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44平行线的判定

4.4平行线的判定

一.选择题(共7小题)

1.如图所示,下列条件能判断a∥b的有(  )

(第1题图)

A.∠1+∠2=180°B.∠2=∠4C.∠2+∠3=180°D.∠1=∠3

2.如图,下面推理中,正确的是(  )

(第2题图)

A.∵∠A=∠D,∴AB∥CDB.∵∠A=∠B,∴AD∥BC

C.∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CDD.∵∠B+∠C=180°,∴AD∥BC

3.如图,已知∠1=∠2,∠3=71°,则∠4的度数是(  )

(第3题图)

A.19°B.71°C.109°D.119°

4.如图,结合图形作出了如下判断或推理:

(第4题图)

①如图甲,CD⊥AB,D为垂足,那么点C到AB的距离等于C、D两点间的距离;

②如图乙,如果AB∥CD,那么∠B=∠D;

③如图丙,如果∠ACD=∠CAB,那么AD∥BC;

④如图丁,如果∠1=∠2,∠D=120°,那么∠BCD=60°.

其中正确的个数是(  )个.

A.1B.2C.3D.4

5.如图,直线a,b被直线c所截,∠1=62°,∠3=80°,现逆时针转动直线a至a′位置,使a′∥b,则∠2的度数是(  )

(第5题图)

A.8°B.10°C.18°D.28°

6.若将一副三角板按如图所示的方式放置,则下列结论不正确的是(  )

(第6题图)

A.∠1=∠3B.如果∠2=30°,则有AC∥DE

C.如果∠2=30°,则有BC∥ADD.如果∠2=30°,必有∠4=∠C

7.小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题.如图,已知EF⊥AB,CD⊥AB,

小明说:

“如果还知道∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB.”

小亮说:

“把小明的已知和结论倒过来,即由∠AGD=∠ACB,

可得到∠CDG=∠BFE.”

小刚说:

“∠AGD一定大于∠BFE.”

小颖说:

“如果连接GF,则GF一定平行于AB.”

他们四人中,有(  )个人的说法是正确的.

(第7题图)

A.1B.2C.3D.4

二.填空题(共4小题)

8.如图所示,用两个相同的三角形按照如图方式作平行线,能解释其中道理的定理是  .

(第8题图)

9.如图,根据图形填空

(1)∵∠A=  (已知)∴AC∥DE(  )

(2)∵∠2=  (已知)∴DF∥AB(  )

(3)∵∠2+∠6=180°(已知)∴  ∥  (  )

(4)∵AB∥DF(已知)∴∠A+∠  =180°(  ).

(第9题图)

10.如图,已知GF⊥AB,∠1=∠2,∠B=∠AGH,则下列结论:

①GH∥BC;②∠D=∠F;③HE平分∠AHG;④HE⊥AB,其中正确的是  (只填序号)

(第10题图)

11.一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点B、D重合,若固定三角形AOB,

改变△ACD的位置(其中A点位置始终不变),使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时,写出∠BAD的所有可能的值  .

(第11题图)

三.解答题(共5小题)

12.完成下面的证明:

已知:

如图.BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠1+∠2=90°.

求证:

AB∥CD.

证明:

∵DE平分∠BDC(已知),

∴∠BDC=2∠1(  ).

∵BE平分∠ABD(已知),

∴∠ABD=  (角的平分线的性质).

∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)(  ).

∵∠1+∠2=90°(已知),

∴∠ABD+∠BDC=  (  ).

∴AB∥CD(  ).

(第12题图)

13.如图①是大众汽车的图标,图②是该图标轴抽象的几何图形,且AE∥BF,∠A=∠B,试猜想AC与BD的位置关系,并说明理由.

(第13题图)

 

14.如图1为北斗七星的位置图,如图2将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G,将A,B,C,D,E,F顺次首尾连结,若AF恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠C+10°,∠D=∠E=105°.

(第14题图)

(1)求∠F的度数.

(2)计算∠B﹣∠CGF的度数是  .(直接写出结果)

(3)连结AD,∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时,BC∥AD,并说明理由.

 

15.如图1,将一条两边沿互相平行的纸带折叠(AM∥BN,AD∥BC),AB为折痕,AD交BN于点E.

(1)试说明∠MAD=∠NBC的理由;

(2)设∠MAD的度数为x,试用含x的代数式表示∠ABE的度数;

(3)如若按图2形式折叠.

?

试问

(2)中的关系式是否仍然成立?

请说明理由.

‚若∠ABE的度数是∠MAD的两倍,求此时∠MEC的度数.

(第15题图)

 

16.如图1,已知两条直线AB,CD被直线EF所截,分别交于点E,点F,EM平分∠AEF交CD于点M,且∠FEM=∠FME.

(1)判断直线AB与直线CD是否平行,并说明理由;

(2)如图2,点G是射线MD上一动点(不与点M,F重合),EH平分∠FEG交CD于点H,过点H作HN⊥EM于点N,设∠EHN=α,∠EGF=β.

①当点G在点F的右侧时,若β=50°,求α的度数;

②当点G在运动过程中,α和β之间有怎样的数量关系?

请写出你的猜想,并加以证明.

(第16题图)

 

参考答案

一.1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.B

二.8.内错角相等,两直线平行

9.

(1)∠4;同位角相等,两直线平行;

(2)∠4;内错角相等,两直线平行;(3)AB,DF,同旁内角互补,两直线平行;(4)7;两直线平行,同旁内角互补

10.①④11.15°,30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.

三.12.证明:

∵DE平分∠BDC(已知),

∴∠BDC=2∠1(角平分线的性质).

∵BE平分∠ABD(已知),

∴∠ABD=2∠2(角的平分线的性质).

∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)(等量代换).

∵∠1+∠2=90°(已知),

∴∠ABD+∠BDC=180°(等量代换).

∴AB∥CD(同旁内角互补两直线平行).

13.解:

AC∥BD,理由:

∵AE∥BF,

∴∠B=∠DOE.

∵∠A=∠B,

∴∠DOE=∠A,

∴AC∥BD.

14.解:

(1)∵AF∥DE,

∴∠F+∠E=180°,

∴∠F=180°﹣105°=75°;

(2)如答图,延长DC交AF于点K.

(第14题答图)

可得:

∠B﹣∠CGF=∠C+10°﹣∠CGF=∠GKC+10°=∠D+10°=115°.

(3)当∠ADE+∠CGF=180°时,BC∥AD,

∵AF∥DE,

∴∠GAD+∠ADE=180°,∠ADE+∠CGF=180°,

∴∠GAD=∠CGF,

∴BC∥AD.

15.解:

(1)∵AM∥BN,AD∥BC,

∴∠MAD=∠NED,∠NED=∠NBC,

∴∠MAD=∠NBC;

(2)如答图1,∵AM∥BN,

∴∠ABE=∠BAF,MAD=∠BEA=x,

由折叠可得,∠FAB=∠BAE,

∴∠ABE=∠BAE,

即△ABE是等腰三角形,

又∵∠BEA=x,

∴∠ABE=

(3)第

(2)问中的关系式成立,理由:

如答图2,∵AM∥BN,

∴∠ABF=∠BAE,MAD=∠BEA=x,

由折叠可得,∠FBA=∠ABE,

∴∠ABE=∠BAE,

即△ABE是等腰三角形,

又∵∠BEA=x,

∴∠ABE=

∵∠ABE的度数是∠MAD的两倍,

∴∠ABE=2x,

又∵∠ABE=

∴2x=

解得x=36°,

∴∠MAD=36°,

∵AD∥BC,

∴∠MEC=∠MAD=36°.

(第15题答图)

16.解:

(1)∵EM平分∠AEF

∴∠AEF=∠FME,

又∵∠FEM=∠FME,

∴∠AEF=∠FEM,

∴AB∥CD;

(2)①如答图2,∵AB∥CD,β=50°

∴∠AEG=130°,

又∵EH平分∠FEG,EM平分∠AEF

∴∠HEF=

∠FEG,∠MEF=

∠AEF,

∴∠MEH=

∠AEG=65°,

又∵HN⊥ME,

∴Rt△EHN中,∠EHN=90°﹣65°=25°,

即α=25°;

②分两种情况讨论:

如答图2,当点G在点F的右侧时,α=

证明:

∵AB∥CD,

∴∠AEG=180°﹣β,

又∵EH平分∠FEG,EM平分∠AEF

∴∠HEF=

∠FEG,∠MEF=

∠AEF,

∴∠MEH=

∠AEG=

(180°﹣β),

又∵HN⊥ME,

∴Rt△EHN中,∠EHN=90°﹣∠MEH=90°﹣

(180°﹣β)=

即α=

如答图3,当点G在点F的左侧时,α=90°﹣

证明:

∵AB∥CD,

∴∠AEG=∠EGF=β,

又∵EH平分∠FEG,EM平分∠AEF

∴∠HEF=

∠FEG,∠MEF=

∠AEF,

∴∠MEH=∠MEF﹣∠HEF

=

(∠AEF﹣∠FEG)

=

∠AEG

=

β,

又∵HN⊥ME,

∴Rt△EHN中,∠EHN=90°﹣∠MEH,

即α=90°﹣

(第16题答图)

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