水平宽铅垂高求三角形面积.docx

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水平宽铅垂高求三角形面积

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法

二次函数教学反思

铅垂高

外侧两条直线之间内部线段的长度叫△ABCS△ABC=1\2ah，即三

如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形

，同学们很快掌握了这种

面积问题的一个好办法。

在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”方法现总结如下：

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的

距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们

1/10

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，

0），连结OA，将线段OA绕原点

O顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过

A、O、B三点的抛物线的解析式；

3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不

存在，请说明理由.（4）

如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在

x轴的下方，那么△PAB是否有最

大面积？

若有，求出此时

P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由

解：

（1）B（1，3）

y=ax（x+a），代入点B（1,3），得a333）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段

2）设抛物线的解析式为

，因此y33x2

AB的交点时，△

23

x

3

BOC的周长最小.

设直线AB为y=kx+b.所以kb3,解得

2kb0.

3

3，因此直线AB为y

23

3

3233

33x233，当x=－1时，y33

因此点C的坐标为（－1，3/3）.

4）如图，过P作y轴的平行线交

AB于

D.

1

SPABSPADSPBD2（yD

3x2

3

13x

23

23

3

yP）（xB

xA）

32

x

2

3x

x

2

3

x

2

1

2

93

8

当x=－1时，

2

PAB的面积的最大值为

983，此时P21,43

例2．（2014益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点

A（3,0），交y轴于点B.

（1）求抛物

线和直线AB的解析式；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，

连结PA，PB，

当P点运动到顶点

C时，求△CAB的铅垂高CD

及S

CAB

9

；（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，

8

求出P点的坐标；

若不存在，请说明理由.

解：

（1）设抛物线的解析式为：

y1

a（x

2

1）24把A（3,0）代入解析

式求得a1所以y1（x

1）2

x22x

析式为：

y2kxb由y1

x2

2x

3求得B

/10

3设直线

点的坐标为

A（3,0），B（0,3）代入y2kxb中解得：

k1,b3所以y2x3

（2）因为C点坐标为（１,4）所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2S

CAB

3（平方单位）

（3）假设存在符合条件的点P，

设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

2

hy1y2（x22x3）

（x3）

291

x3x由S△PAB=S△CAB得

82

得：

4x212x90解得，

x3将x

2

32

32代入y1x22x3中，解得

9

8

315

P点坐标为（,）

24

（x23x）

3化简

3，0）两点，

（1）求该抛物

例3．（2015江津）如图，抛物线y

x2bxc与x轴交于A（1,0）,B（-

线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的

明理由.

解：

（1）将A（1，0），B（－3，0）代y

x2bx

c中得

c＝0

b2

3b

c0

c3

1对称

∴抛物线解析式为：

yx22x3

（2）存在。

理由如下：

由题知A、B两点关于抛物线的对称轴

2x3

∴直线BC与x1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵y

∴C的坐标为：

（0，3）直线BC解析式为：

yx

3Q点坐标即为

的解

3

x1

∴Q（－1，2）

y2

3）答：

存在。

理由如下：

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同学们可以做以下练习：

1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形

OABC的长OA=3，宽OC=1，

将△AOC沿AC翻折得△APC。

1）填空：

∠PCB=度，P点坐标为（

）；

C在此抛物线上；

4

2）若P，A两点在抛物线y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点

3

3）在

（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点

存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，

B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？

若存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接大值，并求此时E点的坐标．

图①

图②

3.（2015年恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数

x2bxc的图象与x轴交于A、B

两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于

C（0，-3）点，

点P是直线BC下方的抛物线上一动点

1）求这个二次函数的表达式．

2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC

为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形大面积.

若不存在，请说明理由．

ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最

解：

（1）

B、C两点的坐标代入得3b

c

图1

解得：

2所以二次函数的表达式为：

3

x22x3

2）存在点

/

P，使四边形POPC为菱形．

2

设P点坐标为（x，x22x

3），

/

PP交CO于E若四边形POPC是菱形，

则有

PC＝PO．

/

连结PP则

PE⊥CO于

E，∴OE=EC=32

y=

∴x22x

3=3解得

2

210x1=

2

2，x2=2

10（不合题意，舍去）

5/10

∴P点的坐标为（2210，32）

3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x

2x3），易得，直线BC

的解析式为yx3则

Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形ABPCSABC

BPQ

SCPQ

1AB

2

OC

1QPOE1QPEB

22

1

12（

2

x23x）

75

3

当x23时，四边形

ABPC

的面积最大

此时P点的坐标为

315

32,145，四边形ABPC的面积

的最大值为75

8

25．（2015绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为

y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段

BC的中点，BC的垂直平分线与

面积．

1）

2）

求抛物线的函数解析式，并写出顶点

在直线EF上求一点H，使△CDH

若点K在x轴上方的抛物线上运动，

4a

4b

2b

40,

40,

所以抛物线的解析式为

1

x

2

x轴交于点

（2）设抛物线的对称轴与

BD交于EF于一点，则这一点为所求点

D的坐标；

的周长最小，并求出最小周长；

A（－4，0）、B（2，0），与

x轴、y轴分别交于F、G．

K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？

并求出最大

1

解得a，b=－1．

2

4，顶点D的坐标为（－1，9）．

2

M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结H，使DH+CH最小，即最小为

DH+CH=DH+HB=BD=BM2DM2313．而2

CD12

（924）225

6/10

∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=5313

2k1

设直线BD的解析式为y=k1x+b，则

k1

2b1

b1

0,

9解得

2,

k13，b1=3．

2

所以直线BD的解析式为y=3x+3．由于BC=25，CE=BC∕2=5，

2

Rt△CEG∽△COB，

得CE:

CO=CG:

CB，所以CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线

EF的解析式为y=1x+3．

22

联立直线BD与EF的方程，

解得使△

CDH的周长最小的点H（3，15）．

48

3）如图所示，设K（t，

12t2

4），xF

EF于N．

则KN=yK－yN=t2

2

4－

所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=

131235

t+）=t2t

22222

11

22

即当t=－3时，△EFK的面积最大，最大面积为29，此时

24

11329KN（t+3）+KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+）2+24

K（－3，35）．

28

平面直角坐标系中三角形面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题

.解题时我们要注意其中的解题方法和解题

技巧.

1．有一边在坐标轴上：

例1：

如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），ABC的面积.

分析：

根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，

由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.

0，3），（0，－1），求△

2．有一边与坐标轴平行：

例2：

如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，积.

分析：

由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB

5），C（-1，2），求△ABC的面

7/10

与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.

3．三边均不与坐标轴平行：

例3：

分析：

求边长，

由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接

无法求高，因此得另想办法.

4．三角形面积公式的推广：

过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条

直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在

△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出

一种计算三角形面积的新方法：

S△ABC=1ah

2

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

例4：

已知：

直线l1：

y=﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：

y=x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C．（Ⅰ）建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；

（Ⅱ）利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积．

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k'

5．巩固练习：

1）已知：

如图，直线ykxb与反比例函数y（x<0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于

x

点C，其中点A的坐标为（－2，

4），点B的横坐标为－4.

Ⅰ）试确定反比例函数的关系式；

Ⅱ）求△AOC的面积．

2）如图，在直角坐标平面内，函数y

m（x0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a1．过x

点A作x轴垂线，垂足为C，过点

B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，

DC，CB．

若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

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AB为直角边在第一象限内作等腰

3）已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段

Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（Ⅰ）求三角形ABC的面积S△ABC；

（Ⅱ）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（Ⅲ）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

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