高三数学《三角函数》复习教案 新人教A版.docx

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高三数学《三角函数》复习教案新人教A版

2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案新人教A版

一、本讲进度

《三角函数》复习

二、本讲主要内容

1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；

2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；

3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导

1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P（x，y）是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。

利用三角函数定义，可以得到

（1）诱导公式：

即与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；

（2）同角三角函数关系式：

平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：

cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得

，可以作为降幂公式使用。

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。

周期性的定义：

设T为非零常数，若对f（x）定义域中的每一个x，均有f（x+T）=f（x），则称T为f（x）的周期。

当T为f（x）周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为f（x）周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。

利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

5、本章思想方法

（1）等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；

（2）数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；

（3）分类讨论。

四、典型例题

例1、已知函数f（x）=

（1）求它的定义域和值域；

（2）求它的单调区间；

（3）判断它的奇偶性；

（4）判断它的周期性。

解题思路分析：

（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z

∴函数定义域为，k∈Z

∵

∴当x∈时，

∴

∴

∴函数值域为[）

（3）∵f（x）定义域在数轴上对应的点关于原点不对称

∴f（x）不具备奇偶性

（4）∵f（x+2π）=f（x）

∴函数f（x）最小正周期为2π

注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；

以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。

例2、化简，α∈（π，2π）

解题思路分析：

凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式

∵

∴原式=

∵α∈（π，2π）

∴

∴

当时，

∴原式=

当时，

∴原式=

∴原式=

注：

1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。

一般地有，，。

2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。

特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。

例3、求

。

解题思路分析：

原式=

注：

在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。

例4、已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程

=0的两个实数根，求sin（β-5α）的值。

解题思路分析：

由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-

∴sinβ-sinα=

又sinα+sinβ=cos400

∴

∵00<α<β<900

∴

∴sin（β-5α）=sin600=

注：

利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。

例5、

（1）已知cos（2α+β）+5cosβ=0，求tan（α+β）·tanα的值；

（2）已知，求的值。

解题思路分析：

（1）从变换角的差异着手。

∵2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α

∴8cos[（α+β）+α]+5cos[（α+β）-α]=0

展开得：

13cos（α+β）cosα-3sin（α+β）sinα=0

同除以cos（α+β）cosα得：

tan（α+β）tanα=

（2）以三角函数结构特点出发

∵

∴

∴tanθ=2

∴

注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。

例6、已知函数（a∈（0，1）），求f（x）的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

解题思路分析：

对三角函数式降幂

∴f（x）=

令

则y=au

∴0

∴y=au是减函数

∴由得，此为f（x）的减区间

由得，此为f（x）增区间

∵u（-x）=u（x）

∴f（x）=f（-x）

∴f（x）为偶函数

∵u（x+π）=f（x）

∴f（x+π）=f（x）

∴f（x）为周期函数，最小正周期为π

当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1

当x=kπ+（k∈Z）时，ynax=

注：

研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin（ωx+φ）等一名一次一项的形式。

五、同步练习

（一）选择题

1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是

A、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosxD、y=

2、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为

A、-B、-1C、1D、

3、函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为

A、B、

C、D、

4、已知=xx，则的值为

A、1997B、1998C、xxD、xx

5、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于

A、B、或C、或D、

6、若，则sinx·siny的最小值为

A、-1B、-C、D、

7、函数f（x）=3sin（x+100）+5sin（x+700）的最大值是

A、5.5B、6.5C、7D、8

8、若θ∈（0，2π]，则使sinθ

A、（）B、（）C、（）D、（）

9、下列命题正确的是

A、若α，β是第一象限角，α>β，则sinα>sinβ

B、函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈Z

C、函数的最小正周期是2π

D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z

10、函数的单调减区间是

A、B、

B、D、k∈Z

（二）填空题

11、函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x-θ）的图象关于y轴对称，则θ=________。

12、已知α+β=，且（tanαtanβ+c）+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______。

13、函数y=2sinxcosx-（cos2x-sin2x）的最大值与最小值的积为________。

14、已知（x-1）2+（y-1）2=1，则x+y的最大值为________。

15、函数f（x）=sin3x图象的对称中心是________。

（三）解答题

16、已知tan（α-β）=，tanβ=，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。

17、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间[0，]上的最大值是1？

若存在，求出对应的a值。

18、已知f（x）=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）单调区间；

（3）求f（x）图象的对称轴，对称中心。

六、参考答案

（一）选择题

1、B2、B3、B4、B5、A6、C7、C8、C9、D10、B

（二）填空题

11、，k∈Z12、13、-414、15、（，0）

（三）解答题

16、

17、

18、

（1）T=π

（2）增区间[kπ-，kπ+π]，减区间[kπ+

（3）对称中心（，0），对称轴，k∈Z

2019-2020年高三数学《不等式》复习教案同步教案新人教A版

一、本讲进度

《不等式》复习

二、本讲主要内容

1、不等式的概念及性质；

2、不等式的证明；

3、不等式的解法；

4、不等式的应用。

三、学习指导

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

（1）对称性或反身性：

a>bb

（2）传递性：

若a>b，b>c，则a>c；

（3）可加性：

a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；

（4）可乘性：

a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

不等式运算性质：

（1）同向相加：

若a>b，c>d，则a+c>b+d；

（2）正数同向相乘：

若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

特例：

（3）乘方法则：

若a>b>0，n∈N+，则；

（4）开方法则：

若a>b>0，n∈N+，则；

（5）倒数法则：

若ab>0，a>b，则。

掌握不等式的性质，应注意：

（1）条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；

（2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤；

当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.

在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：

（1）不等式证明的常用方法：

比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；

（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。

利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。

在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。

四、典型例题

例1、已知f（x）=ax2-c，-4≤f

（1）≤-1，-1≤f

（2）≤5，试求f（3）的取值范围。

解题思路分析：

从条件和结论相互化归的角度看，用f

（1），f

（2）的线性组合来表示f（3），再利用不等式的性质求解。

设f（3）=mf

（1）+nf

（2）

∴9a-c=m（a-c）+n（4a-c）

∴9a-c=（m+4n）a-（m+n）c

∴

∴

∴f（3）=

∵-4≤f

（1）≤-1，-1≤f

（2）≤5

∴≤≤,≤≤

∴-1≤f（3）≤20

说明：

1、本题也可以先用f

（1），f

（2）表示a，c，即a=[f

（2）-f

（1）]，c=[f

（2）-4f

（1）]，然后代入f（3），达到用f

（1），f

（2）表示f（3）的目的。

2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f（3）=9a-c的范围。

错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。

2、本题还可用线性规划知识求解。

例2、设a>0，b>0，求证：

≥。

解题思路分析：

法一：

比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。

左-右=

≥0

∴左≥右

法二：

基本不等式

根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。

∵≥

≥

∴两式相加得：

≥

例3、设实数x，y满足y+x2=0，0

≤。

解题思路分析：

∵≥

，≤，0

∴≥

∴≥

∴≤

说明：

本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。

例4、已知a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。

解题思路分析：

法一：

直接利用基本不等式：

≥当且仅当

，即时等号成立

说明：

为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。

法二：

消元为一元函数

途径一：

由得

∴

∵x>0，y>0，a>0

∴由>0得y-b>0

∴x+y≥

当且仅当

，即时，等号成立

途径二：

令，，∈（0，）

∴，

∴x+y=

≥

当且仅当

时，等号成立

说明：

本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。

例5、已知f（x）=-3x2+a（6-a）x+b

（1）解关于a的不等式f

（1）>0；

（2）当不等式f（x）>0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。

解题思路分析：

（1）f

（1）=-3+a（6-a）+b=-a2+6a+b-3

∵f

（1）>0

∴a2-6a+3-b<0

△=24+4b

当b≤-6时，△≤0

∴f

（1）>0的解集为φ；

当b>-6时，

∴f

（1）>0的解集为

（2）∵不等式-3x2+a（6-a）x+b>0的解集为（-1，3）

∴f（x）>0与不等式（x+1）（x-3）<0同解

∵3x2-a（6-a）x-b<0解集为（-1，3）

∴

解之得

例6、设a，b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：

|α|<1，|β|<1。

解题思路分析：

在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。

法一：

令f（x）=x2+ax+b

则f

（1）=1+a+b>1-（|a|+|b|）>1-1=0

f（-1）=1-a+b>1-（|a|+|b|）>0

又∵0<|a|≤|a|+|b|<1

∴-1

∴

∴f（x）=0的两根在（-1，1）内，即|α|<1，|β|<1

法二：

∵α+β=-a，αβ=b

∴|α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1

∴|α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1

∴（|α|-1）（|β|+1）<0

∵|β|+1>0

∴|α|<1

同理：

|β|<1

说明：

对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。

例7、某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：

第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？

解题思路分析：

设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm

显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适

当m>a时，设m=a+x（x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P（x）元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q（x）元，则P（x）=10+1.2x，Q（x）=8+1.4x

∵P（x）-Q（x）=2-0.2x=0.2（10-x）

∴当x>0时，P（x）

当x<10时，P（x）>Q（x），此时选起步价为8元的出租车比较合适

当x=10时，此时两种出租车任选

五、同步练习

（一）选择题

1、“a>0且b>0”是“≥”的

A、充分而非必要条件B、必要而非充要条件

C、充要条件D、既非充分又非必要条件

2、设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为

A、（）B、（）C、（）D、φ

3、若0

A、B、bC、2abD、a2+b2

4、已知x>0，f（x）=

，则

A、f（x）≤2B、f（x）≥10C、f（x）≥6D、f（x）≤3

5、已知，（a>2），则

A、p>qB、p

6、若|a-c|

A、|a-b|<2hB、|a-b|>2hC、|a-b|h

7、关于x的方程9x+（a+4）·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是

A、（-∞，-8]∪[0，+∞）B、（-∞，-4）

B、[-8，4）D、（-∞，-8]

8、若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2-4a2-b2的最大值是

A、B、C、D、

（二）填空题

9、设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数f（x）=的最小值是______。

10、周长为的直角三角形面积的最大值为__________。

11、记S=

，则S与1的大小关系是__________。

12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。

（三）解答题

13、要使不等式≤对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？

14、解关于x的不等式

15、已知a≠0，求证：

≥

16、已知不等式

对n∈N+都成立，试求实数a的取值范围。

17、若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。

18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？

六、参考答案

（一）选择题

1、A2、A3、B4、C5、A6、A7、D8、A

（二）填空题

9、10、11、S<112、（1，4）

（三）解答题

13、

14、当a≤-1时，x∈（-∞，a）∪（-1，2）

当-1

当a=2时，x∈（-∞，-1）

当a>2时，x∈（-∞，-1）∪（2，a）

15、当|a|≤|b|时，不等式显然成立

当|a|>|b|时，

左=≥

≥

=

16、或

17、，此时

18、