正弦定理例题.docx

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正弦定理例题

篇一:

正弦定理练习题

1．在△ABC中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b等于（）

62C.3D．26

2．在△ABC中,已知a＝8,B＝60°,C＝75°,则b等于（）

A．42B．43C．6D.

3．在△ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c,A＝60°,a＝43,b＝42,则角B为（）

A．45°或_5°B．_5°C．45°D．以上答案都不对

4．在△ABC中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于（）

A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定

5．在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A＝1_°,B＝45°,b2,则c＝（）

A．1B.C．224cosAb

6．在△ABC中,若,则△ABC是（）

cosBa

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中,AB3,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积为（）

33333B.C.或3D.或24242

8．△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若c＝2,b＝6,B＝_0°,则a等于（）

6B．2C.3D.2

9．在△ABC中,角A.B.C所对的边分别为a.b.c,若a＝1,c＝3,C＝则A＝________.

_．在△ABC中,已知a＝,b＝4,A＝30°,则sinB＝________.

_．在△ABC中,已知∠A＝30°,∠B＝_0°,b＝_,则a＋c＝________.

_．在△ABC中,a＝2bcosC,则△ABC的形状为________．

a＋b＋c

_．在△ABC中,A＝60°,a＝63,b＝_,S△ABC＝_3,则________,

sinA＋sinB＋sinC

c＝________.

a－2b＋c

_．已知△ABC中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则＝________.

sinA－2sinB＋sinC

_．在△ABC中,已知a＝2,cosC＝,S△ABC＝43,则b＝________.

_．在△ABC中,b＝43,C＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．

_．△ABC中,ab＝6_,sinB＝sinC,△ABC的面积为3,求边b的长．

正弦定理

1．在△ABC中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b等于（）

62C.3D．26

abasinB

解析:

选A.应用正弦定理得:

b＝6.

sinAsinBsinA

2．在△ABC中,已知a＝8,B＝60°,C＝75°,则b等于（）

A．42B．43C．6D.

asinB

解析:

选C.A＝45°,由正弦定理得b＝46.

sinA

3．在△ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c,A＝60°,a＝43,b＝42,则角B为（）

A．45°或_5°B．_5°C．45°D．以上答案都不对

abbsinA2

解析:

选C.由正弦定理＝sinB＝,又∵ab,∴B60°,∴B＝45°.

sinAsinBa2

4．在△ABC中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于（）

A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定

解析:

选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A＝1_°,B＝45°,b2,则c＝（）

A．1B.C．224

bc2_sin30°

解析:

选A.C＝_0°－1_°－45°＝30°,由c＝1.

sinBsinCsin45°

cosAb

6．在△ABC中,若,则△ABC是（）

cosBa

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

bsinBcosAsinB

解析:

选D.∵＝,∴＝

asinAcosBsinA

sinAcosA＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B

即2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B,或A＋B＝2

7．已知△ABC中,AB3,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积为（）

33B.243333D.242

ABAC3

解析:

选D.,求出sinC＝,∵AB＞AC,

sinCsinB2

∴∠C有两解,即∠C＝60°或_0°,∴∠A＝90°或30°.

再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．

8．△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若c＝2,b＝6,B＝_0°,则a等于（）

6B．23D.2

解析:

选D.由正弦定理得,

sin_0°sinC

∴sinC2

又∵C为锐角,则C＝30°,∴A＝30°,△ABC为等腰三角形,a＝c＝2.

9．在△ABC中,角A.B.C所对的边分别为a.b.c,若a＝1,c＝3,C＝则A＝________.

＝

sinAsinC

a·sinC1

所以sinA＝.

ππ

又∵a＜c,∴A＜CA＝36

π答案:

_．在△ABC中,已知a＝,b＝4,A＝30°,则sinB＝________.

3ab

解析:

由正弦定理得＝

sinAsinB_bsinA3

sinB＝＝a432

答案:

_．在△ABC中,已知∠A＝30°,∠B＝_0°,b＝_,则a＋c＝________.

解析:

C＝_0°－_0°－30°＝30°,∴a＝c,

ab__sin30°由＝得,a＝＝,sinAsinBsin_0°∴a＋c＝83.答案:

8_．在△ABC中,a＝2bcosC,则△ABC的形状为________．

解析:

由正弦定理,得a＝2R·sinA,b＝2R·sinB,代入式子a＝2bcosC,得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC,所以sinA＝2sinB·cosC,即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC,化简,整理,得sin（B－C）＝0.∵0°＜B＜_0°,0°＜C＜_0°,∴－_0°＜B－C＜_0°,∴B－C＝0°,B＝C.答案:

等腰三角形

a＋b＋c

_．在△ABC中,A＝60°,a＝63,b＝_,S△ABC＝_3,则________,

sinA＋sinB＋sinC

c＝________.

a＋b＋ca3_

解析:

由正弦定理得＝＝＝_,又S△ABC＝bcsinA,∴

_sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°___sin60°_c＝_3,

∴c＝6.

答案:

a－2b＋c

_．已知△ABC中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则＝________.

sinA－2sinB＋sinC

解析:

由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得,∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°,

∴2R＝＝2,

sinAsin30°

又∵a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC,

a－2b＋c2R?

sinA－2sinB＋sinC?

∴＝＝2R＝2.sinA－2sinB＋sinCsinA－2sinB＋sinC答案:

_．在△ABC中,已知a＝2,cosC＝,S△ABC＝43,则b＝________.

解析:

依题意,sinC＝S△ABC＝absinC＝43,

解得b＝23.答案:

_．在△ABC中,b＝43,C＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．

解析:

∵bsinC＝＝23且c＝2,

∴cbsinC,∴此三角形无解．答案:

_．如图所示,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为_0°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为1_°,航行半小时后船到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?

解:

在△ABC中,BC＝＝_,

∠ABC＝_0°－1_°＝30°,∠ACB＝（_0°－_0°）＋65°＝1_°,所以∠A＝_0°－（30°＋1_°）＝45°,由正弦定理得

BC·sin∠ABCAC＝

sinA

_sin30°＝2（km）．sin45°

即货轮到达C点时,与灯塔A的距离是1_km.

CC1

_．在△ABC中,a.b.c分别为角A.B.C的对边,若a＝23,cos,sinBsinC

＝cosA.B及b.c.

CC_

解:

由sinsinC＝

_42

π5π

又C∈（0,π）,所以CC＝66A

由sinBsinC＝cos

sinBsinC－cos（B＋C）],

即2sinBsinC＝1－cos（B＋C）,

即2sinBsinC＋cos（B＋C）＝1,变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1,

π5π

即cos（B－C）＝1,所以B＝C＝B＝C＝（舍去）,

2π

A＝π－（B＋C）＝3abc

由正弦定理,得

sinAsinBsinC

_sinB

b＝c＝a_.

sinA3

2ππ

故A＝,B＝b＝c＝2.

_．（_年高考四川卷）在△ABC中,A.B为锐角,角A

.B.C所对应的边分别为a.b.

c,且cos2A＝,sinB.

（1）求A＋B的值;

（2）若a－b＝2－1,求a,b,c的值．

解:

（1）∵A.B为锐角,sinB＝,

3∴cosB＝1－sinB＝1_525

又cos2A＝1－2sin2AsinA＝cosA＝

555

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB2531_1_＝－.

51_1_

又0＜A＋B＜π,∴A＋B＝4

3π

（2）由

（1）知,C＝sinC＝.

42abc

由正弦定理:

得

sinAsinBsinC

5a＝_b＝2c,即a＝2b,c5b.

∵a－b＝2－_b－b＝2－1,∴b＝1.∴a2,c＝5.

_．△ABC中,ab＝6_,sinB＝sinC,△ABC的面积为3,求边b的长．

解:

由S＝sinC得,3＝_6__sinC,

∴sinC＝C＝30°或_0°.

又sinB＝sinC,故∠B＝∠C.当∠C＝30°时,∠B＝30°,∠A＝_0°.

又∵ab＝6_,＝b＝_.

sinAsinB

当∠C＝_0°时,∠B＝_0°（舍去）．

篇二:

正弦定理习题及答案

一.选择题（每小题5分,共_分）

_．在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinB＝2,sinA＝,2

则b的值为（）

A．2

C．6

解析:

由正弦定理得b＝B．4D．8asinB24.sinA_

答案:

2．在△ABC中,sin2A＝sin2B＋sin2C,则△ABC是（）

A．等边三角形

C．直角三角形

解析:

∵sin2A＝sin2B＋sin2C.

∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2

∴△ABC是直角三角形．

答案:

3．在△ABC中,若A＝60°,C＝75°,b＝6,则a等于（）A.

C.6B．3D．36B．等腰三角形D．锐角三角形

解析:

∵B＝_0°－（60°＋75°）＝45°,

36_2bsinA∴a＝＝36.sinB2

答案:

4．在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是（）

A．b＝_,A＝45°,B＝70°

C．a＝7,b＝5,A＝80°B．a＝60,c＝48,B＝1_°D．a＝_,b＝_,A＝45°

解析:

D中,bsinA＝2,a＝_,所以bsinAab,所以三角形有两个解．故选

答案:

二.填空题（每小题5分,共_分）

5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1,那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．

解析:

∵A∶B∶C＝3∶2∶1,A＋B＋C＝_0°,

∴A＝90°,B＝60°,C＝30°,

设abc＝＝k,sinAsinBsinC

3k,c＝ksinC＝_则a＝ksinA＝k,b＝ksinB＝

∴a∶b∶c＝2∶3∶1.

答案:

23∶1

6．在△ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b,c,已知a＝_,b＝2,A＝60°,则tanB＝________.

bsinA231解析:

由正弦定理得sinB＝_,a_25

根据题意,得ba,

故BA＝60°,因此B为锐角．

cosB＝1－sinB＝

sinB1故tanB＝＝cosB_答案:

三.解答题（每小题_分,共_分）

7．

（1）在△ABC中,已知A＝30°,a＝6,b＝3,求B.

（2）在△ABC中,已知A＝60°,a＝6,b＝2,求B.

623解析:

（1）在△ABC中,由正弦定理可得＝sin30°sinB

解得sinB＝_2.5

∵ba,∴BA.

∴B＝45°或_5°.

（2）在△ABC中,由正弦定理可得＝sin60°sinB

解得sinB＝22

∵ba,∴BA.

∴B＝45°.

a28．在△ABC中,若sinB＝＝B为锐角,试判断△ABC的形状．c2

解析:

∵sinB＝

2,且B为锐角,_

∴B＝45°.

a2∵＝.c2

sinA∴由正弦定理得,sinC2

又∵A＋C＝_5°,

∴sin（_5°－C）整理得cosC＝0.

∴C＝90°,A＝45°.

∴△ABC是等腰直角三角形．尖子生题库☆☆☆

9．（_分）△ABC的各边均不相等,角A.B.C的对边分别为a,b,c,且acosA＝bcosa＋bB的取值范围．c

解析:

∵acosA＝bcosB,

∴sinAcosA＝sinBcosB,

∴sin2A＝sin2B.

∵2A,2B∈（0,2π）,

∴2A＝2B或2A＋2B＝π,

π∴A＝B或A＋B＝.2

如果A＝B,则a＝b不符合题意,

π∴A＋B＝2

a＋bsinA＋sinB∴sinA＋sinB＝sinA＋cosAcsinC

π2sin（A＋,4

π∵a≠b,C＝2

ππ0,且A∴A∈?

a＋b∴（_）．c

2sinC,2

篇三:

正弦定理典型例题与知识点

正弦定理

教学重点:

正弦定理

教学难点:

正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化.多解问题

1.正弦定理:

在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,即

abc

==siAnsinBsinC

2.三角形面积公式

在任意斜△ABC当中S△ABC=absinC?

acsinB?

bcsinA3.正弦定理的推论:

abc

===2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC

4.正弦定理解三角形

1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角;

2）已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.3）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:

（多解情况）

1若A为锐角时:

○

无解?

bsinA?

一解（直角）?

bsinA

bsinA?

b二解（一锐,一钝）?

b一解（锐角）?

已知边a,b和?

aCH=bsinA

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinAab有两个解

b无解

2若A为直角或钝角时:

○

b一解（锐角）

1.已知中,,,则角等于（D）

A．B．C．D．

2.ΔABC的内角

A.B.C所对的边分别为a.b.c,若sinA=,

=sinB,则a等于（D）

A．3B．C．D．

1.在?

ABC中,若sin2A?

sin2B,则?

ABC一定是（）

3.在Rt△ABC中,C=

则sinAsinB的最大值是_______________.

[解析]∵在Rt△ABC中,C=

∴sinAsinB?

sinAsin（

A）?

sinAcosA

1sin2A,∵0?

∴0?

2A?

∴A?

时,sin

AsinB取得最大值._42

_,cosB?

则角C的大小是__________2_

若?

ABC中,tanA?

解析

tanA?

cosB?

sinB?

tanB?

23?

tanC?

tan（?

B）?

tan（A?

B）?

tanA?

tanB3?

1,?

tanAtanB?

7.在△ABC中,已知2a?

c,sinA?

sinBsinC,试判断△ABC的形状.解:

由正弦定理

abcab

2R得:

sinA?

sinB?

sinAsinBsinC2R2R

sinC?

c.2R

2R2R

2a2bc2

）?

所以由sinA?

sinBsinC可得:

（,即:

bc.

又已知2a?

c,所以4a2?

（b?

c）2,所以4bc?

（b?

c）2,即（b?

c）2?

0,因而b?

c.故由2a?

c得:

2a?

2b,a?

b.所以a?

c,△ABC为等边三角形.６．在?

ABC中,

sinBsinA

是A?

B成立的（C）ab

Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

1.△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若c=2,b=6,B=_0°,则a等于

A.答案D

3.下列判断中正确的是

（）

B.2

（）

C.3D.2

A.△ABC中,a=7,b=_,A=30°,有两解B.△ABC中,a=30,b=25,A=_0°,有一解C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.△ABC中,b=9,c=_,B=60°,无解答案B

4.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是

（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案B

_.在△ABC中,已知a=3,b=,B=45°,求A.C和c.解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=

asinB3sin45?

==,b_

则A为60°或_0°.

①当A=60°时,C=_0°-（A+B）=75°,c=

bsinC2sin75?

==sinBsin45?

2sin（45?

30?

）?

sin45?

②当A=_0°时,C=_0°-（A+B）=_°,c=

bsinC2sin_?

==sinBsin45?

2sin（45?

30?

）?

sin45?

故在△ABC中,A=60°,C=75°,c=

或A=_0°,C=_°,c=.

_.在△ABC中,a.b.c分别表示三个内角A.B.C的对边,如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B）,判断三角形的形状.

解方法一已知等式可化为a［sin（A-B）-sin（A+B）］=b［-sin（A+B）-sin（A-B）］∴2acosAsinB=2bcosBsinA

由正弦定理可知上式可化为:

sinAcosAsinB=sinBcosBsinA

∴sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2?

得2A=2B或2A=?

-2B,即A=B或A=

-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.2

方法二同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB

b2?

c2?

a_a?

b____

由正.余弦定理,可得ab=ba∴a（b+c-a）=b（a+c-b）

2bc2ac

即（a-b）（a+b-c）=0∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形.

2．在△ABC中,已知∠B＝45°,c＝2,b＝A等于（）

3A．_°

B．75°

C．1_°

D．75°或_°

____

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