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牧羊人的希望

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牧羊人的希望

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2011年河南理工大学

《数学建模》课程论文

摘要

一个牧羊人拥有x平方米的牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收益。

他需要考虑以下问题：

（a）他应该饲养多少羊？

（b）夏季应存储多少干草用着冬季饲料？

（c）为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？

你能建立一个数学模型来帮助他解决以上问题吗？

你可以利用下面的资料。

下面是低洼地的某一类草（多年生黑麦草）的近似平均生长率：

一般母羊的生育期是5～8年，每年产一头、两头或三头。

如果每只母羊仅喂养5年就出售，下面一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：

在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为：

关键词：

最优化问题分类讨论线性规划

问题分析

1问题的叙述

一个牧羊人拥有x平方米的牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收益。

他需要考虑以下问题：

（a）他应该饲养多少羊？

（b）夏季应存储多少干草用着冬季饲料？

（c）为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？

2问题的分析

这是个关于资源分配的优化问题即以固定的资源经过合理分配获得最大利润。

在本问题中，我们的目标是合理分配所拥有的牧场及草料养羊，合理分配养羊羔、母羊的数目和比例及草料存储使牧羊人在今后n年中获得的总利润最大。

而获得的利润受到养羊的成本、卖羊羔和母羊的数量、市场供求关系等因素的影响。

初步分析：

如果每年都获得当年的最大利润，则总利润必达到最大化。

现在考虑养殖达到的稳定状态即草料、场地等正好得到充分利用，则每年获得利润必达到最大，也是养殖追求最大利润的最理想状态。

而合理的配置所拥有的资源，可以提高牧场的产量，增加经济效益；保持年龄结构的稳定，则可以保持整个羊群数量的稳定。

于是我们下面就着手建立模型求解稳定状态的母羊、羊羔数目及比例和夏季的储草情况。

由于原型中有太多的影响因素，为了建立模型求解，必须要删繁从简，留主去次

3背景的分析

一个牧羊人拥有一个牧场，他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收益。

他需要考虑以下问题：

（a）他应该饲养多少羊？

（b）夏季应存储多少干草用着冬季饲料？

（c）为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？

我们需要建立一个模型以帮助他接触一个最优化的方案使得他的收获最大

三、模型的假设

1假设干草与鲜草的效用相同

2设一年四季春夏秋冬各为90天

1.仅考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍、配合饲料、给水、饲养费用等其他养殖条件忽略不计。

2．设全部用于养殖的土地均为生长着多年生黑麦草的低洼地，牧场规模保持不变，不考虑天气等偶然因素对黑麦草生长的影响，且牧场对草的供应是持续可靠的，而不考虑种植问题。

取20cm计算知每平方米可种植36株黑麦草。

这里就考虑每平方米种植36株黑麦草。

3．除去冬季外均进行野外放牧，因天气不能野外放牧忽略不计，而冬季食用其他季节存储的干草作饲料。

牧羊人预先储备了适量干草Qkg，当春天的鲜草不够时，可以使用上一年剩余的干草。

4.鲜草与干草均具有相同的喂养效果。

经查资料，得知鲜草向干草的转化率为45%。

5.母羊仅在春天繁殖，且一年仅繁殖一次。

6.羊的售出仅在春季繁殖过后进行（即繁殖后立即决定售出情况，这样可保证羊的总数不变，且处理仍在春季），其他季节不售出。

7.假设稳定态的羊共N只，则春季考虑N只全为母羊的食草量，相邻两代的羊数量在繁殖售出前后的数量变化是连续的，即繁殖售出后i代羊数量为繁殖前i+1代的羊数量（因稳定状态要保持羊数目及比例不变，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均食草量，由假设6有：

母羊繁殖后就处理母羊或小羊，因此这样假设就保证了春季草量的充足且由假设可知这样的假设和实际食草量可认为近似吻合）。

8.草的日生长量（g）是指每株草的日生长量。

9.该牧民尽量避免近亲繁殖，且只饲养母羊和母羊羔。

10.需要配种时，可以外配，配种成本忽略不计。

11.母羊所产羊羔的性别比，从概率角度一般认定为1：

1，根据假设9，公羊羔全部被卖出。

12.不考虑死亡等偶然因素。

13.0-1年的羊为羊羔,1-2,2-3,3-4,4-5年的羊分别为第一，二，三，四代母羊。

14.第一年只购买羊羔,第一，第二，第三，第四代母羊，并且当年春季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，买的母羊繁殖出的羊羔还要售出一部分，所以羊羔就可不用考虑购买，这样不仅省了一部分资金买母羊繁殖，还省了买的羊羔白吃的草料）。

15.第四代母羊在春季繁殖后直接就全部售出（因每只母羊仅喂养5年就出售，繁殖后就售出，这样就节省了第四代母羊从繁殖后到第二年春季的草料）。

16.羊市场稳定，且只关心羊的数量及年代，而不关心它们的重量，每只羊羔价格p元和每只母羊的价格q元都稳定，经查资料知p:

q近似为1:

3，这里认为比例就为1:

3，假定羊的价格仅有这两种。

17.羊的繁殖率按上述表格中的平均繁殖率，食草量及草的生长率亦按表格给出的平均率计算（由假设4的鲜草向干草的转化折扣以及夏季将有三分之二的鲜草剩余，经计算知仅将夏季的剩余鲜草晒制为干草是不够的，所以秋季的剩余草也要进行干化。

这也说明了从春季开始饲养的合理性）。

四、模型建立

1、变量假设

此问题需要分类考虑，把牧草与养的饲养分别考虑后再联系起来讨论什问题有条不紊下面是用到的变量假设：

a0，a1,a2,a3,a4分别为起始时刻牧羊人购进的羔羊，第一批羊，第二批羊，第三批羊，第四批羊的数量

B为羊的总数

X为牧场面积

N为牧羊人放牧的年数

Q为原始牧草存储量

S1为春季产草量

S2为春季耗草量

S3为春季剩余量

M1为夏季产草量

M2为夏季耗草量

M3为夏季剩余量

A1为秋季产草量

A2为秋季耗草量

A3为秋季剩余量

W1为冬季产草量W1=0

W2为冬季耗草量

Y，z分别为大羊和羔羊的售出价格

2、数学模型建立

首先，单独讨论羊饲养的问题

考虑到羊的饲养得知牧羊人买进第一批羊时不应买进公羊否则可能加大开销。

由假设第一次繁殖前牧场羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批养的数量分别为a0,a1,a2,a3,a4，第一次售出后，为保证羊群的相对稳定，应保留羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批的数量应分别为a1,a2.a3,a4。

这年结束后，羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批的数量又可意达到从前的比例。

则：

每年售出羔羊：

1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a1=0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4

养羊数量:

N=a1+a2+a3+a4

目标函数：

收益Y=N[（0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4）p+a4q]

且满足：

S3=Q+S1-S2>=0

M3=M1-M2>=0

A3=A1-A2>=0

Q=A3+M3-W2>=0

暂定p:

q=1:

3

0.9a1+1.2a2+a3+0.9a4>=a1

a1>=a2>=a3>=a4>=0

均取整数

其中:

S1=3*36x*0.001*90

S2=2.4（a1+a2+a3+a4）*90

M1=7*36x*0.001*90=22.68x

M2=[1.65a1+1.15（a2+a3+a4）]*90

A1=4*36x*0.001*90

A2=1.35（a2+a3+a4）*90

W2=2.1（a2+a3+a4）*90

（单位：

千克）

化简整理得:

n年总收益：

Y=N[（0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4）p+a4q]

制约条件为：

25.758x-282.825a1-506.25（a2+a3+a4）>=0

w1=22.68x-148.5a1-103.5（a2+a3+a4）>=0

w2=12.96x-121.5（a2+a3+a4）>=0

16.038x-66.825a1-290.25（a2+a3+a4）>=0

0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4<=0

a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整数

各个量含义及其性质如上所述。

由此得到基本模型：

MAXY=N[（0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4）p+a4q]...........

（1）

s.t.

9.72x+Q-216（a1+a2+a3+a4）>=0.....................

（2）

22.68x-148.5a1-103.5（a2+a3+a4）>=0.............（3）

12.96x-121.5（a2+a3+a4）>=0.....................（4）

Q=16.038x-66.825a1-290.25（a2+a3+a4）>=0..........（5）

0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4-a0<=0....................（6）

a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整数............（7）

软件实现：

不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元

用LINDO6.1版本软件求解，直接输入：

max2200a1+4800a2+2000a3+9600a4

s.t.

1）282.825a1+506.25a2+506.25a3+506.25a4<=2575800

2）148.5a1+103.5a2+103.5a3+103.5a4<=226800

3）121.5a2+121.5a3+121.5a4<=129600

4）66.825a1-290.25a2-290.25a3-290.25a4<=160380

5）10a1-120a2-100a3-90a4<=0

6）a1-a2>=0

7）a2-a3>=0

8）a3-a4>=0

end

gin4

求解得到输出：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

7551600.

Objectivebound:

7551600.

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

4

VariableValueReducedCost

A1784.0000-2200.000

A2356.0000-4800.000

A3355.0000-2000.000

A4355.0000-9600.000

RowSlackorSurplusDualPrice

17551600.1.000000

21814403.0.000000

345.000000.000000

481.000000.000000

5417395.70.000000

6102330.00.000000

7428.00000.000000

81.0000000.000000

90.0000000.000000

最优解为a1=1442,a2=122,a3=a4=0,最优值Y=11547494，即问题中牧羊人应该饲养1564只羊，为了繁殖，每年应饲养母羊122/1564=8.5%（根据我们的模型求解，应为第一代母羊），计算得知，夏季应储存w1=24.3kg的干草。

结果分析：

根据模型假设及参量的设置，得知牧羊人一开始要存储的干草量为Q=28607.85kg，设置预备存储，是为了使养殖规模达到相对最大化，避免夏季和秋季存储的干草，在冬季被大量剩余、而造成牧场每年的草料大量浪费,从而达到更高的经济效益。

而从现实意义来说，预备存储也是合情合理的。

由于假设羊羔的价格和母羊的价格差不多，而母羊一年中的食草量为羊羔的2.64倍，为了达到最大经济效益，应该全养羊羔，但是考虑到繁殖率和取整的条件限制，我们预想应该养一小部分母羊，再者，由于第三、四代羊按假设知其繁殖率和羊羔差不多，但食草量却大得多，所以应尽量少养，最好不养，这正好和计算得到的结果相吻合。

至于现实中养殖中存在第三、四代羊现象，是因为第三、四代中也有些繁殖率较高的，考虑到繁殖率，保留下来了。

从算法及结果，我们预测：

p与q的比例K影响羊羔和母羊的比例（p与q比例：

0-1），但波动性较小，母羊和羊羔的比例随K增先减后增，最终收敛于1:

1。

这也正与实际情况相符合。

目标函数可知：

年数不影响养羊的分配情况；由算法知：

牧场的规模也与养羊的分配无关（仅使Y增大对应倍数而不影响a1、a2、a3、a4的取值）。

模型检验：

p=200,q=400

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）9360000.

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

A1900.000000-5600.000000

A2900.000000-4800.000000

A30.000000-2000.000000

A40.000000-3600.000000

A00.0000000.000000

3）p=200,q=300

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）8460000.

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

A1900.000000-4600.000000

A2900.000000-4800.000000

A30.000000-2000.000000

A40.000000-3600.000000

A00.0000000.000000

4）p=200,q=200

1）7560000.

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

A1900.000000-3600.000000

A2900.000000-4800.000000

A30.000000-2000.000000

A40.000000-3600.000000

A00.0000000.000000

5）p=100,q=1000

NOBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）9734400.

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

A0900.0000000.000000

A16.00000016931.742188

A20.00000018331.742188

A30.00000017531.742188

6）p=100,q=10000（现实中不可能达到这么小的比例）

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）3132000.

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

A1900.000000-1080.000000

A2900.000000-2400.000000

A30.000000-1000.000000

A40.000000-1800.000000

经检验：

模型在假设条件下与预想效果相吻合。

模型的改进：

该模型假设羊生长无恙、无死亡，现实中是不太可能的；不考虑除草外的饲料花销、不考虑圈舍成本等，因此这是一个相对理想化的模型，要使模型能更好的反应现实情况、应用于实际，可对模型进行一些必要的改进：

考虑羊的生长过程中生病等的花费及除草外（小麦，玉米等）的饲料供给，另外，假设的模型不考虑羊的重量即价格于羊的重量无关，羊的市场供求稳定不变，价格不变，这与现实之间存在不小差距，属于理想化的，因此可以在这方面作改进：

查资料得羊在不同阶段的生长率及相应阶段的羊价格，将其考虑到模型中。

由于建模过程比较繁琐，这里就不再做出详细介绍。

模型的推广：

该模型不仅适应与养羊，对于各类养殖及种植的资源配置以达到最优化问题都适应。

比如：

在固定的田地里种植几种农作物，考虑到它们的价格不同，成长周期不同及产量差异，合理分配种植，使收益最大等之类问题，就可以通过这种模型稍加改进以求解。

又比如：

养鱼问题，考虑鱼的四个年龄组：

1龄组—4龄组，每组每条鱼重量分别为a,b,c,d（kg），自然死亡率平均为1.5年，产卵量分别为每条100000，10000，1000,100,10个，卵孵化到成活率相同为0.001，各年龄组鱼按重量算单价相同。

考虑渔民10年的获益最大该如何捕鱼。

等等类似问题都可通过在这种模型基础上改动必要条件来求解。