六年级数学上册概念知识点整理人教版.docx
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六年级数学上册概念知识点整理人教版
六年级数学上册概念知识点整理(人教版)
第一单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同.都是求几个相同加数的和的简便运算.
例如:
×5表示求5个
的和是多少,也表示
的5倍是多少.
2、一个数乘分数是求一个数的几分之几是多少.
例如:
×
表示求
的
是多少.
(二)分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:
分子与整数相乘的积做分子,分母不变.(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘:
用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母.
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算.
注意:
当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算.
4、分数连乘的计算方法:
先约分,就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分,再用分子乘分子作积的分子,分母乘分母作积的分母.
(三)、乘法规律:
(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数.
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数.
一个数(0除外)乘1,积等于这个数.
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同.
速记歌谣:
先乘除后加减,有了括号先算里,同级运算从左起,简便方法不忘记.
(五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用.
乘法交换律:
ab=ba
乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
(a+b)c=ac+bc
二、分数乘法的解决问题
(已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:
画两条线段图;
(2)部分和整体的关系:
画一条线段图.
2、找单位“1”:
一般在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面
3、求一个数的几倍:
一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:
一个数×
.
4、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:
单位“1”的量×分率=对应量(比较量)
(3)分率前是“多或少”:
单位“1”的量×(1
分率)=对应量(比较量)
三、倒数
1、倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数.
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在.
(要说清谁是谁的倒数).
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:
交换分子分母的位置.
(2)、求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置.
(3)、求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数.
(4)、求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数.
3、1的倒数是1;0没有倒数.因为1×1=1;0乘任何数都得0,
(分母不能为0)
4、对于任意数
,它的倒数为
;非零整数
的倒数为
;分数
的倒数是
;
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1.
第二单元位置与方向
1、位置与方向三要素:
方向、角度、距离.
方向:
上北下南,左西右东.
2、位置的相对性:
方向相反,角度相同,距离相等.
例如:
小明站在小华东偏南300方向200米处,那么小华站在小明西偏北300方向200米处.
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
乘法:
因数×因数=积除法:
积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算.
例如:
÷
表示已知两个因数的积是
,其中一个因数是
,求另一个因数是多少.
2、分数除法计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数.(甲数除以乙数(0除外),等于乘乙数的倒数)
例如:
÷
=
×
3、除法规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)、当除数等于1,商等于被除数.
4、“
”叫做中括号.一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的.
二、分数除法解决问题
(未知单位“1”的量(用除法):
已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量.)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:
单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:
单位“1”的量×(1
分率)=分率对应量
2、解法:
(建议:
最好用方程解答)
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答.
(2)算术(用除法):
对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:
比较量÷单位“1”的量=分率
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:
两个数的相差量÷单位“1”的量=多(少)的分率
或:
①求多几分之几:
大数÷小数–1
②求少几分之几:
1-小数÷大数
三、工程问题
用“1”表示工作总量,用
表示工作效率,用工作总量÷工作效率求出工作时间.
数量关系:
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间
第四单元比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比.
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项.比的前项除以后项所得的商,叫做比值.比的后项不能为0,因为比的后项相当于除法中的除数,除数不能为0.
例如15:
10=15÷10=
(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
∶∶∶∶
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系.也可以表示两个不同量的比,得到一个新量.例:
路程÷速度=时间.
4、求比值的方法:
用比的前项除以比的后项.
5、区分比和比值
比:
表示两个数的倍数关系,有前项和后项
比值:
相当于商,是一个数,可以是整数、分数、或小数,不带单位名称.
6、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式.例如3:
2也可以写成
,仍读作“3:
2”.
7、 比和除法、分数的联系:
比
前项
比号“:
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
8、比和除法、分数的区别:
除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的倍数关系.
9、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0.
体育比赛中出现两队的分是2:
0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系.
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变.
分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变.
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变.
2、最简整数比:
比的前项和后项都是整数,并且是互质数(只有公因数1),这样的比就是最简整数比.
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比(最简比).
依据
比的
基本
性质:
4.化简比:
①整数比:
用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数.
(1)②分数比:
用前项后项同时乘分母的最小公倍数,化成整数比,再化成最简比.
③小数比:
前项后项同时扩大相同的倍数,化成整数比,再化成最简比.
(2)用求比值的方法.
如:
15∶10=15÷10=
=3∶2
5、求比值与化简比的区别
求比值:
用前项除以后项,结果是一个数;化简比:
依据比的基本性质,前项后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),结果是一个最简比.
6、路程相同,速度比和时间比成反比.(如:
路程相同,速度比是4:
5,时间比则为5:
4)
工作总量相同,工作效率和工作时间成反比.
(如:
工作总量相同,工作时间比是3:
2,工作效率比则是2:
3)
(三)比的应用题
1、求每份数的方法
和÷总份数=每份数相差数÷相差份数=每份数部分数÷对应份数=每份数
2、图形求比的常见公式
长方体:
(长+宽+高)的和=棱长和÷4长方形:
(长+宽)的和=周长÷2
3、相遇问题
速度和=路程÷相遇时间
4、按比例分配:
把一个数量按照一定的比来进行分配.这种方法通常叫做按比例分配.
按比例分配应用题的结构特征:
已知总数和各部分数的比,求各部分数.
方法与步骤:
1、根据比先求出总份数.
2、求出各部分数占总数的几分之几.
3、运用分数乘法列式计算,求出各部分数.
4、答题并检验.
第五单元圆
一、认识圆
1、圆的定义:
圆是由曲线围成的一种封闭图形.
2、圆心:
将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心.
一般用字母O表示.
3、半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径.一般用字母r表示.
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径.
4、直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.一般用字母d表示.
直径是一个圆内最长的线段.
5、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径.所有的半径都相等,所有的直径都相等.
6、在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的
.
用字母表示为:
d=2r或r=
d
7.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形.
折痕所在的这条直线叫做对称轴.
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴.这些图形都是轴对称图形.
10、只有1一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆.
只有2条对称轴的图形是:
长方形
只有3条对称轴的图形是:
等边三角形
只有4条对称轴的图形是:
正方形;
有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环.
二、圆的周长
1、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长.用字母C表示.
2、圆周率实验:
(1)绳测法:
用绳子绕圆一圈,拉直后用直尺量出长度即求出圆的周长.
(2)滚动法:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长.
发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π).圆的周长总是它直径的3倍多一些.
3.圆周率:
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率.
用字母π(pai)表示.圆周率π是一个无限不循环小数.在计算时,一般取π≈3.14.
(1)在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍或3倍多一些.
(2)世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.
4、圆的周长公式:
C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷π÷2
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长.
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽.
6、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:
等于圆的周长÷2计算方法:
2πr÷2即
C=πr
(2)半圆的周长:
等于圆的周长的一半加直径.计算方法:
C半圆=πd÷2+d
C半圆=πr+2r
三、圆的面积
1、圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积.用字母S表示.
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.顶点在圆心的角叫做圆心角.
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:
体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体.
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形.
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系.
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为:
长方形面积=长×宽
所以:
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r=πr2
圆的面积公式:
S圆=πr2r2=S÷π
圆的面积公式:
S=πr2÷2或S=
πr2
圆的面积公式:
S=πr2÷4或S=
πr2
4、环形的面积:
(环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差)
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r.(R=r+环的宽度.)
S环=πR²-πr² 或
环形的面积公式:
S环=π(R²-r²).
求环形的面积,一定要先想法分别求出外圆的半径(R)和内圆的半径(r)
再代入公式计算.一步一步的来,这样不容易错误.注意用公式S环=π(R²-r²)
计算时,要先算出2个平方数,再相减.切忌相减后再平方.
5、扇形的面积计算公式:
S扇=πr2×
(n表示扇形圆心角的度数)
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数.
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍.例如:
在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍.
7、两个圆:
半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方.例如:
两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:
4∶π
圆的周长是直径的π倍,圆的周长与直径的比是π:
1
圆的周长是半径的2π倍,圆的周长与半径的比是2π:
1
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小.反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短.
10、周长计算公式:
知道半径求周长:
C=2πr知道直径求周长:
C=πd
已知周长:
D=C÷π圆周长的一半:
周长(曲线)
半圆的周长:
周长+直径C=πr+2r
面积计算公式:
(无论是知道直径或者周长,都应该先求出半径,再求面积)
知道半径求面积:
S=πr2知道直径求面积:
S=π(d÷2)2
知道周长求面积:
S=π(C÷π÷2)2
11、确定起跑线:
(1)每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度.
(2)每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度.(因此起跑线不同)
(3)每相邻两个跑道相隔的距离是:
2×π×跑道的宽度
(4)当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米.
12、常用各π值结果:
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
4π=12.568π=25.1225π=78.5
13、常用平方数结果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几.
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比.
百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”,百分数后面不能带单位名称.
2、千分数:
表示一个数是另一个数的千分之几.
3、百分数和分数的主要联系与区别:
(1)联系:
都可以表示两个量的倍比关系.
(2)区别:
①、意义不同:
百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位.
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数.
③、百分数的读法和分数的读法大体相同,也是先读分母,后读分子,但要注意读百分数的分母时,不能读成一百分之几,而只能读作“百分之几”
4、百分数的写法:
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示.
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号.
2.百分数化成小数:
把小数点向左移动两位,同时去掉百分号.
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:
先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数.
2、分数化成百分数:
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式.
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数.
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化
=0.5=50%
=0.2=20%
=0.625=62.5%
=0.25=25%
=0.4=40%
=0.125=12.5%
=0.75=75%
=0.6=60%
=0.375=37.5%
=0.0625=6.25%
=0.8=80%
=0.875=87.5%
=0.04=4﹪
=0.08=8﹪
=0.12=12﹪
=0.16=16﹪
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法:
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥出粉率=
⑦烘干率=
⑧含水率=
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%.(一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%.)
2、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题:
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:
单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:
单位“1”的量×(1
分率)=分率对应量
3、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”.
解法:
(建议:
最好用方程解答)
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答.
(2)算术(用除法):
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题:
两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或:
1求多百分之几:
(大数÷小数–1)×100%
②求少百分之几:
(1-小数÷大数)×100%
(二)、折扣
1、折扣:
商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣.通称“打折”.
几折就表示十分之几,也就是百分之几十.例如八折=
=80﹪,六折五=0.65=65﹪
2、 一成是十分之一,也就是10%.三成五就是十分之三点五,也就是35%
几成”就是十分之几,也就是百分之几十.如:
五成表示()%
“折扣”表示某种商品降价的幅度.如:
75折就表示现价是原价()%
(三)、纳税
1、纳税:
纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家.
2、纳税的意义:
税收是国家财政收入的主要来源之一.国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业.
3、应纳税额:
缴纳的税款叫做应纳税额.
4、税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率.
5、应纳税额的计算方法:
应纳税额=总收入×税率
(四)利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法.
2、储蓄的意义:
人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入.
3、本金:
存入银行的钱叫做本金.
4、利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息.
5、利率:
利息与本金的比值叫做利率.
6、利息的计算公式:
利息=本金×利率×时间
7、注意:
如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
8、本息=本金+利息
第七单元统计
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系.
也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图).
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:
可以清楚的看出各种数量的多少.
2、折线统计图:
不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况.
3、扇形统计图:
能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系.
三、扇形的面积大小:
在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大.(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比.)
补充内容
一、数对
1、用数对确定点的位置,如(3,5)表示:
(第三列,第五行)
几列几行
↓↓
竖排叫列 横排叫行
一般(从左往右看)(从前往后看)
2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述.
3、图形左、右平移:
行不变图形上、下平移:
列不变
二、“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题的特点:
题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量.
“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、猜测法
2、假设法
(1)假如都是兔
(2)假如都是鸡
(3)古人“抬脚法”:
解答思路:
假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,鸡和兔的脚的总数就少了一半.这种思维方法叫化归法.关系式:
鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数=兔的只数;鸡兔总数-兔的只数=鸡的只数.
3、列方程法