高考数学 理科必考题型第38练圆锥曲线中的探索性问题含答案.docx

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高考数学理科必考题型第38练圆锥曲线中的探索性问题含答案

第38练　圆锥曲线中的探索性问题

[内容精要]　本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大．

题型一　定值、定点问题

例1　已知椭圆C：

＋＝1经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？

若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．

破题切入点　

（1）待定系数法．

（2）通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式＝λ，＝μ.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值．

解　

（1）依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，

∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

又F坐标为（1,0），设直线l方程为

y＝k（x－1），求得l与y轴交于M（0，－k），

设l交椭圆A（x1，y1），B（x2，y2），

由

消去y得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

又由＝λ，∴（x1，y1＋k）＝λ（1－x1，－y1），

∴λ＝，同理μ＝，

∴λ＋μ＝＋＝

＝＝－.

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－.

题型二　定直线问题

例2　

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2＝2py（p>0）相交于A，B两点．

（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

破题切入点　假设符合条件的直线存在，求出弦长；利用变量的系数恒为零求解．

解　方法一　

（1）依题意，点N的坐标为N（0，－p），

可设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为y＝kx＋p，

与x2＝2py联立得

消去y得x2－2pkx－2p2＝0.

由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.

于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|

＝p|x1－x2|＝p

＝p＝2p2，

∴当k＝0时，（S△ABN）min＝2p2.

（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，

AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为（，）．

∵|O′P|＝|AC|＝＝，

|O′H|＝＝|2a－y1－p|，

∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2

＝（y＋p2）－（2a－y1－p）2

＝（a－）y1＋a（p－a），

∴|PQ|2＝（2|PH|）2＝4[（a－）y1＋a（p－a）]．

令a－＝0，得a＝，

此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．

方法二　

（1）

前同方法一，再由弦长公式得

|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝2p·，

又由点到直线的距离公式得d＝.

从而S△ABN＝·d·|AB|

＝·2p··

＝2p2.

∴当k＝0时，（S△ABN）min＝2p2.

（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，

则以AC为直径的圆的方程为

（x－0）（x－x1）－（y－p）（y－y1）＝0，

将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋（a－p）（a－y1）＝0，

则Δ＝x－4（a－p）（a－y1）

＝4[（a－）y1＋a（p－a）]．

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3，y3），Q（x4，y4），

则有|PQ|＝|x3－x4|＝

＝2.

令a－＝0，得a＝，

此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．

题型三　定圆问题

例3　已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：

x2＋y2＋2kx－4y－21＝0（k∈R）的圆心为点Ak.

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△AkF1F2的面积；

（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？

请说明理由．

破题切入点　

（1）根据定义待定系数法求方程．

（2）直接求．

（3）关键看长轴两端点．

解　

（1）设椭圆G的方程为＋＝1（a>b>0），半焦距为c，则解得

所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.

所以所求椭圆G的方程为＋＝1.

（2）点Ak的坐标为（－k,2），

S△AkF1F2＝×|F1F2|×2＝×6×2＝6.

（3）若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知点（6,0）在圆Ck外；

若k<0，由（－6）2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知点（－6,0）在圆Ck外．

所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.

即不存在圆Ck包围椭圆G.

总结提高　

（1）定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．

（2）由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：

y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式：

y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）．

（3）定直线问题一般都为特殊直线x＝x0或y＝y0型．

1．在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.

（1）求k的取值范围；

（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？

如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解　

（1）由已知条件，得直线l的方程为y＝kx＋，

代入椭圆方程得＋（kx＋）2＝1.

整理得（＋k2）x2＋2kx＋1＝0.①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4（＋k2）＝4k2－2>0，

解得k<－或k>.

即k的取值范围为（－∞，－）∪（，＋∞）．

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则＋＝（x1＋x2，y1＋y2），

由方程①，得x1＋x2＝－.②

又y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2.③

而A（，0），B（0,1），＝（－，1）．

所以＋与共线等价于x1＋x2＝－（y1＋y2），

将②③代入上式，解得k＝.

由

（1）知k<－或k>，

故不存在符合题意的常数k.

2．已知双曲线方程为x2－＝1，问：

是否存在过点M（1,1）的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？

如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．

解　显然x＝1不满足条件，设l：

y－1＝k（x－1）．

联立y－1＝k（x－1）和x2－＝1，

消去y得（2－k2）x2＋（2k2－2k）x－k2＋2k－3＝0，

由Δ>0，得k<，x1＋x2＝，

由M（1,1）为PQ的中点，得＝＝1，

解得k＝2，这与k<矛盾，

所以不存在满足条件的直线l.

3．设椭圆E：

＋＝1（a，b>0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？

若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由．

解　

（1）因为椭圆E：

＋＝1（a，b>0）过M（2，），N（，1）两点，

所以解得

所以椭圆E的方程为＋＝1.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程组得x2＋2（kx＋m）2＝8，

即（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

则Δ＝16k2m2－4（1＋2k2）（2m2－8）＝8（8k2－m2＋4）>0，即8k2－m2＋4>0.

故

y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2

＝－＋m2＝.

要使⊥，需使x1x2＋y1y2＝0，

即＋＝0，

所以3m2－8k2－8＝0，

所以k2＝≥0.

又8k2－m2＋4>0，所以所以m2≥，

即m≥或m≤－，

因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为r＝，

r2＝＝＝，r＝，

所求的圆为x2＋y2＝，

此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，

而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆＋＝1的两个交点为（，±）或（－，±）满足⊥，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥.

4．（20xx·重庆）

如图，设椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程．

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？

若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

解　

（1）设F1（－c,0），F2（c,0），其中c2＝a2－b2.

由＝2，得|DF1|＝＝c，

从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1，

从而|DF1|＝.

由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，

因此|DF2|＝.

所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，

故a＝，b2＝a2－c2＝1.

因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.

由

（1）知F1（－1,0），F2（1,0），

所以＝（x1＋1，y1），＝（－x1－1，y1），

再由F1P1⊥F2P2，得－（x1＋1）2＋y＝0.

由椭圆方程得1－＝（x1＋1）2，即3x＋4x1＝0，

解得x1＝－或x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．

当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

设C（0，y0），

由CP1⊥F1P1，得·＝－1.

而求得y1＝，故y0＝.

圆C的半径|CP1|＝＝.

综上，存在满足题设条件的圆，

其方程为x2＋（y－）2＝.

5．（20xx·江西）

如图，已知抛物线C：

x2＝4y，过点M（0,2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．

（1）证明：

动点D在定直线上；

（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y＝2相交于点N1，与

（1）中的定直线相交于点N2，证明：

|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．

（1）证明　依题意可设AB方程为y＝kx＋2，

代入x2＝4y，

得x2＝4（kx＋2），即x2－4kx－8＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2＝－8.

直线AO的方程为y＝x；

BD的方程为x＝x2.

解得交点D的坐标为

注意到x1x2＝－8及x＝4y1，

则有y＝＝＝－2.

因此动点D在定直线y＝－2上（x≠0）．

（2）解　依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b（a≠0），代入x2＝4y得x2＝4（ax＋b），

即x2－4ax－4b＝0.

由Δ＝0得（4a）2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.

故切线l的方程可写为y＝ax－a2.

分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为

N1（＋a,2），N2（－＋a，－2），

则|MN2|2－|MN1|2＝（－a）2＋42－（＋a）2＝8，

即|MN2|2－|MN1|2为定值8.

6．（20xx·福建）已知曲线Γ上的点到点F（0,1）的距离比它到直线y＝－3的距离小2.

（1）求曲线Γ的方程．

（2）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：

当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？

证明你的结论．

解　方法一　

（1）设S（x，y）为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S到F（0,1）的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F（0,1）为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.

（2）当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：

由

（1）知抛物线Γ的方程为y＝x2，

设P（x0，y0）（x0≠0），则y0＝x，

由y′＝x，得切线l的斜率

k＝y′|x＝x0＝x0，

所以切线l的方程为y－y0＝x0（x－x0），

即y＝x0x－x.

由得A（x0,0）．

由得M（x0＋，3）．

又N（0,3），所以圆心C（x0＋，3），

半径r＝|MN|＝|x0＋|，

|AB|＝

＝＝.

所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．

方法二　

（1）设S（x，y）为曲线Γ上任意一点，

则|y－（－3）|－＝2，

依题意，点S（x，y）只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，所以＝y＋1，

化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y.

（2）同方法一．