立体几何的点线面的关系.docx

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立体几何的点线面的关系

立体几何的点线面的关系

　　　　　　[键入文字]　　课　　题教学目标立体几何的点线面的关系证明题目的方法教学内容立体几何热身训练：

1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是　　　　.2.给出下列命题：

①若平面?

内的直线a与平面?

内的直线b为异面直线，直线c是?

与?

的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面?

和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是　　.3.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系　　.①一定是异面直线③不可能是平行直线　　②一定是相交直线④不可能是相交直线4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有　　.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有　　条.6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　.7.如图所示，在三棱锥C—ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是　　.8.已知a、b为不垂直的异面直线,?

是一个平面，则a、b在?

上的射影可能是①两条平行直线；③同一条直线；　　②两条互相垂直的直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是　　.9.下列命题中，正确命题的个数是　　.①若直线l上有无数个点不在平面?

内，则l∥?

;②若直线l与平面?

平行，则l与平面?

内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面?

平行，则l与平面?

内的任意一条直线都没有公共点.10.下列条件中，不能判断两个平面平行的是　　.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面　　②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面　　④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面11.对于平面?

和共面的直线m、n，下列命题中假命题是　　.①若m⊥?

，m⊥n，则n∥?

　　②若m∥?

，n∥?

，则m∥n③若m?

?

，n∥?

，则m∥n　　④若m、n与?

所成的角相等，则m∥n12.已知直线a,b,平面?

，则以下三个命题：

①若a∥b,b?

?

则a∥?

;　　②若a∥b,a∥?

则b∥?

;　　③若a∥?

b∥?

则a∥b.其中真命题的个数是　　.1　　　　[键入文字]　　解答题典例选讲：

例1.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点；求证：

MN//平面ABCD；　　MN⊥平面B1BG．　　BB1A1D1C1NMAGDC例2.（09江苏）如图，在直三棱柱ABC?

A1B1C1中，E、F分别是A1B、AC的中点，点D在B1C1上，1A1D?

B1C。

求证：

EF//平面ABC；平面A1FD?

平面BB1C1C.　　例3．如图，在三棱柱ABC?

A1B1C1中，AB?

BC,BC?

BC1,AB?

BC1，E,F,G分别为线段AC1,AC11,BB1的中点，求证：

平面ABC?

平面ABC1；　　EF//面BCC1B1；　　GF?

平面AB1C1　　2　　　　[键入文字]　　例4．如图，在四棱锥P?

ABCD中，底面ABCD中为菱形，?

BAD?

60?

，Q为AD的中点。

P若PA?

PD，求证：

平面PQB?

平面PAD；点M在线段PC上，PM?

tPC，试确定实数DQMCt的值，使得PA//平面MQBAB例5．如图，在直角梯形PBCD中，PB//CD，CD?

BC，BC?

PB?

2CD，A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起，使得PA?

AB，E、F分别为BC、AB边的中点.求证：

PA?

平面ABCD；求证：

平面PAE?

平面PDE；在PA上是否存在一点G，使得FG//平面PDE.　　解答题解题策略：

解答题以中档题为主，因而对证题的书写规范要求较高，运用定理所需条件要写全，通常在证明过程中推理缺少条件，每个扣一分；解决问题中应注意以下几点：

线线关系?

线面关系?

面面关系的转化；解题过程要遵循一作、二证、三计算；见等腰三角形要联想到作底边的高；给出中点，一般要想到中位线；条件中如给出一些线段的长度，则可能需要通过计算证垂直。

巩固练习：

1：

给定下列四个命题；其中，为真命题的是　　①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．2：

若?

?

、?

是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列四个命题中，正确命题的序号是　　　　①若l?

?

l//?

，则?

?

?

；　　②若?

?

?

l?

?

，则l//?

；③若?

?

?

?

//?

，则?

?

?

；　　④若l上有两个点到?

的距离相等，则l//?

。

3：

如图，设平面?

?

?

?

EF，垂足分别为B、D，若增加一个条件，就能推出BD?

EF，AB?

?

，CD?

?

，3　　　　[键入文字]　　现有：

①AC?

?

；②AC与?

，?

所成的角相等③AC与CD在?

内的射影在同一直线上；④AC∥EF那么上述几个条件中能成为增加条件的是　　4：

已知长方体ABCD?

A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，AA1?

AB?

2，AD=1，E为DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角的大小为　　5：

如图，在正三棱柱ABC?

A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面?

BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为　　。

　　6：

如图，在棱长为2的正方体ABCD?

A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．求证：

EF//平面ABC1D1；求证：

EF?

B1C．　　7：

在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.

（1）若D是BC的中点，求证：

AD⊥CC1;4　　　　[键入文字]　　

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1，求证：

截面MBC1⊥侧面BB1C1C;A　　MC1B1A1　　8：

如图，在直三棱柱ABC?

A1B1C1中，AB?

BB1，AC1?

平面A1BD,D为AC的中点．求证：

B1C//平面A1BD；求证：

B1C1?

平面ABB1A1；A1　　A　　9：

如图，在五面体ABCDEF中，FA?

平面ABCD,1AD//BC//FE，AB?

AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD　　2　　CDBB1C1BDC5

　　　　　　[键入文字]　　（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（II）证明平面AMD?

平面CDE；　　　　10：

已知等腰梯形PDCB中，PB?

3,DC?

1,PD?

2,A为PB边上一点，且DA?

PB，将?

PAD沿AD折起，使PA?

AB求证：

CD//面PAB；CB?

面PAC　　11.如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，点M是线段EF的中点。

求证：

AM//平面BDE；6　　　　[键入文字]　　当BD为何值时，平面DEF?

平面BEF？

并证明你的结论。

AFEMFBCAD　　　　1.答案：

②、④2.答案：

①、③.3.答案：

①、③解析：

对于①AC?

?

，知AC?

EF，?

AB?

EF，∴EF?

平面ABDC，则BD?

EF；②、④不能推出BD?

EF；对于③知平面ABDC?

?

，平面ABDC?

?

，∴EF?

平面ABDC，∴BD?

EF4.答案：

?

4解析：

取CC1的中点F，易知B1F∥A1E，则?

DB1F为异面直线A1E与B1D所成的角，B1D2?

B1F2?

DF22?

，?

?

AA1?

AB?

2，AD=1，?

B1D?

3，B1F?

2,DF?

5，则COS?

DB1F?

2B1D?

B1F2?

DB1F?

?

45.答案：

83　　解析：

正三棱柱推知BD?

DC1，所以?

BC1D为等腰直角三角形，?

BDC1?

900,BD?

DC1?

12，BC1?

24，22?

?

a?

8?

a?

b?

12?

设底边长a，高为2b，?

2，V?

Sh?

83?

2?

?

b?

2?

a?

4b?

246.略证：

连结BD1，在?

DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则7　　　　[键入文字]　　?

?

D1B?

平面ABC1D1?

?

EF//平面ABC1D1EF?

平面ABC1D1?

?

EF//D1B?

?

B1C?

BC1?

?

?

B1C?

平面ABC1D1AB,B1C?

平面ABC1D1?

?

AB?

BC1?

B?

?

BD1?

平面ABC1D1,?

B1C?

BD1B1C?

AB7.略证：

（1）∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.　　∵底面ABC⊥平面BB1C1C,面ABC?

面BB1C1C?

BC∴AD⊥侧面BB1C1C.?

CC1?

面BB1C1C∴AD⊥CC1.

（2）延长B1A1与BM交于N,连结C1N.∵AM=MA1,∴NA1=A1B1，则A1C1=A1N=A1B1.∴C1N⊥C1B1∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C,又?

EF//BD1则EF?

B1C?

面NB1C1?

面BB1C1C=C1B1∴C1N⊥侧面BB1C1C.?

C1N?

面C1NB∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C.即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.　　8.略证：

证明：

连接AB1与A1B相交于M，则M为AB1的中点，连结MD，又D为AC的中点，∴B1C//MD，又B1C?

平面A1BD，∴B1C//平面A1BD．∵AB?

B1B，∴四边形ABB1A1为正方形，∴A1B?

AB1，又∵AC1?

面A1BD，∴AC1?

A1B，∴A1B?

面AB1C1，∴A1B?

B1C1，又在直棱柱ABC?

A1B1C1中BB1?

B1C1，∴B1C1?

平面ABB1A9.略证：

题设知，BC//EF且BC=EF，?

四边形BCEF为平行四边形，则BF//CE，?

∠CED为异面直线BF与DE所成的角。

////AP，//PC；取AD的中点P，连结EP，PC，EP，同理AB?

又FA⊥平面ABCD，?

FE?

?

FA?

?

EP⊥平面ABCD。

?

AB⊥AD，?

PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=2a，?

∠CED=60°。

即异面直线BF与DE所成的角的大小为60　　?

M为EC的中点，PC=PE，?

CE?

MP，DC?

DE，同理可得CE?

MD又?

MP?

DM?

M，故CE?

平面AMDCE?

平面CDE，?

平面AMD?

平面CDE.10.略证：

?

CD//AB,CD?

平面PAB,AB?

平面PAB，?

CD//面PAB证明：

等腰梯形PDCB中，PB?

3,DC?

1,PD?

2，DA?

PB，?

PA?

AD?

1，则8　　[键入文字]　　AC2?

BC2?

AB2?

4，?

BC?

AC又?

PA?

AD，PA?

AB，?

PA?

平面ABD，?

BC?

平面ABD?

BC?

PA又PA?

AC?

APA,AC?

平面PAC　　?

CB?

平面PAC11.略证：

取AC与BD的交点N，连接EN，　　题意知：

EN//AM，又EN在平面BDE内，所以AM//平面BDEBD当?

2时，平面DEF?

平面BEFAF四边形ACEF为矩形，?

FA、EC都垂直于平面ABCD，又四边形ABCD?

平面ACEF?

平面ABCD，是菱形，?

?

FAD?

?

ECD，则DF＝DE，M为EF的中点，得DM?

EF，同理BM?

EF，则DM?

BM时，就有DM?

平面BEFBD∴?

DMB＝900时，平面DEF?

平面BEF，此时?

2　　AF　　9