人教版八年级上册数学专题 全等三角形中辅助线的添加.docx
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人教版八年级上册数学专题全等三角形中辅助线的添加
人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加
全等三角形中辅助线的添加
一.教学内容：
全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。
二．知识要点：
1、添加辅助线的方法和语言表述
（1）作线段：
连接?
?
；
（2）作平行线：
过点?
?
作?
?
∥?
?
；
（3）作垂线（作高）：
过点?
?
作?
?
⊥?
?
，垂足为?
?
；
（4）作中线：
取?
?
中点?
?
，连接?
?
；
（5）延长并截取线段：
延长?
?
使?
?
等于?
?
；
（6）截取等长线段：
在?
?
上截取?
?
，使?
?
等于?
?
；
（7）作角平分线：
作?
?
平分?
?
；作角?
?
等于已知角?
?
；
（8）作一个角等于已知角：
作角?
?
等于?
?
。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用
常用的辅助线的添加方法：
（1）倍长中线（或类中线）法：
若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。
（2）截长补短法：
若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：
在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：
将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：
两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
（4）角平分线、中垂线法：
以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：
用旋转构造三角形全等。
（6）构造特殊三角形：
主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形（用平移、对称和弦图也可以构造）和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。
三、基本模型：
（1）
△ABC中AD是BC边中线
方式1：
延长AD到E，使DE=AD，连接BE
1
方式2：
间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE
方式3：
延长MD
到N
，使
DN=MD，连接CD
（2）
由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD
导出
BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD
（3）角分线，分两边，对称全等要记全
角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）
（4）
2
①旋转：
方法：
延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）结论：
①MN=BM+DN②
②翻折：
C?
CMN?
2AB③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM
0思路:
分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=180且AB=AD）
（5）手拉手模型
①△ABE和△ACF均为等边三角形
结论：
（1）△ABF≌△AEC；
（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分∠EOF
拓展：
3
条件：
△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：
（1）、AD=BE
（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形
（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC
（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）
②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论：
（1）、BE=CD
（2）BE⊥CD
③ABEF和ACHD均为正方形
结论：
（1）、BD⊥CF
（2）、BD=CF
变形一：
ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，
求证：
①T为FD的中点.②S?
ABC?
S?
ADF.
方法一：
方法二：
4
方法三：
变形二：
ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：
AN⊥BC
180?
?
360?
④当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：
∠1=∠2=n.
I
5
四、典型例题：
考点一：
倍长中线（或类中线）法：
核心母题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
练习：
BD
C
1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
A
E
F
B
D
C
B
DEC
3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：
CD=2CE。
4、已知：
如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：
AF=BC+FC．
6
5、如图，D是AB的中点，∠ACB=90°,求证：
2CD=AB.
6、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：
BD=CE。
7、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF。
8、已知：
如图，在?
ABC中，AB?
AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.求证：
AE平分?
BAC。
B
D
E
A
F
C
第1题图
9、以?
ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?
ABD和等腰Rt?
ACE，?
BAD?
?
CAE?
90?
连接DE，M、
N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当?
ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt?
ABD绕点A沿逆时针方向旋转?
（0<?
<90）后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结
7
?
论是否发生改变？
并说明理由．
10、已知：
△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断
（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
变式1：
已知：
在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么
（1）中的结论是否仍成立？
如果不
成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
B
CA
图①
AABCEBA图②C8
变式:
2：
已知：
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；
（2）如图②，点D不在AB上，
（1）中的结论还成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
变式3：
四边形ABCD是正方形，?
BEF是等腰直角三角形，?
BEF?
90?
，BE?
EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。
（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及EC的值；GC
（2）将图24-1中的?
BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问
（1）中所得的结论是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图24-1中的?
BEF绕点B顺时针旋转?
（0?
?
?
?
90
?
），若BE?
1，AB?
E，F，D三点共线时，求DF的长及∠ABF的度数。
9
AD图24-1图24-2
B备用图C
考点二：
截长补短法：
核心母题如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：
AB=AD+BC．
练习：
1、①如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论；
（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，
（1）中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由；
图a
E
F
B
C
B
C
A
A
F
图b
?
②、已知：
如图，?
ABC是等边三角形，?
BDC?
120，求证：
AD?
BD?
CD.
A
?
③、已知四边形ABCD中，AB?
BC，?
ABC?
60°，P为四边形ABCD的对角线BD上一点，且
?
APD?
120?
，求证：
PA?
PD?
PC?
BD
A
D
P
B
C
10
2、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：
AB+BP=BQ+AQ。
3、如图，在?
ABC中，?
ABC?
60?
，AD，CE分别为?
BAC,?
ACB的平分线，求证：
AC=AE+CD
A
BEOD
4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°
求证：
BD+DC=AB
5、已知：
如图在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－1∠BDC，求证：
AB=BD＋DC。
2
考点三：
一线三等角问题（“K”字图）
核心母题已知：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°，AD=DE，求证：
BD=EC.
11
练习：
1、已知：
如图，
在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：
AE平分∠BAD．
2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一
条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
3、如图，在?
ABC中，?
ACB?
90?
AC?
BC，直线MN经过点C，且AD?
MN于点D，BE?
MN于点E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图
（1）的位置时，求证：
DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图
（2）的位置时，求证：
DE=AD—BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：
DE，AD，BE有怎样的等量关系？
请写出等量关系，并加以证明。
NB
N
4、如图所示，AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？
12
6、小雨遇到这样一个问题：
如图1，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．l1
l1
l2l2
l3l3图1图2
小雨是这样思考的：
要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：
在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作
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