八年级上册初二数学121导学案.docx
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八年级上册初二数学121导学案
第十二章一次函数
编写人：
§12．1变量与函数
“万物皆变”──行星在宇宙中的位置随时间而变化；人体细胞个数随年龄而变化；气温随海拔而变化；汽车行驶里程随行驶时间而变化……这种一个量随另一个量的变化而变化的现象在现实世界中大量存在．为了深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要数学工具──函数．用它描述变化中的数量关系，它的应用是极其广泛的．本章将通过具体问题引导你认识它，并且讨论一类最基本的函数──一次函数及其简单应用，最后用函数的观点再认识方程（组）与不等式．
本节课我们就具体实例来逐步认识变量与函数，了解函数中变量与变量的关系，学会用不同的方式表达函数等有关函数的知识．
本节的重点是准确理解函数意义，学会函数的三种表达方式．难点是正确理解函数意义．学会用函数的思维方法解决实际问题．所以教学中必须从实际出发，创设现实情景，引出函数，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地表达和思考，关注对函数的理解与认识．
第一课时§12．1．1变量
教学目标
1、1.通过简单实例，了解变量与常量的意义，学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
2、了解函数的概念和表示方法，并能说出一些函数的实例。
3、培养联系的观念，让学生初步学会用联系（函数）的观点观察、分析问题．培养学生观察、分析、概括的能力。
教学重点：
１．认识变量、常量．２．用式子表示变量间关系．
教学难点：
识别函数关系中，哪个变量是自变量，哪个是因变量。
教学过程：
一、情境引入：
请一名同学表演吹气球。
在这一过程中，同学发现什么量发生了变化？
（体积、半径、气球表面的厚度等）引导同学注意气球这些量变化不是瞬间的，是个过程，也就是时间也在变化。
，我们从中选取两个变量，气球的体积和时间，大家看气球的体积是不是随着时间的变化而变化。
事实上我们生活在一个不断变化的世界中，时间、温度，还有你的身高都在悄悄地发生变化，从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地料件自己，认识世界和预测未来。
二、导入新课
如果将刚才这位同学吹的气球做成热气球它就可以逐渐升空。
讲解课本21页问题1
用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800（m）处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h（m）与上升时间t（min）的关系记录如下：
时间t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
海拔高度h/m
1800
1830
1860
1890
1920
1950
1980
2010
思考：
（1）在这个问题中，有哪几个量？
（2）观察上表，热气球在升空的过程中，平均每分钟上升多少米？
（3）你能求出上升后10min时热气球到达的海拔高度吗？
引导同学观察:
设计一开始，热气球的高度是多少？
热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
你能总结出h和t的关系式吗？
在上述情境中，一个变化过程，在变化过程中只涉及两个变量。
对于同一个变化过程中的两个变量，均是一个变量的变化导致了另一个变量的变化，t的变化导致了h的变化，一般地，先发生变化的量（直观理解为自我发生变化的量）叫自变量，随自变量的变化而变化的另一个量叫因变量（直观理解为因别人变化而变化的量）并且自变量与因变量存在关系;对于自变量的每一个确定的值，因变量要有唯一确定的值与之对应。
这种问题反映了匀速行驶的所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度30米／小时．
情境2：
（即教材P22之问题2，）下图是S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线。
看图思考并回答以下问题：
（1）这个问题中，有哪几个量？
（2）任意给出这天中的某一时刻，如4.5h、20h，能找到这一时刻的负荷yMW（兆瓦）是多少吗？
你是怎么找到的？
找到的值是唯一确定的吗？
（3）这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？
它们是在什么时刻达到的？
问题3汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住。
刹车距离是分析事故原因的一个重要因素。
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离s（m）与车速v（km/h）之间有下列经验公式：
（1）式中涉及哪几个量？
（2）当刹车时车速分别是40、80、120km/h时，相应的滑行距离s分别是多少？
三、总结概念在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定另一个变量（因变量）的值。
1、常量与变量
在上面的三个情境中，都涉及了一些量。
有些量在整个过程中保持不变，是常量。
如情境1中的热气球每分上升30m，有些量在变化过程中，可以取不同的值，如情境1中的热气球上升的高度h与时间t，其中的h随着t的变化而变化；情境2中的用电负荷y与时刻t，其中的y随着t的变化而变化；情境3中的刹车距离s与车速v，其中的s随着v的变化而变化。
是变量。
2、函数的定义
在上述情境中，都是一个变化过程，在每一个变化过程中都只涉及两个变量。
对于同一个变化过程中的两个变量，均是一个变量的变化导致了另一个变量的变化，如情境1中t的变化导致了h的变化，情境2中t的变化导致了y的变化，情境3中v的变化导致了s的变化等，或者说是一个变量随着另一个变量的变化而变化。
在这两个变量中，当给定了一个变量的允许值时，相应地也就确定了另一个变量唯一的值。
由此我们给出函数的定义。
函数：
一般地，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果对x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
例如：
情境1中，热气球上升的高度h（m）是上升时间t（min）的函数，其中t是自变量，h是因变量；
情境2中，用电负荷y（MW）是时刻t（h）的函数，其中t是自变量，y是因变量；
情境3中，刹车距离s（m）是车速v（km/h）的函数，其中v是自变量，s是因变量。
理解函数概念把握三点：
①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。
判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。
可适当给予几个数值加以计算，强化学生对定义中“唯一的”的理解．
1、请同学举出生活中的实际问题，并说明你所举问题中的常量、变量、自变量、因变量各是什么？
当自变量取一个值时，因变量的值是不是唯一确定的？
2、随堂练习
（１）．１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．
（２）．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
挂1kg重物时弹簧长度：
1×0．5+10=10．5（cm）
挂2kg重物时弹簧长度：
2×0．5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧长度：
3×0．5+10=11．5（cm）关系式：
L=0．5m+10
通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．
（3）．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．
四、练习、下列表达式是函数吗？
若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：
y=±
y=
（因为这里的x无法取到值,怎叫对于x的确定的值呢？
）
由学生加以讨论回答．答：
（1）、
（2）、（3）是函数，其中x是自变量，y是x的函数；
（4）不是函数．因为对于每一个x的值，y不是有唯一的值与它对应．（注意学生在说明原因时的语言，一定要正确．）
提问：
由练习（4）说明了什么问题？
三、范例学习，知识应用
1、在一根弹簧的下端悬挂物体，改变并记录物体的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。
如果弹簧原长10cm，每1kg物体使弹簧伸长0.5cm，怎样用含物体质量m（kg）的式子，表示弹簧受理后弹簧伸长的长度y1（cm）和弹簧的长度y2（cm）？
y1和y2是不是m的函数？
如果是，谁是自变量？
谁是因变量？
2、想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的。
下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
在这个变化过程中，h与t是否构成了函数关系？
如果构成了函数关系，自变量和因变量各是什么？
3．在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v=
，则这个关系式中_____是自变量，________函数．
4．已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为____________．
五．课时小结
本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．
１．确定事物变化中的变量与常量．
２．尝试运算寻求变量间存在的规律．在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。
３．利用学过的有关知识公式确定关系区．
六、布置作业教材习题13.11，2．
函数
函数（Function）是数学中最基本、最重要的概念之一.在历史上,函数概念的出现与解析几何的产生有密切联系.17世纪上半叶,笛卡儿把变量引入了数学,他指出了平面上的点与实数对（x,y）之间的对应关系.当动点做曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依赖并同时发生变化,其关系可由包含x、y的方程式给出.相应的方程式就揭示了变量x和y之间的关系.
“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的.他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念.起初他用函数一词表示x的幂（即x、x2、x3…）,后来他又用函数表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量.现在一般把莱布尼兹引用的函数概念的最初形式看作是函数的第一个定义.把函数理解为幂的同义语,可以看作是函数概念的解析的起源;用函数表示某些几何量,可以看作是函数概念的几何起源.
随着数学的发展,函数的定义不断地得到改进和明确.毛
第二课时13.1.2函数变量与函数
（二）
教学目标
１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．了解函数的变化规律，认识函数表示法的应用。
２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．
教学重点：
１．进一步掌握确定函数关系的方法．２．确定自变量的取值范围．
教学难点：
认识函数、领会函数的意义．
教学过程
一、提出问题，创设情境
上节课
（1）为了刻画事物变化规律,数学上常用函数表示;
所研究的每个问题中是否各有两个变化？
同一问题中的变量之间有什么联系？
也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？
这将是我们这节研究的内容．
二、导入新课
首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．
如情境1中t的变化导致了h的变化，情境2中t的变化导致了y的变化，情境3中v的变化导致了s的变化等，或者说是一个变量随着另一个变量的变化而变化。
在这两个变量中，当给定了一个变量的允许值时，相应地也就确定了另一个变量唯一的值。
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．
其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．
函数的表示方法：
1列表法：
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。
2、解析法：
问题3中刹车距离s与车速v的函数关系是用，S=
来表示的，这种用数学式子来表示函数关系的方法叫解析法。
其中等式叫做函数的解析式，如问题1中的函数也可以写成解析式。
关于函数自变量的取值范围
（1）用数学式子表示的函数的自变量取值范围（课本P24页例题）
思考:
（1）如果分式的分母中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制?
例1．求下列函数中自变量x的取值范围
（1）y=2x+4
（2）y＝-2x2（3）y=
（4）y=
分析：
用数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第
（1）
（2）两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第（3）题，（x-2）必须不等于0式子才有意义，对于第（4）题，（x－3）必须是非负数式子才有意义．
练习、函数
中，自变量x的取值范围是（）
函数
中，自变量x的取值范围是
我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．
（2）实际问题中的自变量取值范围
问题1：
在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?
如果有．各是什么样的限制?
问题2：
某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。
让学生总结：
求函数自变量取值范围的两个方法：
（1）要使函数的解析式有意义。
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。
④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
例2、x＝3时，求出下列函数的函数值：
①y=y=2x+4（
（2）y＝-2x2（3）y=
（4）y=
5．等腰三角形周长为12，求底边y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围是什么？
例3、一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．
１．写出表示y与x的函数关系式．２．指出自变量x的取值范围．
３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
结论：
１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．
行驶里程x时耗油为：
0.1x
油箱中剩余油量为：
50-0.1x
所以函数关系式为：
y=50-0.1x
２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．
因此自变量x的取值范围是：
0≤x≤500
３．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x得：
y=50-0．1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．
练习：
2、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：
每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x>10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？
小结函数自变量取值范围的限制条件
函数值的求法
作业
１．校园里栽下一棵小树高1．8米，以后每年长0．3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________．
2．△ABC中，AB=AC，设∠B=x°，∠A=y°，试写出y与x的函数关系式_____________．
3．到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0．80元，超过20克而不超过40克时付邮费1．60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0．80元（信重量在100克内）．如果某人所寄一封信的质量为78．5克，则他应付邮费________元．
答案：
1．L=0．8+0．3n2、y=180°-2x3．3．20.
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