学年高中数学新教材人教A版必修第一册教案32函数的基本性质4含答案.docx

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学年高中数学新教材人教A版必修第一册教案32函数的基本性质4含答案

第2课时　奇偶性的应用

学习目标

　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．

知识点一　用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

（2）要利用已知区间的解析式进行代入．

（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）．

知识点二　奇偶性与单调性

若函数f（x）为奇函数，则f（x）在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f（x）为偶函数，则f（x）在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

预习小测　自我检验

1．若f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，则f（0）＝________.

答案　0

2．若f（x）为R上的奇函数，且在[0，＋∞）上单调递减，则f（－1）________f

（1）．（填“>”“＝”或“<”）

答案　>

解析　f（x）为R上的奇函数，且在[0，＋∞）上单调递减，

∴f（x）在R上单调递减，

∴f（－1）>f

（1）．

3．如果奇函数f（x）在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f（x）在区间[3,7]上是________函数．

答案　减

解析　∵f（x）为奇函数，∴f（x）在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f（x）在[3,7]上是减函数．

4．函数f（x）为偶函数，若x>0时，f（x）＝x，则x<0时，f（x）＝________.

答案　－x

解析　方法一　令x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝－x，

又∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），

∴f（x）＝－x（x<0）．

方法二　利用图象（图略）可得x<0时，f（x）＝－x.

一、利用函数的奇偶性求解析式

命题角度1　求对称区间上的解析式

例1　函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求当x<0时，f（x）的解析式．

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数的解析式

解　设x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，

又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，

∴当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－x－1.

反思感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

跟踪训练1　已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的解析式．

解　因为x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），

所以f（－x）＝－x[1＋（－x）]＝x（x－1）．

因为f（x）是R上的奇函数，

所以f（x）＝－f（－x）＝－x（x－1），x∈（－∞，0）．

f（0）＝0.

所以f（x）＝

命题角度2　构造方程组求解析式

例2　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝

，求函数f（x），g（x）的解析式．

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数的解析式

解　∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），

由f（x）＋g（x）＝

.①

用－x代替x，

得f（－x）＋g（－x）＝

，

∴f（x）－g（x）＝

，②

（①＋②）÷2，得f（x）＝

；

（①－②）÷2，得g（x）＝

.

反思感悟　f（x）＋g（x）＝

对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.

利用f（x），g（x）一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f（x），g（x）的二元方程组，从中解出f（x）和g（x）．

跟踪训练2　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式．

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数的解析式

解　∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），

由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①

用－x代替x，

得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，

∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②

（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；

（①－②）÷2，得g（x）＝2x.

二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小

例3　设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）

A．f（π）>f（－3）>f（－2）

B．f（π）>f（－2）>f（－3）

C．f（π）

D．f（π）

答案　A

解析　因为函数f（x）为R上的偶函数，

所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f

（2）．

又当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，且π>3>2，

所以f（π）>f（3）>f

（2），故f（π）>f（－3）>f（－2）．

反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小

（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．

跟踪训练3　

（1）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，则f

（1）和f（－10）的大小关系为（　　）

A．f

（1）>f（－10）B．f

（1）

C．f

（1）＝f（－10）D．f

（1）和f（－10）关系不定

答案　A

解析　∵f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，

∴f（－10）＝f（10）

（1）．

（2）定义在R上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．（填序号）

①f（a）>f（－b）；②f（－a）>f（b）；

③g（a）>g（－b）；④g（－a）

⑤g（－a）>f（－a）．

答案　①③⑤

解析　f（x）为R上奇函数，增函数，且a>b>0，

∴f（a）>f（b）>f（0）＝0，

又－a<－b<0，∴f（－a）

∴f（a）>f（b）>0>f（－b）>f（－a），

∴①正确，②错误．

x∈[0，＋∞）时，g（x）＝f（x），

∴g（x）在[0，＋∞）上单调递增，

∴g（－a）＝g（a）>g（b）＝g（－b），∴③正确，④错误．

又g（－a）＝g（a）＝f（a）>f（－a），∴⑤正确．

三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式

例4　

（1）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是增函数．若f（－3）＝0，则

<0的解集为________．

答案　{x|－33}

解析　∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是增函数，

∴f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数．

∴f（3）＝f（－3）＝0.

当x>0时，由f（x）<0，解得x>3；

当x<0时，由f（x）>0，解得－3

故所求解集为{x|－33}．

（2）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）

的x的取值范围为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　A

解析　由于f（x）为偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x－1）

，

即－

<2x－1<

，

解得

.

反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类

（1）利用图象解不等式；

（2）转化为简单不等式求解．

①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）f（x2）的形式；

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式（组）求解．

跟踪训练4　设定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在区间[0,2]上是减函数，若f（1－m）

解　因为f（x）是奇函数且f（x）在[0,2]上是减函数，

所以f（x）在[－2,2]上是减函数．

所以不等式f（1－m）

解得－1≤m<

.

所以实数m的取值范围为

.

1．若函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，则下列关系成立的是（　　）

A．f（－3）>f（0）>f

（1）

B．f（－3）>f

（1）>f（0）

C．f

（1）>f（0）>f（－3）

D．f

（1）>f（－3）>f（0）

考点　抽象函数单调性与奇偶性

题点　抽象函数单调性与不等式结合问题

答案　B

解析　∵f（－3）＝f（3），且f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，∴f（－3）>f

（1）>f（0）．

2．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）

A．ab

C．|a|<|b|D．0≤ab≥0

考点　抽象函数单调性与奇偶性

题点　抽象函数单调性与不等式结合问题

答案　C

3．已知函数f（x）为偶函数，且当x<0时，f（x）＝x＋1，则x>0时，f（x）＝________.

答案　－x＋1

解析　当x>0时，－x<0，∴f（－x）＝－x＋1，

又f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x＋1.

4.奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为________．

答案　（－∞，－1]，[1，＋∞）

解析　奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）．

5．已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f

（2）＝0.若f（x－1）>0，则x的取值范围是________．

答案　（－1,3）

解析　因为f（x）是偶函数，所以f（x－1）＝f（|x－1|）．

又因为f

（2）＝0，

所以f（x－1）>0可化为f（|x－1|）>f

（2）．

又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递减，

所以|x－1|<2，解得－2

所以－1

1．知识清单：

（1）利用奇偶性，求函数的解析式．

（2）利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．

2．方法归纳：

利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．

3．常见误区：

解不等式易忽视函数的定义域．

1．设函数f（x）＝

且f（x）为偶函数，则g（－2）等于（　　）

A．6B．－6C．2D．－2

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数的解析式

答案　A

解析　g（－2）＝f（－2）＝f

（2）＝22＋2＝6.

2．如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f（x）在区间[1,3]上是（　　）

A．增函数且最小值为－5

B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5

D．减函数且最大值为－5

答案　A

解析　f（x）为奇函数，∴f（x）在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f

（1）为最小值，

又已知f（－1）＝5，∴f（－1）＝－f

（1）＝5，

∴f

（1）＝－5，故选A.

3．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上是减函数，若f（a）≥f（－2），则a的取值范围是（　　）

A．a≤－2B．a≥2

C．a≤－2或a≥2D．－2≤a≤2

答案　D

解析　由f（a）≥f（－2）得f（|a|）≥f

（2），

∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.

4．已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（　　）

A．4B．2C．1D．0

答案　D

解析　y＝f（x）是偶函数，所以y＝f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）＝0的所有实根之和为0.

5．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（　　）

A．f（－x1）>f（－x2）

B．f（－x1）＝f（－x2）

C．f（－x1）

D．f（－x1）与f（－x2）的大小不确定

考点　抽象函数单调性与奇偶性

题点　抽象函数单调性与不等式结合问题

答案　A

解析　∵x1<0，x1＋x2>0，

∴x2>－x1>0，

又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

∴f（x2）

∵f（x）是偶函数，

∴f（－x2）＝f（x2）

6．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（－2）＋f（0）＝________.

答案　－5

解析　由题意知f（－2）＝－f

（2）＝－（22＋1）＝－5，f（0）＝0，

∴f（－2）＋f（0）＝－5.

7．已知奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（x）

（1）的x的取值范围是________．

考点　抽象函数单调性与奇偶性

题点　抽象函数单调性与不等式结合问题

答案　（－∞，1）

解析　由于f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且是奇函数，

所以f（x）在R上单调递增，

f（x）

（1）等价于x<1.

8．若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f

（1），f（－2）从小到大的排列是________．

答案　f（－2）

（1）

解析　∵f（x）是偶函数，

∴f（－x）＝f（x）恒成立，

即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，

∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.

∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，

∴f

（2）

（1）

即f（－2）

（1）

9．已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

（1）试求f（x）在R上的解析式；

（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．

考点　单调性与奇偶性的综合应用

题点　求奇偶函数的单调区间

解　

（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，

所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.

设x<0，则－x>0，

因为当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

所以当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.

于是有f（x）＝

（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．

由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）．

10．已知函数f（x）＝ax＋

＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f

（1）＝

，f

（2）＝

.

（1）求a，b，c的值；

（2）试判断函数f（x）在区间

上的单调性并证明．

考点　单调性与奇偶性的综合应用

题点　判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性

解　

（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴－ax－

＋c＝－ax－

－c，

∴c＝0，∴f（x）＝ax＋

.

又∵f

（1）＝

，f

（2）＝

，

∴

∴a＝2，b＝

.

综上，a＝2，b＝

，c＝0.

（2）由

（1）可知f（x）＝2x＋

.

函数f（x）在区间

上为减函数．

证明如下：

任取0

，

则f（x1）－f（x2）＝2x1＋

－2x2－

＝（x1－x2）

＝（x1－x2）

.

∵0

，

∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

∴f（x）在

上为减函数．

11．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且f

（1）＝0，则不等式

<0的解集为（　　）

A．（－1,0）∪（1，＋∞）

B．（－∞，－1）∪（0,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

D．（－1,0）∪（0,1）

答案　C

解析　∵f（x）为奇函数，

<0，

即

<0，

∵f（x）在（0，＋∞）上为减函数且f

（1）＝0，

∴当x>1时，f（x）<0.

∵奇函数图象关于原点对称，

∴在（－∞，0）上f（x）为减函数且f（－1）＝0，

即x<－1时，f（x）>0.

综上使

<0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

12．已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数，也是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

答案　A

解析　令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0），

所以f（0）＝0.

又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，

所以f（－x）＝－f（x），

所以f（x）是奇函数，故选A.

13．已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f

（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数值

答案　－1

解析　∵y＝f（x）＋x2是奇函数，

∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，

∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f

（1）＋f（－1）＋2＝0.

∵f

（1）＝1，∴f（－1）＝－3.

∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.

14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1－x）＝f（1＋x），且f（x）在[1，＋∞）上为单调减函数，则当x＝________时，f（x）取得最大值；若不等式f（0）

答案　1　（0,2）

解析　由f（1－x）＝f（1＋x）知，f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f（x）取到最大值．由对称性可知f（0）＝f

（2），所以f（0）

15．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）等于（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数的解析式

答案　C

解析　∵f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，

∴f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1.

∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）．

∴f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1.

∴f

（1）＋g

（1）＝－1＋1＋1＝1.

16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有

>0.

（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；

（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围．

解　

（1）因为a>b，所以a－b>0，

由题意得

>0，

所以f（a）＋f（－b）>0.

又f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（－b）＝－f（b），

所以f（a）－f（b）>0，即f（a）>f（b）．

（2）由

（1）知f（x）为R上的单调递增函数，

因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，所以f（1＋m）≥－f（3－2m），

即f（1＋m）≥f（2m－3），

所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.

所以实数m的取值范围为（－∞，4]．