠0）,把它代人椭圆

方程得到

（1+2）2一一=o.

设A（,y.）,B（,y）,则有

『+=吾_,

116【la;:

一'

因为H=（l,y1—1）,TB=（2,y2一1）,

TB=X12+（）,1—1）（,,2—1）

（1）:

一争（+

一

16（1+）4,12k16——

18k9一一一3—}8k9+一9

=0.

所以上船,即以AB为直径的圆恒过定

点其定点的坐标为（O,1）.

例6已知椭圆+:

1（n>b>o）上

任意一点,B,B:

是椭圆短轴的两个端点,作

直线MB1,MB2分别交轴于P,（）两点,求证:

lOP1.IDQI为定值,并求出定值.

分析:

当动点在长轴的端点时,则P,Q

重合于长轴的端点,

因此IOPI?

loQI=a.

2l?

再作一般证明即可得IOP1.IOQI为定值

为0.

策略五:

设参消参

为了求得定值,往往需要设立一个或两个

参数,如直线的斜率,动点的坐标等,然后根据

条件,寻找所求的定值,最后经过消参得到所求

的定值.

例6已知A（1,1）是椭圆x+=1（口

>b>0）上的一点,F,F2是椭圆的两个焦点,

且满足lAFI+IAF,I=4.

（1）求椭圆的方程;

（2）设点B,C是椭圆上的两个动点,且直

线AB,AC的倾斜角互补,试判断直线BC的斜

率是否为定值?

并说明理由.

解:

（1）易知口=2.再把点A坐标代人椭

圆方程得b.=÷,所以椭圆方程为

等2+等

（2）由条件可以得到直线AB,AC的斜率存

在且不为0,故设直线AB的方程为Y=（一

1）+1,代人椭圆方程得

（1+3k）+6（1一k）kx+3一6k一1=

因为XA=1,XAXB=

所以.①

又设直线AC的方程为Y=一k（一1）+1,

同理得到.②

因此得到

口一YcJ}（B+Xc）一2k

%c■'

把①②代人得k.=下1,所以直线BC的

斜率为定值.

策略六:

巧用定义

结合圆锥曲线的定义,在运动变化中寻求

22?

符合定义的不变量.'

例7已知P是双曲线一号=1（口>0,

b>0）右支上不同于顶点的任意一点,,

是双曲线的左右两个焦点,试问:

三角形PFF2

的内心,是否在一定直线上,若存在,求出直线

方程;若不存在,请说明理由.

解:

设三角形PFF2的内切圆与轴的切

点为,则由双曲线的定义及切线长定理可知:

IPF1I—IPF2l=IMF1I-IMF2I=2a,

所以也在双曲线上,即M为双曲线右顶

点.又IM上轴,所以三角形PF的内心,在

一

定直线=口上.

例8以抛物线（Y+1）=g（一2）上任

意一点P为圆心,作与Y轴相切的圆,则这些动

圆必经过定点的坐标为一

解:

不难求得Y轴是抛物线的准线.由抛

物线的定义可知,这些圆必经过抛物线的焦点

可以求得F（4,一1）,所以这些动圆必经过

定点的坐标为（4,一1）.

策略七:

结合平面几何

有些求定值问题往往可以与平面几何的一

些性质相结合,可以达到事半功倍的效果,如上

面的例7就是运用了切线长定理.

例9已知圆（一3）+（Y+4）=4,过

原点0的动直线2:

y=kx交圆于P,Q两点,则

IoPIlOQl的值为一

解:

设OB切圆于点,则

JOPIIOQI=IDBl=10I一r2:

—

4=21.

例10已知是双曲线一各=1（口>

0,b>0）过焦点F1的任意一条弦,以AB为直

径的圆被与相应的准线截得圆,求证:

MN的度数为定值.

解:

设AB的中点为P,P,A,B到相应的

准线距离分别为d,d,d,则

d1+d2IF1AI+IF1BIlABI

d—一——■～

（r为以AB为直径的圆的半径）,

所以c.sPⅣ:

二,e

即删的度数为定值,其定值为2arccos.

策略八:

极坐标法

关于长度计算的某些问题,用极坐标法会

来得很方便.先要根据条件建立恰当的极坐标

系,然后给动点设出极坐标,极角之间的关系往

往是解决问题的关键.

例11椭圆x+=1（口>b>o）上有

两个动点A,B满足OA上OB（0为坐标原点）,

求证:

+广为定值?

解:

设以原点为极点,轴为极轴,建立极

坐标系.则有lpcosO,代人椭圆方程得到椭

ty:

psin0.

圆的极坐标方程

●赵小龙

r+r?

设椭圆上动点A（p,）,因为上OB,则

动点B（p:

0+）,因此

1COS0sin

—丁十—一,

PlnD

1c.s（+詈）.sin2（+詈）2一

口

2.bP

2口

sin20cos0

r+.

两式相加得

+=+,

111

ap2D

即击+=1+古为定值.

以上的八大策略,提供同学们在解决此类

问题的方法.对求定点,定值等问题往往先用特

殊值法探求出结论,这样解题的方向就明确了,

然后在运算过程中心中有数,达到事半功倍的

效果.

l.洙

高毒中的五粪热燕题型

思维能力是数学能力的核心,新课标的高

考是通过数学基本能力与数学综合能力来考查

数学思维的.针对高考对能力的考查,笔者认为

临近高考时要努力达到下述目标:

如果一个问

题有多种数学思维方法,那么通过自身的思维

应尽力发现其中大多数通法,并能靠自己丰富

的解题实践择其优者实施.为此,只有平时对如

下五类热点题型有思维模式的积淀,才能在应

试中形成灵活的解题思维

一

立体几何中的条件探索题

此类题型是高考命题改革的先进成果,已

被各省市的高考命题所大量采用,对考查新课

标规定的数学基本能力中的空间想象能力,推

理论证能力均大有裨益.抓住结论采到逆向探

索,灵活转移,直观想象等思维方式,常可发现

或猜出条件,进而给出充分性的证明.这是此类

题型的一般思维模式.

例1如图1,四棱锥P—ABCD中,M是棱

船的中点;在底面四边形ABCD中,AB//CD,

AB=4DC.在棱PC上找一点Ⅳ,使DⅣ∥平面

23?

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