人教版小学数学六年级下册专题训练12第十二讲应用题一.docx
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人教版小学数学六年级下册专题训练12第十二讲应用题一
第十二讲典型的应用题
（一）
课程目标
1、熟练地解答简单应用题，能根据题目意思说出数量关系式，明确算理。
2、能用分步列式和综合算式两种解法解答一般应用题，理解每一步算式所表示的实际意义，会用综合法和分析法来分析应用题的解题思路。
课程重点
会根据题目意思说出相应的数量关系式。
会用综合法和分析法来分析应用题的解题思路。
课程难点
理解各类应用题的数量关系，会熟练运用数量关系解决问题。
教学方法建议
（讲解，巩固练习。
）
一、知识梳理
1、简单应用题
简单应用题只含有一种数量关系，只用一步运算解答的应用题。
但它是解答所有应用题的基础。
（1）求两数的和
加法是把两个数合并成一个数的运算。
有两种情况：
一种是知道两个部分数，求总数；另一种是已知一个数是多少，还知道另一个数比它多多少，求另一个数。
（2）求两个数的差
减法是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，它是加法的逆运算。
有三种情况：
一是已知两个数的总数和其中一个数是多少，求另一个数；二是已知两数分别是多少，求其中一数比另一数多（或少）多少；三是已知一个数和另一个数比它少多少，求另一个数（较小数），都是用减法计算。
（3）求两数的积
乘法是求几个相同加数的和的简便运算。
一种是已知每份数和份数是多少，求总数；另一种是求一个数的几倍是多少。
（4）求两个数的商
除法是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
一种是把一个数平均分成几份，求一份是多少；另一种是求一个数里包含有几个另一个数。
前者称为“等分除法”，后者称为“包含除法”。
乘、除法应用题的数量关系可以概括为：
每份数×份数=总数
总数÷份数=每分数
总数÷每份数=份数
2、一般复合应用题
复合应用题是含有两个或两个以上的基本数量关系，就是用两步或两步以上的运算进行解答的应用题。
其实，复合应用题是由几个简单应用题组合成的，所以解答复合应用题是以简单应用题为基础的。
解答这类应用题的关键是在分析数量关系的基础上，把复合应用题分解成几个简单应用题。
解题步骤如下：
（1）弄清题意，找已知条件和要求的问题；
（2）分析题里的数量关系找出中间问题，据此确定先算什么，再算什么，最后算什么；
（3）列出算式进行计算；
（4）检验并写出答案。
3、典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。
二、方法归纳
（1）平均数问题：
平均数是等分除法的发展。
解题关键：
在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：
已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。
数量关系式：
数量之和÷数量的个数=算术平均数。
例如：
四位小朋友，他们的体重分别是32.3千克，29.8千克，34.2千克，28.5千克，他们的平均体重是多少千克？
加权平均数：
已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
例如：
全班有50人，其中15人9岁，17人10岁，18人11岁，那么这个班的平均年龄是多少岁？
（2）归一问题：
已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据求出的单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又称“单归一。
”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又称“双归一。
”
正归一问题：
用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：
用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：
从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：
单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
（3）归总问题：
是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：
两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：
单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。
（4）和差问题：
已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：
是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
解题规律：
（和＋差）÷2=大数大数－差=小数
（和－差）÷2=小数和－小数=大数
（5）和倍问题：
已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题规律：
和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数
（6）差倍问题：
已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：
两个数的差÷（倍数－1）=标准数标准数×倍数=另一个数
（7）行程问题的应用题
行程问题的应用题首先要弄清“相对”、“相向”、“相背”、“相遇”、“同时”、“同向”等词语，其次要弄清行程问题的结构特点。
运动方向：
是同向还是背向
出发地点：
是同地还是两地
出发时间：
是同时还是分别
速度：
是一个物体的速度还是两个物体的速度。
运动结果：
是相遇、相隔，还是相遇后反方向相离
最后，还要掌握好每种应用题的解题规律。
其解题规律是：
（1）相向运动——是指两个物体的出发点不同，运动方向相对，越走相距越近，其中还可分为相遇和相差两种情况。
基本公式如下：
相遇时间＝相遇路程÷速度和
相遇路程＝速度和×相遇时间
速度和＝相遇路程÷相遇时间
（2）同向运动——是指两个运动物体的运动方向相同，但是出发地点可以相同或不同，因此，又可分为同地同向和异地同向两种情况。
①同地同向：
特点是出发地点相同，运动方向相同，由于速度有快慢，因此越走相隔越远。
公式是：
相隔路程＝速度差×时间
②异地同向：
特点是出发地点不同，运动方向相同。
如果速度慢的在前，快的在后就能追及，称为追及问题。
其公式是：
追及时间＝追及路程÷速度差
追及路程＝速度差×追及时间
速度差＝追及路程÷追及时间
如果快的在前，慢的在后，二者越走越远，就不能追及。
公式：
路程＝相隔路程+速度差×时间
（3）背向运动——是指两个物体运动方向相反，但出发点可以相同或不同。
其公式是：
相隔路程＝速度和×时间
三、课堂精讲
（一）平均数应用题
例1一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。
求这辆车的平均速度。
【规律方法】求汽车的平均速度同样可以利用公式。
此题可以把甲地到乙地的路程设为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为
，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是
，汽车共行的时间为
+
=
汽车的平均速度为2÷
=75（千米）
【变式训练1】
【难度分级】A
1、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？
2、从甲地到乙地全程是60千米，小宏骑自行车从甲地到乙地的速度是每小时15千米，从乙地往甲地返回的速度是每小时10千米，求这个往返行程中的平均速度？
例2某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？
【规律方法】先求出所有男生和所有女生的总分，再除以总人数。
【变式训练2】
【难度分级】A
1、女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？
2、甲班52人，乙班48人，语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分，两个班的平均成绩各是多少？
3、甲、乙两人的平均身高是1.68米，乙、丙两人的平均身高是1.73米，丙与甲的平均身高是1.60米，求甲、乙、丙三人的平均身高？
（二）归一问题
例3一个织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天？
【规律方法】必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。
6930÷（4774÷31）=45（天）
（三）归总问题
例4修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。
实际4天修完，每天修了多少米？
【规律方法】因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。
所以也把这类应用题叫做“归总问题”。
不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。
800×6÷4=1200（米）
【变式训练3】
【难度分级】A
1.修一条公路，原计划60人工作，80天完成。
现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
2.粮站加工切面,5天加工440千克,照这样算,30天可加工切面（）千克.加工4840千克切面要（）天。
3.一辆汽车从甲地开往乙地，计划每小时行40千米，7小时到达，实际每小时比计划多行25%，（）小时就可以到达。
4.一批产品,28人25天可以收割完,生产5天后,此项任务要提前10天完成,应增加（）人。
5．将一根木头锯成3段要6分钟，如果要锯成6段需要多少分钟？
（四）和差问题
例5某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班各有多少人？
【规律方法】从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即94－12，由此得到现在的乙班是（94－12）÷2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲班为94－87=7（人）
【变式训练4】
【难度分级】B
1.两个数的和为36,差为22,则较大的数为（）,较小的数为（）。
（五）和倍问题
例6汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
【规律方法】大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。
列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18×5+7=97（辆）
【变式训练5】
【难度分级】B
1．甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
2．师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个，师、徒各生产多少个?
3.妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍?
4．被除数、除数和商三个数的和是181，商是12，求被除数
（六）差倍问题
例7甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？
各减去多少米？
【规律方法】两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。
（63-29）÷（3-1）=17（米）…乙绳剩下的长度
17×3=51（米）…甲绳剩下的长度
29-17=12（米）…剪去的长度
【变式训练6】
【难度分级】A
1.小明、小红两人集邮,小明的邮票比小红多15张,小明的张数是小红的4倍,小明集邮（）张,小红集邮（）张。
2.妈妈的年龄比小刚大24岁,今年妈妈的年龄正好是小刚年龄的3倍,今年妈妈（）岁,小刚（）岁。
3.名士基地种的花生是白薯的16倍,现在已经知道种的花生比白薯多105棵,种花生（）棵,白薯（）棵。
4.小利的科技书比故事书少16本,故事书是科技书的3倍,小利有科技书（）本,故事书（）本。
5.甲、乙两个数,如果甲数加上50,就等于乙数,如果乙数加上350就等于甲数的3倍,问甲（）,乙（）。
（七）行程问题
例8狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：
狗再跑多远，马可以追上它？
【规律方法】根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：
20x＝21：
20
根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是30÷（21-20）×21＝630米
例9慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
【规律方法】可以这样理解：
“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。
算式是（140+125）÷（22-17）=53秒
【变式训练6】
【难度分级】A
1、甲乙辆车同时从ab两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？
已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求ab两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。
又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。
所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
2、在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间
3、一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，（轨道是直的）,声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）
答案为22米/秒
算式：
1360÷（1360÷340+57）≈22米/秒
关键理解：
人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。
也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
四、讲练结合题
1、一段山路的400米，一人上山时每分钟走50米，下山时每分钟走80米，则该人的平均速度是（）．
2、张军，邓明，刘华三位小朋友储蓄钱数之比是1:
3:
4，他们储蓄的平均数是320元，邓明储蓄了（）元。
（08年16所联考）
3、一次数学测验，甲、乙、丙、丁四位同学的平均分为89，甲、乙、丙3人平均分为91，则丁的分数是（）．
4、某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是（）.
5、一组数据中，2出现了2次，3出现了3次，4出现了4次，5出现了1次，则这组数据的平均数是（）．
6、小明统计班里的数学成绩，平均分数为85.74，后来发现一个同学原来的分数为97，统计时误统计为67。
重新统计后平均分数为86.49，此班共有多少个学生？
（09年16校联考）
7、摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行驶了60千米。
返回时每小时行30千米，往返的平均速度是多少千米？
8、有4个数，平均数是100，前两个数的平均数是95，后3个数的平均数是98，第二个数是多少？
9、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。
三个小组各植树多少棵？
10、五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。
求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？
11、仓库存有面粉和大米,已知面粉比大米多4500千克,面粉的斤数比大米的3倍多700千克,大米（）千克,面粉（）千克。
12、两筐重量相等的苹果,从甲筐取出7千克,乙筐加上19千克,这时乙筐的重量是甲筐重量的3倍,原来两筐各有苹果（）千克、（）千克。
13、AB两人所存的钱数相等,A要买一件商品,向B借了120元,这时A的钱数正好是B的4倍,A有（）元,B有（）元。
14、某班原有男生比女生多10人,如果女生转走5人,那么男生人数正好是女生人数的2倍,原有男生（）人。
15、在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
16、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
五．课后自测练习
1、学校买来6张桌子和8把椅子，共付出了477.6元。
每张桌子比每把椅子贵34.8元。
一张桌子和一把椅子各多少元？
2、张师傅3天共生产零件184个，与计划每天生产任务相比，第一天超额14个，第二天超额16个，第三天差2个。
计划每天生产零件多少个？
3、师傅加工零件80个，比徒弟加工的零件的2倍少10个，徒弟加工零件多少个？
4、甲、乙两队同时开凿一条长770米的隧道。
甲队从一端起，每天开凿10米；乙队从另一端起，每天比甲队多凿2米。
两队距中点多远的地方会合？
5、某工人计划48小时内加工零件960个。
改进技术后，用原来一半的时间完成了计划，还多做了72个。
改进技术后，每小时比计划多做多少个？
6、甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？
7、在爬山活动中，李林同学上山的速度为每小时0.24千米，6小时到达山顶，然后又以每小时0.4千米的速度沿原路下到山底，请算一算他上、下山的平均速度是多少？
8、有20个数，按照从小到大排成顺序，它们的平均数是42，前11个数的平均数是38.5，后10个数的平均数是46，问第11个数是多少？
9、一件工程原计划18人每天工作8小时，50天完成．现在少用3人，每天工作10小时，多少天可以完成（假定每人每天工作效率相同）？
10、甲、乙、丙三人买了8个面包平分着吃。
甲付了5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没有付钱，等吃完后一算，丙拿出了3.2元。
甲、乙各应收几元?
11、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:
5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
12、甲乙两车同时从AB两地相对开出。
第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。
第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。
已知甲车在第一次相遇时行了120千米。
AB两地相距多少千米？
13、从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。
如果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
14、一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。
如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
15、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
16、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:
甲乙两地相距多少千米?
第十二讲典型应用题
（一）
【答案】
【变式训练1】
【难度分级】A
1、解：
方程：
设这一次是第x次考试．
86x-[（x-1）×84]=100，
86x-[84x-84]=100，
86x-84x+84=100，
x=8；
算术：
（100-84）÷（86-84），
=16÷2，
=8（次）；
答：
这是第8次考试．
2、从甲地到乙地全程是60千米，小宏骑自行车从甲地到乙地的速度是每小时15千米，从乙地往甲地返回的速度是每小时10千米，求这个往返行程中的平均速度？
解：
从甲地到乙地，全程是60千米，小华骑车从甲地到乙地速度是每小时走15千米，回来时速度是每小时走10千米，那么，小华往返甲乙两地的行程中，平均速度是（4.8）米。
总的路程÷总的时间＝平均速度60×2÷（10+15）＝120÷25＝4.8千米
【变式训练2】
【难度分级】A
1、解：
设女同学人数为a人,则男同学人数为2a人
（41×2a+35a）÷（a+2a）
=（117a）÷（3a）
=39（千克）
2、解：
总得分数：
（52+48）×80=8000
乙的分数：
（8000+5×52）÷（52+48）=82.6
甲的分数（8000-48×5）÷（52+48）=77.6
3、解：
（1.68×2+1.73×2+1.60×2）÷（2×3）
=10.02÷6
=1.67（米）
答：
甲乙丙平均身高是1.67米。
【变式训练3】
【难度分级】A
1、解：
工作量=60*80=4800
已完成的工作量=60*20=1200
剩余工作量=4800-1200=3600
剩余工作量所需天数=剩余工作量÷人数=3600÷（60+30）=3600÷90=40（天）
2.解：
440÷5×30
=88×30
=2640（千克）；
4840÷（440÷5）
=4840÷88
=55（天）．
故答案为：
2640，55．
3.解：
40×7÷[40×（1+25%）]，
=280÷50，
=5.6（小时）；
答：
5.6小时就可以到达．
4.解：
（28×25-28×5）÷（25-5-10）-28，
=（700-140）÷10-28，
=560÷10-28，
=56-28，
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