届高考数学二轮复习专题《以几何图形为载体的应用题》.docx
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届高考数学二轮复习专题《以几何图形为载体的应用题》
专题38 以几何图形为载体的应用题
数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现．数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题（17或18题）的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点．本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题，常见的处理方法是结合实际问题，利用图形中的几何关系建立数学模型，应用相关数学知识予以解决.
如图38 1所示，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）．
图38 1
（1）探求△CPQ的周长l是否为定值；
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？
考查应用题是江苏的一大特色，除个别年份以外，每年的高考应用题都配有一个图形，其中以平面图形居多，本题也不例外，本题的解题思路是分析图形特征及已知条件，选择适当的变量，法一选用角度∠PAQ＝θ作为变量，注意到本题的图形特点，换元t＝tanθ后将题中的l和S表示为t的函数，最后利用函数知识求结果.
如图38 2所示，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD.现要在该区域内修建观赏景观，在△APQ区域和△CPQ区域中分别种花和铺设草坪，设三角形△APQ和△CPQ的面积分别为S1和S2，记视觉效果为Ω＝
（Ω的值越大，视觉效果越好），试问怎样设计该景观，使得游客观赏景观的视角效果最好？
图38 2
如图38 3所示，有一块矩形草坪ABCD，AB＝100米，BC＝50
米，欲在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF＝90°.
图38 3
（1）设∠BOE＝α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
并求出最低总费用．
（2020泰州模拟）如图38 4所示，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB.已知OA＝2km，∠AOB＝
.记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为ykm.
图38 4
（1）将y表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
（2020·常州模拟）某公园要设计如图38 5所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图38 6中所示的多边形ABCDEFGH），整体设计方案要求：
内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6m，两根竖轴CH＝DG＝1.2m，记景观窗格的外框（图38－6中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为lm.
（1）若∠ABC＝
，且两根横轴之间的距离为0.6m，求景观窗格的外框总长度；
（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5m，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度．
图38-5图38-6
（2019·江苏卷）如图38 7，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划要求：
线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：
百米）．
图38 7
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？
并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：
百米）．求当d最小时，P，Q两点间的距离．
（本小题满分14分）（2020·苏州模拟）如图38 10所示，B，C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角α＜θ＜
，其中锐角α的正切值为
航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h，车速为75km/h.
（1）试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式；
图38 10
（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．
（1）f（θ）＝
＋
，θ∈
；
（2）在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点，所用时间最少．
（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以∠BAP＝90°－θ，AB＝50，
则AP＝
＝
，BP＝50tan（90°－θ）＝
＝
.
…………………………………………………………………………………2分（求AP，BP用θ表示）
PC＝100－BP＝100－
.由A到P所用的时间为t1＝
＝
，
……………………………………………………………4分（求出A到P的时间t1（用θ表示））
由P到C所用的时间为t2＝
＝
－
，
……………………………………………………………………………6分（求出P到C所用的时间t2（用θ表示））
所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为
f（θ）＝t1＋t2＝
＋
－
＝
＋
.
…………………………………………………………………8分（求由A经P到C所用的时间关于θ的函数f（θ））
函数f（θ）的定义域为
，其中锐角α的正切值为
.
（2）由
（1），f（θ）＝
＋
，θ∈
，f′（θ）＝
，
令f′（θ）＝0，解得cosθ＝
，设θ0∈
，使cosθ0＝
………………………………………………………………10分（求f（θ）的导函数f′（θ）．并求出f′（θ）＝0时θ的值）
θ
（α，θ0）
θ0
f′（θ）
－
0
＋
f（θ）
减函数
极小值
增函数
表38 1
…………………………………………………………………………………………………12分（列表判断f（θ）的单调性）
所以如表38 1所示，当θ＝θ0时函数f（θ）取得最小值，此时BP＝
＝
≈17.68km，
答：
在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点，所用时间最少．
…………………………………………………………………14分（求出f（θ）的最小值以此时BP的值）
（注：
结果保留根号，不扣分）
答题模板 第一步：
在Rt△ABP中，求出AP，BP（用θ表示）；
第二步：
求出A到P的时间t1；
第三步：
用θ表示P到C所用的时间t2；
第四步：
写出A经P到C所用的时间关于θ的函数f（θ）；
第五步：
求f（θ）的导函数f′（θ），并求f′（θ）＝0时cosθ的值；
第六步：
判断f（θ）的单调性；
第七步：
由f（θ）的单调性得f（θ）取最小值时的cosθ的值进而求出BP.
作业评价
如图38 11所示，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
图38 11
（2018·江苏卷）某农场有一块农田，如图38 12所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
图38 12
（2019·南通二模）图38 14是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图38 15，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ（0<θ<
）．
（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k．现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：
当θ为何值时，总造价最低？
图38 14 图38 15
（2020·泰州模拟）如图38 17所示，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点．现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB.已知OA＝2km，∠AOB＝
.记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为ykm.
（1）将y表示为θ的函数，并写出θ的取值范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
图38 17
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