七年级上册教材梳理 鲁教版.docx

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第二章有理数

2.1正数与负数

正数：

像+1/2，10，1.3，3535这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数。

负数：

像-1，-32.4，-0.4%这样在正数前加上“—”的数叫做负数，负数小于0。

0既不是正数也不是负数，0是最小的自然数。

整数：

正整数，负整数，零统称为整数。

分数：

正分数，负分数统称为分数。

2.2有理数与无理数

我们把能够写成分数形式m/n（m，n是整数，n不等于0）的数叫做有理数。

无限不循环小数叫做无理数。

有限小数和循环小数都可以化为分数，都是有理数。

有理数的分类:

①

（按有理数的性质）

②

（按有理数的定义）

2.3数轴及其三要素☆

1.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

2.数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

（三要素）

eg如图，表示数轴正确的是（AD）

A┖┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸→

01234

B┖┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸

-0.500.511.5

C┖┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸→

-450-300-1500150

D┖┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸┴┴┴┴┸→

-4-2012

3.数轴的性质：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大；

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

4.数轴的画法：

（1）画一条水平直线。

（2）在这条直线上任取一点作为原点，在这条直线上取一点表示0，我们把这个点称为原点。

（3）通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来，向左为负方向。

（4）根据需要选择适当的长度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3.等等，从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示-1，-2，-3等。

数轴的三要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。

标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方。

2.4绝对值与相反数☆

2.4.1相反数

1.像2与-2,1/5与-1/5，4与-4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数，0的相反数仍是0。

2.相反数的特性：

若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a，b互为相反数。

3.几何意义：

在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等。

Eg下列说法中，正确的是（C）

A正数和负数互为相反数

B任何一个数的相反数都与他本身相同

C任何一个数都有相反数

D数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数

2.4.2绝对值

4.一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离远点的距离越近，2.绝对值越小。

数a的绝对值记作|a|,读作a的绝对值。

绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是他本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0.

5有绝对值的算式计算：

eg|-7|+|8|

6.绝对值的非负性：

（1）|a|≥0，即|a|有最小值

（2）若几个非负数的和为零，则每一个非负数为0。

Eg已知|a-3|+|b-4|=0，求（a+b）/ab.

2.5有理数的加法与减法

1.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

a+b=b+a；

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）.

3.有理数减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b）。

1.有理数相加的常用方法：

（1）互为相反数的两数先相加——“相反数结合法”

（2）符号相同的数先相加——“同号结合法”

（3）分母相同的先相加——“同分母结合法”

（4）几个相加能得到整数的数先相加——“凑整法”

（5）整数与整数，小数与小数先相加——“同形结合法”

2.6有理数的乘法与除法

1.有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

0与任何数相乘都得0

2.有理数乘法运算律：

（1）交换律：

ab=ba；

（2）结合律（a×b）×c=a×（b×c）；（3）分配律（a+b）×c=a×c+b×c

3.有理数除法法则：

（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（2）两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

4.倒数：

（1）乘积为1的两个数互为倒数。

其中一个数叫做另一个的倒数。

（2）一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。

倒数的特性：

若a，b互为倒数，（a≠0，b≠0），则ab=1；反之，若ab=1，则a，b互为倒数。

Eg9

×15

2.7有理数的乘方

1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方。

2.有理数乘方的计算法则：

（1）正数的任何次幂都是正数.

（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

注意：

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

2.8有理数混合运算

先乘方,后乘除,最后加减.

Eg-0.1252013×82014-

2.9有理数的大小比较

2.在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.正数都大于0，负数都小于0.

4.两个负数的比较：

由于数轴上左边的数小于右边的数，故两个负数中，绝对值大的反而小。

4.有理数的比较方法：

数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法。

2.10科学记数法、近似数

1.科学计数法：

一般地，一个大于10的数可以写成A×

其中1≤|A|<10N是正整数，这种计数法称为科学计数法.

2.近似数:

与准确数很接近的数.

3.有效数字:

一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.

第三章代数式

3.2代数式

1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的的式子,单独的一个数或者字母也是代数式.

2.多位数的表示方法，一个三位数，百位为a，十位为b，百位为c，则这个数为100a+10b+c

3.2整式

单项式和多项式统称为整式。

单项式：

（1）单项式中只含乘除，不含加减。

（2）单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

，所有字母的指数叫做次数。

多项式：

几个单项式的和。

3x2-6x+7

3.3代数式的值

用数值代替代数式中的每个字母，然后计算出结果。

3.4合并同类项

1.同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项

2.合并同类项法则☆：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3.合并同类项步骤：

（1）准确找出同类项

（2）同类项系数相加，字母和字母指数不变

（3）写出合并后结果，注意不要漏项。

3.5去括号与添括号

1.去括号法则：

括号前面是＋号，把括号和他前面的+号去掉，括号里各项的符号都不变号。

括号前面是—号，把括号和他前面的—号去掉，括号里各项的符号都变号。

2.添括号法则

所添括号前面是“+”，括到括号里的各项都不改变；所添括号前面是“-”，括到括号里的各项都要变号。

Ega-（-b+c）=a+b-c

3.6整式的加减

整体加减，化简求值

第四章一元一次方程

4.1方程的有关概念

1.等式：

用等号表示相等关系的式子叫做等式.

2.等式的基本性质

（1）等式两边加上（或减去）同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式.

即若a=b，则a±c=b±c.

（2）等式两边乘以（或除以）同一个不为0的数或代数式,所得的结果仍是等式.

如果a=b,那么ac=bc;

如果a=b（c≠0）,那么a/c=b/c

此外等式还有其它性质:

若a=b，则b=a.若a=b，b=c,则a=c

3.方程的概念：

含有未知数的等式叫方程，方程中一定含有未知数，而且必须是等式，二者缺一不可.

说明:

代数式不含等号,方程是用等号把代数式连接而成的式子,且其中一定要含有未知数.

4.一元一次方程的概念：

只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程.任何形式的一元一次方程,经变形后,总能变成形为ax=b（a≠0,a、b为已知数）的形式,这种形式的方程叫一元一次方程的一般式.

注意：

a≠0这个重要条件,它也是判断方程是否是一元一次方程的重要依据.

Eg一般地，如果不设定a≠0，则关于x的方程ax=b的解有如下讨论：

当a≠0时，方程有唯一解x=b/a；

当a=0,b=0时，方程的解为一切数；

当a=0,b≠0时，方程无解。

关于绝对值方程|x|=a的解：

当a≥0时，x=±a;

当a＜0时，无解。

5.方程的解与解方程:

使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解,求方程解的过程叫解方程.

6.方程与等式的区别与联系：

概念及其特点

区别

联系

方程

含有未知数的等式叫做方程。

一个式子是方程，要满足两个条件：

一是等式，二含有未知数

方程是等式，是含有未知数的等式。

方程式特殊的等式。

等式

用等式来表示相等关系的式子叫做等式。

等式的主体是相等关系。

等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。

方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性。

.

4.2解一元一次方程

1.一元一次方程解法的一般步骤：

整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……将未知数的系数化为1……（检验方程的解）

步骤

具体做法

变形依据

注意

去分母

在方程的两边同乘以各分母的最小公倍数

等式性质2

（1）分子是多项式的，去分母后要加括号；

（2）不要漏乘不含分母的项

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配率

（1）括号前的数要乘括号内的每一项；

（2）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号

移项

把含有未知数的移项到方程的一边，其他各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式性质1

（1）移项时不要漏项；

（2）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号

合并同类项

把方程化成ax=b（a≠0）的形式

合并同类项法则

不漏项，符号正确

系数化为1

将方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a

等式性子2

（1）未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；

（2）未知数的系数为分数是，方程两边同乘以该系数的倒数。

2.方程的检验：

检验某数是否为原方程的解，应将该数分别代入原方程左边和右边，看两边的值是否相等.

Eg：

=

+1

4.3用一元一次方程解决问题

1.解题步骤：

审，设，找，列，解，验，答

2.读题分析法:

…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

3.画图分析法:

…………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

距离=速度·时间

；

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

；

（3）比率问题：

部分=全体·比率

；

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：

售价=定价·折·

，利润=售价-成本，

；

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），S长方形=ab，C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=

πR2h.

（7）储蓄问题：

利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）

（8）浓度问题：

溶液质量=溶质质量+溶剂质量，百分比浓度=

×100％，溶质质量=溶液质量×百分比浓度

Eg：

3一列火车从甲地开往乙地,每小时行90千米,行到一半时耽误了12分钟,当着列火车每小时加快10千米后,恰好按时到了乙地,求甲、乙两站距离?

设甲、乙两站距离为S千米,则有：

S/90=（S/2）/90+12/60+（S/2）/（90+10） 

解得：

S=360（千米） 

答：

甲乙两地距离为360千米.

第五章走进图形世界

5.1丰富的图形世界

5.1.1图形的认识

1、几何图形：

我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。

几何图形分为平面图形和立体图形。

（1）平面图形：

图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形，如直线、三角形等。

（2）立体图形：

图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体、圆锥。

5.3展开与折叠

立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平图形称为立体图形的展开图。

（1）圆柱和圆锥的侧面展开图

（2）棱柱和棱锥的展开图

（3）根据展开图判断立体图形的规律：

A展开图全是长方形或正方形时------长方体或正方体；

B展开图中含有三角形时-----棱锥或棱柱；

若展开图中含有2个三角形3个长方形-----三棱柱；

若展开图中全是三角形（4个）-----（三）棱锥。

C展开图中含有圆和长方形-----圆柱；

D展开图中含有扇形------圆锥。

5.4正视图、左视图、俯视图

第六章平面图形的认识

6.0点线面体

点、线、面、体

⑴体：

几何体简称为体。

⑵面：

包围着体的是面，面分为平面和曲面。

⑶线：

面与面相交的地方形成线，线分为曲线和直线。

⑷点：

线与线相交的地方是点。

点动成线、线动成面、面动成体。

几何图形的组成：

由点线面体组成。

点是构成图形的基本元素，而点本身也是最简单的几何图形

6.1线段、射线、直线

直线：

把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。

⑴表示方法：

直线AB或直线L

⑵点与直线的关系：

点在直线上、点在直线外

⑶直线的基本性质：

经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）；

⑷交点：

当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。

射线：

把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。

①表示方法：

端点字母必须写在前

②射线可以看做是直线的一部分，识别射线是否相同----端点相同、延伸方向也相同。

线段：

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

①表示方法

②画法

③基本性质：

两点之间，线段最短。

两点确定一条直线。

两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

④线段的中点:

把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。

⑤比较线段长短的方法：

A叠合法；B度量法。

直线、射线、线段三者之间的区别与联系（从以下六个方面区别）

①表示法

②延伸性：

直线向两端无限延伸，

射线向一方无限延伸，

线段没有延展性

③端点个数：

直线没有端点，

射线只有一个端点，

线段有两个端点

④画图叙述：

过AB两点作直线AB；

以O为端点作射线OA；

连接AB。

⑤特征

⑥性质

6.2角

1.角：

①具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

（角的静态定义）

②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

（角的动态定义）

2.角的表示方法：

（1）用三个大写英文字母表示；

（2）用一个大写英文字母表示；

（3）用阿拉伯数字表示；

（4）用小写希腊字母表示。

3.角的度量：

“°”“′”“″”度分秒。

12、角的大小的比较方法：

（1）重叠法；

（2）度量法。

4.注意：

（1）角有两个特征：

一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可；

（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；

（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.

另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.

5.角平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个的射线，叫做这个角的平分线。

6.3余角、补角、对顶角

1.余角、补角

（1）概念：

余角----如果两个角的和相加等于直角即90°，那么这两个角互余，其中一个角叫做另一个角的余角。

补角----如果两个角的和相加等于平角即180°，那么这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。

（2）性质：

等角的余角相等；等角的补角相等。

互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；

②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3.

互为补角的有关性质：

①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.

②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.

2.方位角：

必须以正南。

正北方向为基准。

3.角的种类：

锐角：

大于0°，小于90°的角叫做锐角。

直角：

等于90°的角叫做直角。

钝角：

大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：

等于180°的角叫做平角。

4.对顶角：

两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

两条直线相交，构成两对对顶角。

互为对顶角的两个角相等。

6.4平行

6.4.1平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

过直线外有且只有一条直线与这条直线平行。

6.5垂直

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。