河北省中考数学一轮复习课件+好题随堂演练专题六 函数性质与计算.docx

河北省中考数学一轮复习课件+好题随堂演练专题六 函数性质与计算.docx

《河北省中考数学一轮复习课件+好题随堂演练专题六 函数性质与计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省中考数学一轮复习课件+好题随堂演练专题六 函数性质与计算.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

河北省中考数学一轮复习课件+好题随堂演练专题六函数性质与计算

专题六　函数性质与计算

类型一一次函数图象与性质

（2017·河北）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－x－与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.

（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；

（2）设面积的和S＝S△CDE＋S△四边形ABDO，求S的值；

（3）在求

（2）中S时，嘉琪有个想法：

“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？

”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

【分析】

（1）利用坐标轴上点的特征确定出点C的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求出点E的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式；

（2）直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积计算方法即可求出；

（3）先求出直线AB与x轴的交点坐标，再判断出点C不在直线AB上．

【自主解答】

1．（2018·中考说明）如图，直线l上有一点P（2，1），将点P先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q恰好也落在直线l上．

（1）求直线l的函数关系式；

（2）将点Q先向右平移3个单位，再向上平移6个单位，得到点M，嘉淇认为点M在直线l上，请你通过计算，判断嘉淇的观点是否正确．

2．（2018·石家庄一模）如图，直线l的解析式y＝kx＋3（k<0）与y轴交于A点，与x轴交于点B.点C的坐标为（4，2）．

（1）点A的坐标为________；

（2）若将△AOB沿直线l折叠，能否使点O与点C重合，若能，求此时直线l的解析式，若不能，请说明理由；

（3）若点C在直线l的下方，求k的取值范围．

3．（2019·原创）如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝8，OC＝6.

（1）求直线AC的表达式；

（2）若直线y＝x＋b与矩形OABC有公共点，求b的取值范围；

（3）直线l：

y＝kx＋10与矩形OABC没有公共点，直接写出k的取值范围．

第3题图　　　　备用图

4．（2018·镇江）如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（－9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．

（1）求一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式；

（2）若△ACE的面积为1，求点E的坐标；

（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为________．

类型二反比例函数图象与性质

（2018·聊城）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象关于y轴对称，A（1，4），B（4，m）是函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接AB，点C（－2，n）是函数y＝（x＜0）图象上的一点，连接AC，BC.

（1）求m，n的值；

（2）求AB所在直线的表达式；

（3）求△ABC的面积．

【分析】

（1）先由点A确定k1的值，再求m的值，根据函数关于y轴对称，确定k2再求n；

（2）先设出函数的表达式，再代入A，B两点的坐标，即可得到直线AB的表达式；

（3）过A，B，C三点分别向x轴作垂线，则S△ABC＝S梯形CC′A′A＋S梯形AA′B′B－S梯形CC′B′B.

【自主解答】

【难点突破】本题的难点在于如何将△ABC的面积转化为规则几何图形面积的和差，关键是过A，B，C三点分别向x轴作垂线构造直角梯形，而梯形的上下底和腰根据反比例函数点的坐标易求．

1．（2018·岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，AC.

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式.

2．（2019·原创）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA＝90°，且tan∠AOB＝，OB＝2，反比例函数y＝的图象经过点B.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y＝mx＋n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．

类型三二次函数图象与性质

（2015·河北25题）如图，已知点O（0，0），A（－5，0），B（2，1），抛物线l：

y＝－（x－h）2＋1（h为常数）与y轴的交点为C.

（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；

（2）设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1>x2≥0，比较y1与y2的大小；

（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．

【分析】

（1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，即可求h的值；将抛物线函数解析式化为顶点式即可得到该图象的对称轴和顶点坐标；

（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：

yC＝－h2＋1，则由二次函数的最值的求法易得yc的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y1与y2的大小；

（3）根据已知条件“O（0，0），A（－5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（－1，0），（－4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．

【自主解答】

【方法点拨】二次函数求最值主要是利用顶点坐标，配方成y＝a（x＋h）2＋k，则当x＝－h时，有最大值或最小值为k.或者利用对称轴和开口方向，结合图象判断函数在x的取值范围内的增减性，再代入求值．

1．（2018·石家庄藁城区模拟）如图，抛物线L：

y＝－（x－2）2＋m2＋2m与x轴交于A，B，直线y＝kx－1与y轴交于E，与L的对称轴交于点F（n，3），与L的对称轴右侧部分交于D，抛物线L的对称轴与L交于P.

（1）求k的值；

（2）点P能否与点F关于x轴的对称点重合？

若认为能，请求出m的值；若认为不能，说明理由；

（3）小林研究了抛物线L的解析式后，得到了如下的结论：

因为m可以取任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即C点可以到达y轴的任何位置，你认为他说的有道理吗？

说说你的想法；

（4）当抛物线L与直线y＝kx－1有两个公共点时，直接写出适合条件的m的最大整数值．

2．（2018·泰州）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．

（1）当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；

（2）过点P（0，m－1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；

（3）在

（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．

3．（2018·邯郸二模）如图，抛物线l：

y＝－x2＋bx＋c（b、c为常数），其顶点E在正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1）．

（1）直接写出点D的坐标；

（2）若l经过点B，C，求l的解析式；

（3）设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；

当顶点E在正方形ABCD内或边上时，直接写出线段MN的取值范围；

（4）若l经过正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值．

类型四函数图象性质综合题

已知反比例函数y＝（m＞0）与抛物线y＝－（x－h）2＋m.

（1）当抛物线的顶点M恰好落在反比例函数图象上，求h的值；

（2）作直线x＝1交抛物线于P，交双曲线于Q，当m＝3，PQ≤1时，求h的取值范围．

【分析】

（1）先确定抛物线的顶点为（h，m），再代入反比例函数解析式即可；

（2）由m＝3得到反比例函数解析式，再由x＝1确定P，Q的纵坐标，然后根据PQ≤1，列不等式求解．

【自主解答】

1．如图，曲线BC是反比例函数y＝（4≤x≤6）的图象，其中B（4，1－m），C（6，－m），抛物线y＝－x2＋2bx的顶点记作A.

（1）求k的值；

（2）试判断点A是否可与点B重合；

（3）若抛物线y＝－x2＋2bx与曲线BC有交点，确定b的取值范围．

2．（2018·宜昌）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A、B的坐标分别为A（－6，0），B（0，4）．过点C（－6，1）的双曲线y＝（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E.

（1）填空：

OA＝________，k＝________，点E的坐标为________；

（2）当1≤t≤6时，经过点M（t－1，－t2＋5t－）与点N（－t－3，－t2＋3t－）的直线交y轴于点F，点P是过M、N两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点．

①当点P在双曲线y＝上时，求证：

直线MN与双曲线y＝没有公共点；

②当抛物线y＝－x2＋bx＋c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

参考答案

【专题类型突破】

【例1】

解：

（1）把y＝0代入y＝－x－，解得x＝－13，

∴C（－13，0），

把x＝－5代入y＝－x－，解得y＝－3，

∴E（－5，－3），

∵点B、E关于x轴对称，∴B（－5，3），

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则，

解得，∴直线AB的解析式为y＝x＋5；

（2）∵CD＝－5－（－13）＝8，DE＝DB＝3，OA＝OD＝5，

∴S△CDE＝×8×3＝12，S四边形ABDO＝×（3＋5）×5＝20，即S＝12＋20＝32.

（3）当x＝－13时，y＝x＋5＝－0.2≠0.

∴点C不在直线AB上，即A，B，C三点不共线．

∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.

针对训练

1．解：

（1）∵点Q是由点P（2，1）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，∴点Q的坐标为（3，3），

设直线l的关系式为y＝kx＋b，

将点P（2，1），Q（3，3）代入得

，解得，

∴直线l的函数关系式为y＝2x－3.

（2）嘉淇的观点正确．

理由：

∵点M是由点Q先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到的，∴点M的坐标为（6，9），

当x＝6时，y＝2×6－3＝9，

∴点M在直线l上，∴嘉淇的观点正确．

2．解：

（1）（0，3）；

（2）不能，连接AC，

∵A（0，3），∴OA＝3，

又C（4，2），∴xc＝4,

∴AC>xc＝4，即AC≠OA，

∴AC与OA不可能重合，∴不能．

（3）当x＝4时，y＝4k＋3，

∵点C在直线l的下方，

∴4k＋3>2，解得k＞－.

3．解：

（1）∵OA＝8，OC＝6，∴A（8，0），C（0，6），

设直线AC表达式为y＝kx＋b，

∴，解得，

∴直线AC的表达式为y＝－x＋6；

（2）∵直线y＝x＋b可以看到是由直线y＝x平移得到，

∴当直线y＝x＋b过A、C时，直线与矩形OABC有一个公共点，如解图①，

当过点A时，代入可得0＝8＋b，解得b＝－8，

当过点C时，可得b＝6，

∴直线y＝x＋b与矩形OABC有公共点时，b的取值范围为－8≤b≤6；

（3）∵y＝kx＋10，∴直线l过D（0，10），且B（8，6），

如解图②，直线l绕点D旋转，当直线过点B时，与矩形OABC有一个公共点，

逆时针旋转到与y轴重合时与矩形OABC有公共点，

当过点B时，代入可得6＝8k＋10，解得k＝－，

∴直线l：

y＝kx＋10与矩形OABC没有公共点时k的取值范围为k＞－.

4．解：

（1）将A（－9，0），B（0，6）代入y＝kx＋b（k≠0），得，解得.

∴一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式为y＝x＋6.

图①

（2）如解图①，设直线l与y轴相交于点D.

∵BC⊥l，∴∠BCD＝90°＝∠BOC.

∴∠OBC＋∠OCB＝∠OCD＋∠OCB.

∴∠OBC＝∠OCD.

又∵∠BOC＝∠COD，∴△OBC∽△OCD.

∴＝.

∵B（0，6），C（2，0），∴OB＝6，OC＝2.

∴＝.

解得OD＝.∴D（0，－）．

设直线l的函数表达式为y＝k1x＋b1（k1≠0）．

把C（2，0），D（0，－）代入，得

解得k1＝，b1＝－.

∴直线l的函数表达式为y＝x－.

设E（t，t－）．

∵A（－9，0），C（2，0），∴AC＝11.

∵S△ACE＝1，∴×11×（t－）＝1.

解得t＝.∴E（，）．

图②

（3）（11，3）．

【解法提示】如解图②所示，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F.

∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90°，

∴△ABO∽△EBC.∴＝＝＝.

∵∠BCE＝90°＝∠BOC，

∴∠BCO＋∠CBO＝∠BCO＋∠ECF.

∴∠CBO＝∠ECF.

又∵∠BOC＝∠EFC＝90°，∴△BOC∽△CFE.

∴＝＝＝，∴＝＝，

解得CF＝9，EF＝3.∴OF＝11.∴E（11，3）．

【例2】解：

（1）由A（1，4），B（4，m）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，

∴4＝，k1＝4.∴y＝，∴m＝1.

∵y＝（x＜0）的图象与y＝（x＞0）的图象关于y轴对称，

∴点A（1，4）关于y轴的对称点A1（－1，4）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，

∴4＝，k2＝－4.∴y＝－（x＜0）．

由点C（－2，n）是反比例函数y＝－（x＜0）图象上的一点，

∴n＝2.

（2）设AB所在直线的表达式为y＝kx＋b，

将A（1，4），B（4，1）分别代入得：

，解得，

∴AB所在直线的表达式为y＝－x＋5.

（3）如解图，过A，B，C三点分别向x轴作垂线，垂足分别为A′，B′，C′.

CC′＝2，AA′＝4，BB′＝1，C′A′＝3，A′B′＝3，C′B′＝6.

∴S△ABC＝S梯形CC′A′A＋S梯形AA′B′B－S梯形CC′B′B

＝×（2＋4）×3＋×（1＋4）×3－×（2＋1）×6＝.

针对训练

1．解：

（1）由题意得，k＝xy＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y＝.

（2）设B点坐标为（a，b），如解图，过点A作AD⊥BC于D，则D（2，b），

∵反比例函数y＝的图象经过点B（a，b），

∴b＝，∴AD＝3－.

∴S△ABC＝BC·AD＝a（3－）＝6，

解得a＝6.

∴b＝＝1，∴B（6，1）．

设AB的表达式为y＝kx＋b，

将A（2，3），B（6，1）代入，

得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋4.

2．解：

（1）如解图，过点B作BD⊥OA于点D，设BD＝a，

∵tan∠AOB＝＝，∴OD＝2BD，

∵∠ODB＝90°，OB＝2，

∴a2＋（2a）2＝

（2）2，

解得a＝2或a＝－2（舍）．

∴BD＝2，OD＝4，即点B的坐标为（4，2），

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数表达式为y＝.

（2）∵tan∠AOB＝，

OB＝2，

∴AB＝OB＝，

∴OA＝＝＝5，

∴点A的坐标为（5，0）．

又∵△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），

∴OM＝2OB，

∴点M的坐标为（8，4）．

把点M，A的坐标分别代入y＝mx＋n得

，解得，

故一次函数表达式为y＝x－.

【例3】解：

（1）把x＝2，y＝1代入y＝－（x－h）2＋1，得h＝2，

∴解析式为y＝－（x－2）2＋1，

∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为B（2，1）；

（2）点C的横坐标为0，则yc＝－h2＋1，

∴当h＝0时，yc有最大值为1，

此时，l为y＝－x2＋1，对称轴为y轴，当x≥0时，y随着x的增大而减小，

∴x1＞x2≥0时，y1＜y2；

（3）把OA分为1∶4两部分的点为（－1，0）或（－4，0），

把x＝－1，y＝0代入y＝－（x－h）2＋1，

得h＝0或h＝－2，

但h＝－2时，OA被分为三部分，不合题意，舍去，

同样，把x＝－4，y＝0代入y＝－（x－h）2＋1，

得h＝－5或h＝－3（舍去），

∴h的值为0或－5.

针对训练

1．解：

（1）∵抛物线L的对称轴是x＝2，∴n＝2，点F（2，3），代入y＝kx－1中，得3＝2k－1，

解得k＝2；

（2）不能．

理由：

点P的坐标为（2，m2＋2m），点F关于x轴的对称点F′的坐标是（2，－3），

若点P与点F′重合，则m2＋2m＝－3，

即：

（m＋1）2＝－2.显然不可能，

（3）没道理．

∵点C的纵坐标为yC＝m2＋2m－4＝（m＋1）2－5，

∵yC的最小值为－5，∴无论m取何值，点C都不能到达（0，－5）以下的位置．

（4）直线y＝kx－1的解析式为y＝2x－1，

当－（x－2）2＋m2＋2m＝2x－1时，

得x2－2x－（m2＋2m－3）＝0，

22－4×1×（m2＋2m－3）＝－4[（m＋1）2－5]，

∵L与直线y＝kx－1有两个公共点，∴（m＋1）2－5＜0，

∴适合条件的m的最大整数值是1.

2．解：

（1）当m＝－2时，抛物线解析式为：

y＝x2＋4x＋2，

令y＝0，则x2＋4x＋2＝0，

解得x1＝－2＋，x2＝－2－，

抛物线与x轴交点坐标为：

（－2＋，0），（－2－，0）；

（2）∵y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2＝（x－m）2＋2m＋2；

∴抛物线顶点坐标为A（m，2m＋2）．

∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），

∴当直线l在x轴上方时，

，不等式组无解；

当直线l在x轴下方时，

，解得－3＜m＜－1；

（3）由

（2）点A在点B的上方，

则AB＝（2m＋2）－（m－1）＝m＋3，

∴S△ABO＝（m＋3）（－m）＝－m2－m，

∵a＝－＜0，

∴当m＝－＝－时，S△ABO的面积最大，最大面积为.

3．解：

（1）D点的坐标为（2，2）；

（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得，

解得，所以二次函数的解析式为y＝－x2＋3x－1；

（3）由此时顶点E的坐标为（2，2），

得抛物线解析式为y＝－（x－2）2＋2

把y＝0代入得－（x－2）2＋2＝0，

解得x1＝2－，x2＝2＋，即N（2＋，0），M（2－，0），

所以MN＝2＋－（2－）＝2.

点E的坐标为（1，1），

得抛物线解析式为y＝－（x－1）2＋1，

把y＝0代入得－（x－1）2＋1＝0，

解得x1＝0，x2＝2，即N（2，0），M（0，0），所以MN＝2－0＝2.

点E在线段AD上时，MN最大，

点E在线段BC上时，MN最小；

当顶点E在正方形ABCD内或边上时，线段MN的取值范围是2≤MN≤2；

（4）当l经过点B，C时，二次函数的解析式为y＝－x2＋3x－1，c＝－1；

当l经过点A、D时，E点不在正方形ABCD内或边上，故排除；

当l经过点B、D时，，解得，

即c＝－2；

当l经过点A、C时，，解得，即c＝1；

综上所述：

l经过正方形ABCD的两个顶点，所有符合条件的c的值为－1，1，－2.

【例4】解：

（1）抛物线y＝－（x－h）2＋m的顶点坐标为（h，m），

∵点M在反比例函数y＝的图象上，

∴＝m，解得h＝1.

（2）∵m＝3，∴y＝，y＝－（x－h）2＋3.

将x＝1分别代入反比例函数解析式和抛物线中，可得

点Q的坐标为（1，3），点P的坐标为（1，3－（1－h）2），

∴点P在点Q的下方，

∵PQ≤1，

∴3－[3－（1－h）2]＝（1－h）2≤1，

则0≤h≤2.

针对训练

1．解：

（1）把B（4，1－m），C（6，－m）代入y＝，

可得：

，解得k＝12；

（2）由k＝12可得m＝－2，则B（4，3），C（6，2），

抛物线y＝－x2＋2bx的顶点A（b，b2），

当b＝4时，A点的坐标为（4，16），∴点A不能与点B重合；

（3）当抛物线y＝－x2＋2bx过点B（4，3）时，可得：

3＝－16＋8b，解得b＝；

当抛物线y＝－x2＋2bx过点C（6，2）时，可得：

2＝－36＋12b，解得b＝；

∴b的取值范围为≤b≤.

2．解：

（1）6，－6，（－，4）；

（2）①设直线MN：

y＝k1x＋b1，

由题意得：

，

解得k1＝1，b1＝－t2＋4t－，

∴直线MN：

y＝x－t2＋4t－，

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点M，N，

∴，

解得b＝－1，c＝5t－2，

∴抛物线解析式为y＝－x2－x＋5t－2，

∴顶点P（－1，5t－），

∵顶点P（－1，5t－）在双曲线y＝－上，

∴（5t－）×（－1）＝－6，

∴t＝，

此时直线MN：

y＝x＋，

联立，得x＋＝－，

∴8x2＋35x＋48＝0，

∴Δ＝352－4×8×48＝1225－1536<0，

∴直线MN与双曲线y＝－没有公共点．

②当抛物线过B点，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，

则4＝5t－2，t＝，

当顶点P在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，

则＝4，t＝，

∴t＝或t＝

③∵点P的坐标为（－1，5t－），

∴yP＝5t－，

当1≤t≤6时，yP随着t的增大而增大，

此时，当1≤t≤6时，随着t的增大，点P在直线x＝－1上向上运动．

又∵点F的坐标为（0，－t2＋4t－），

∴yF＝－（t－4）2＋，

∴当1≤t≤4时，yF随着t的增大而增大，

此时当1≤t≤4时，随着t的增大而增大，点F在y轴上向上运动．

∴1≤t≤4，

当t＝1时，直线MN：

y＝x＋3与x轴交于G（－3，0），与y轴交于H，

当t＝4－时，直线MN过点A，

当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为

S＝×（＋6）×4－×3×3＝.