新版北师大数学九年级上册特殊平行四边形单元综合测试.docx

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新版北师大数学九年级上册特殊平行四边形单元综合测试

第一章　特殊平行四边形　

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是（　　）

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形

B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形

D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

图1

图2

3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为（　　）

A．75°B．65°C．55°D．50°

4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）

A.B.C.D．不确定

图3

图4

5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

A．2.5B.C.D．2

6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为（　　）

图5

A．（2，2）B．（，2－）

C．（2，4－2）D．（，4－2）

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．

8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________cm.

图6

图7

9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．

10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．

图8

图9

11．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．

　图10

12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．

三、解答题（共46分）

13．（10分）如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

（1）求证：

四边形BEDF是菱形；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．

　图11

14．（10分）如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20cm，BD＝12cm，两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．

（1）求证：

当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；

（2）当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

图12

15．（12分）如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．

（1）求证：

四边形AEDF是菱形；

（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.

图13

16．（14分）如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.

（1）求证：

△ABG≌△AFG；

（2）当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形（保留作图痕迹，不写作法）；

（3）在

（2）的条件下，求∠EAG的度数．

图14

1．C　2.D　3.B　4.A

5．B　．

6．C　

7．6　.

8．4　

9．（2＋，）　

10．45°　.

11．12　12.

13．解：

（1）证明：

连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.

∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，

即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，

∴四边形BEDF为菱形．

（2）∵正方形ABCD的边长为4，

∴BD＝AC＝4.

∵AE＝CF＝，∴EF＝AC－2＝2，

∴S菱形BEDF＝BD·EF＝×4×2＝8.

14．解：

（1）证明：

连接DE，EB，BF，FD.

∵两动点E，F同时以2cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，

∴AE＝CF.

∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OD＝OB，OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．

（2）当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12cm时，四边形BEDF为矩形．

∵运动时间为t，

∴AE＝CF＝2t，

∴EF＝20－4t＝12，

∴t＝2；

当点E在OC上，点F在OA上时，

EF＝BD＝12cm，EF＝4t－20＝12，

∴t＝8.

因此，当点E，F的运动时间t为2s或8s时，四边形BEDF为矩形．

15．解：

（1）证明：

∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，

∴在Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，

在Rt△ACD中，DF＝AC＝AF.

又∵AB＝AC，

∴AE＝AF＝DE＝DF，

∴四边形AEDF是菱形．

（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，

∴AE＝3.

设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，

∴x2＋2xy＋y2＝49.①

由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，

∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，

∴（y）2＋（x）2＝32，

即x2＋y2＝36.②

把②代入①，可得2xy＝13，

∴xy＝，

∴菱形AEDF的面积S＝xy＝.

16．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.

∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，

∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．

（2）如图所示：

（3）∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，

∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.

∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝×90°＝45°.