44 平行线的判定.docx

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44平行线的判定

4.4平行线的判定

一．选择题（共7小题）

1．如图所示，下列条件能判断a∥b的有（　　）

（第1题图）

A．∠1+∠2=180°B．∠2=∠4C．∠2+∠3=180°D．∠1=∠3

2．如图，下面推理中，正确的是（　　）

（第2题图）

A．∵∠A=∠D，∴AB∥CDB．∵∠A=∠B，∴AD∥BC

C．∵∠A+∠D=180°，∴AB∥CDD．∵∠B+∠C=180°，∴AD∥BC

3．如图，已知∠1=∠2，∠3=71°，则∠4的度数是（　　）

（第3题图）

A．19°B．71°C．109°D．119°

4．如图，结合图形作出了如下判断或推理：

（第4题图）

①如图甲，CD⊥AB，D为垂足，那么点C到AB的距离等于C、D两点间的距离；

②如图乙，如果AB∥CD，那么∠B=∠D；

③如图丙，如果∠ACD=∠CAB，那么AD∥BC；

④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BCD=60°．

其中正确的个数是（　　）个．

A．1B．2C．3D．4

5．如图，直线a，b被直线c所截，∠1=62°，∠3=80°，现逆时针转动直线a至a′位置，使a′∥b，则∠2的度数是（　　）

（第5题图）

A．8°B．10°C．18°D．28°

6．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（　　）

（第6题图）

A．∠1=∠3B．如果∠2=30°，则有AC∥DE

C．如果∠2=30°，则有BC∥ADD．如果∠2=30°，必有∠4=∠C

7．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，

小明说：

“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB．”

小亮说：

“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，

可得到∠CDG=∠BFE．”

小刚说：

“∠AGD一定大于∠BFE．”

小颖说：

“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”

他们四人中，有（　　）个人的说法是正确的．

（第7题图）

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共4小题）

8．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是　　．

（第8题图）

9．如图，根据图形填空

（1）∵∠A=　　（已知）∴AC∥DE（　　）

（2）∵∠2=　　（已知）∴DF∥AB（　　）

（3）∵∠2+∠6=180°（已知）∴　　∥　　（　　）

（4）∵AB∥DF（已知）∴∠A+∠　　=180°（　　）．

（第9题图）

10．如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：

①GH∥BC；②∠D=∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是　　（只填序号）

（第10题图）

11．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，

改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值　　．

（第11题图）

三．解答题（共5小题）

12．完成下面的证明：

已知：

如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．

求证：

AB∥CD．

证明：

∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠BDC=2∠1（　　）．

∵BE平分∠ABD（已知），

∴∠ABD=　　（角的平分线的性质）．

∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（　　）．

∵∠1+∠2=90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC=　　（　　）．

∴AB∥CD（　　）．

（第12题图）

13．如图①是大众汽车的图标，图②是该图标轴抽象的几何图形，且AE∥BF，∠A=∠B，试猜想AC与BD的位置关系，并说明理由．

（第13题图）

14．如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B=∠C+10°，∠D=∠E=105°．

（第14题图）

（1）求∠F的度数．

（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　　．（直接写出结果）

（3）连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．

15．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠（AM∥BN，AD∥BC），AB为折痕，AD交BN于点E．

（1）试说明∠MAD=∠NBC的理由；

（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数；

（3）如若按图2形式折叠．

?

试问

（2）中的关系式是否仍然成立？

请说明理由．

‚若∠ABE的度数是∠MAD的两倍，求此时∠MEC的度数．

（第15题图）

16．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．

（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；

（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．

①当点G在点F的右侧时，若β=50°，求α的度数；

②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并加以证明．

（第16题图）

参考答案

一．1．B2．C3．C4．B5．C6．C7．B

二．8．内错角相等，两直线平行

9．

（1）∠4；同位角相等，两直线平行；

（2）∠4；内错角相等，两直线平行；（3）AB，DF，同旁内角互补，两直线平行；（4）7；两直线平行，同旁内角互补

10．①④11．15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．

三．12．证明：

∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠BDC=2∠1（角平分线的性质）．

∵BE平分∠ABD（已知），

∴∠ABD=2∠2（角的平分线的性质）．

∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（等量代换）．

∵∠1+∠2=90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．

∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．

13．解：

AC∥BD，理由：

∵AE∥BF，

∴∠B=∠DOE.

∵∠A=∠B，

∴∠DOE=∠A，

∴AC∥BD．

14．解：

（1）∵AF∥DE，

∴∠F+∠E=180°，

∴∠F=180°﹣105°=75°；

（2）如答图，延长DC交AF于点K.

（第14题答图）

可得：

∠B﹣∠CGF=∠C+10°﹣∠CGF=∠GKC+10°=∠D+10°=115°.

（3）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，

∵AF∥DE，

∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，

∴∠GAD=∠CGF，

∴BC∥AD．

15．解：

（1）∵AM∥BN，AD∥BC，

∴∠MAD=∠NED，∠NED=∠NBC，

∴∠MAD=∠NBC；

（2）如答图1，∵AM∥BN，

∴∠ABE=∠BAF，MAD=∠BEA=x，

由折叠可得，∠FAB=∠BAE，

∴∠ABE=∠BAE，

即△ABE是等腰三角形，

又∵∠BEA=x，

∴∠ABE=

；

（3）第

（2）问中的关系式成立，理由：

如答图2，∵AM∥BN，

∴∠ABF=∠BAE，MAD=∠BEA=x，

由折叠可得，∠FBA=∠ABE，

∴∠ABE=∠BAE，

即△ABE是等腰三角形，

又∵∠BEA=x，

∴∠ABE=

；

∵∠ABE的度数是∠MAD的两倍，

∴∠ABE=2x，

又∵∠ABE=

，

∴2x=

，

解得x=36°，

∴∠MAD=36°，

∵AD∥BC，

∴∠MEC=∠MAD=36°．

（第15题答图）

16．解：

（1）∵EM平分∠AEF

∴∠AEF=∠FME，

又∵∠FEM=∠FME，

∴∠AEF=∠FEM，

∴AB∥CD；

（2）①如答图2，∵AB∥CD，β=50°

∴∠AEG=130°，

又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF=

∠FEG，∠MEF=

∠AEF，

∴∠MEH=

∠AEG=65°，

又∵HN⊥ME，

∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣65°=25°，

即α=25°；

②分两种情况讨论：

如答图2，当点G在点F的右侧时，α=

．

证明：

∵AB∥CD，

∴∠AEG=180°﹣β，

又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF=

∠FEG，∠MEF=

∠AEF，

∴∠MEH=

∠AEG=

（180°﹣β），

又∵HN⊥ME，

∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣∠MEH=90°﹣

（180°﹣β）=

，

即α=

；

如答图3，当点G在点F的左侧时，α=90°﹣

．

证明：

∵AB∥CD，

∴∠AEG=∠EGF=β，

又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF

∴∠HEF=

∠FEG，∠MEF=

∠AEF，

∴∠MEH=∠MEF﹣∠HEF

=

（∠AEF﹣∠FEG）

=

∠AEG

=

β，

又∵HN⊥ME，

∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣∠MEH，

即α=90°﹣

．

（第16题答图）