平面向量全部讲义全.docx

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平面向量全部讲义全

第一节平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念

（1）向量：

既有大小，又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.

（2）零向量：

长度为/的向量，其方向是任意的.

（3）单位向疑：

长度等于1个单位的向量.

（4）平行向量：

方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：

0与任一向量共线.

（5）相等向量：

长度相等且方向相同的向呈.

（6）相反向量：

长度相等且方向相反的向量.

例1.若向量a与方不相等，则a与方一定（）

A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量

例2..给出下列命題：

①若丨a=方，则a=b;②若儿B,C,〃是不共线的四点，则AB^DC等价于四边形力妙为平行四边形；③若a=b,b=c,则$=c；④£=b等价于冷=“且a//b；⑤若a//b.b"c、则allc.其中正确命題的序号是（）

A.②③B.①②C.®®D.@@

CA

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运

算

a

三角形法则

a

平行四边形法则

（1）交换律：

£+0=5+a；

（2）结合律：

（a+2>）+c=

a+（Z>+c）

减法

求a与2＞的相反向

量_b的和的运算

叫做a与力的差

a

三角形法则

0—方=占+（—方）

数乘

数久与向量a的积

的运算

（1）1心1=1久1|£;

（2）当4>0时，，la的方向

人（“£=（久〃）&；

（/I+〃）a=X“ax

与£的方向相同;当4<0A（a+b）=Ab时，人£的方向与£的方向

相反;当人=0时，Aa=o

例3：

化简旋一亦丽一筋得（）LABB.预C.BCD・0

例4：

（1）如图，在正六边形巾％中，BA+CD+EF=（

19—

⑵设D,£分别是的边/IB,BC上的点、,AD=-AB.BE=[BC•若DE=A^AB+A2AC（儿，仏为实数），则儿+九的值为

巩固练习：

1.将4（3&+2〃）—2（3—2a）化简成最简式为・

2.若\OA+OB\=励一屈则非零向為的关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.不确定

3.若菱形/L%卩的边长为2,贝UAB~CB+CD\=_

4.〃是△彳腮的边/仍上的中点，则向量页等于（）

A.-BC+^BAB.-BC-^BAC.BC-^BAD.BCBA

乙乙厶乙

5.若儿B、C、〃是平面任意四点，给出下列式子：

①AB+CD=BC+DA；②AC+BD=BC+AD；③走一BD=DC+AB•其中正确的有（）

A.0个B・1个C.2个D.3个

6.如图，在中，D、E为边丽的两个三等分点，Z>l=3a,CB=2b.求页CE.

Dd|巩固练习1。

16a+62>2。

C3。

24。

A5。

C6.解：

AB=AC+CB=-?

>a^2b,•:

D,E为乔

innnn

的两个三等分点，:

.AD=^AB=-a^b=DE.:

.CD=CA+AD=3a-a+^b=:

.CE=CD+DE=2a+^b~a+

kj<5oou

2,4

3.共线向量定理：

向量a（aH6与〃共线等价于存在唯一一个实数人，使得b=Xa.

例5・已知8与5是两个不共线向量，且向量与一（0—3Q共线，则4=

例6・设两个非零向量8与方不共线，

（1）若AB=a+b.BC=2a+8b.CD=3（a-b）.

求证：

A,B,〃三点共线.

（2）试确定实数使ka+b和a+肋共线.

巩固练习：

1.给出下列命题:

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.③^a=0（4为实数），则4必为零.④人，“为实数，若％a=“k则a与b共线.其中错误的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

・・•1・■■'・•

4如图，在△宓中，厶=60。

‘厶的平分线交必于〃，若初=4,且AD=?

AC+4AB（疋R）,则“

的长为（）

K.2^3B.C.4、信D.5^3

5.在口ABCD申、AB=£,AD=b,AN=3NC，•“为腮的中点，则MN=

3b表）•

6•设点〃是线段必的中点，点力在直线滋外，BC2=16,AB+AC=iAB-AC，则AM|=

例5.例6.［解］

（1）证明：

•/AB=a+AtBC=2^+8方，CD=3（a—b）♦

又•••它们有公共点B、：

人B、〃三点共线.

（2）'：

ka+b与a+好共线，.•.存在实数儿使ka+b=A（a+kb）,

即加+方=Aa+Akb.:

.（k-A）a=（Ak-l）b.Va,方是不共线的两个非零向量,

6

1-4

4

a

1-4

4・向量的中线公式：

若P为线段M的中点，0为平面一点，则OP=^（OA+OB）.

5・三点共线等价关系

仏〃三点共线oAP=A~AB（人H0）o丽=（1一力•页+E丽（0为平面异于A,P,B的

任一点，tGR）<=>OP=xOA+yOB（0为平面异于力，P,0的任一点，xWR,yWR,x+y=l）・

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理

如果e,3是同一平面的两个不共线向量,那么对于这一平面的任意向量a,有且只有一对实数儿，九，使*=

久i£i+Aze：

・

其中，不共线的向量8,&叫做表示这一平面所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：

设8=5,戸），*（X2,%）,

则力+〃=（山+屜口+於），a~b—（X）—A2»y\—y2）♦久召=（人m久口），f=寸兀+话・

（2）向量坐标的求法：

1若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

2设yj,Bh旳），则AB=（A2—ati,72—yi）,AB=~云二7~M-~yi~y\~・

3.平面向量共线的坐标表示

设a=（xuyj,b=lx”乃），其中bHO.a〃戻x’一上力=0・

例7・若J（0,l）,Ml,2）,f（3,4）,则肋一2花=

例8•已知点"（5,—6）和向＜a=（l,-2）,若MN=-3a.则点川的坐标为（）

CA=c.

（1）求3a+£>—3c；

例9・已知/1（一2.4）,M3,一1）,0—3,—4）・设AB=a,BC=b.

（2）求满足&=nc的实数仍，n.

巩固练习：

1.若向量3=（1,1）,〃=（—1.1）,c—（4,2）>则c=（）A.3a+bB.3a~bC・—a+32>D.a

+3b

2.已知向ta={xty）,/>=（-1.2）,且a+A=（1.3）,则la等于（）A.、卩B.、扫C.、币D.血

3.已知向ta=（-3,2）.b=（x,-4）,若a〃b,则x=（）A.4B.5C・6D・7

4•设点川2,0）,駅4.2）,若点戶在直线M〃上，且|S|=2AP\9则点户的坐标为（）

A.（3,1）B・（1,-1）C・（3.1）或（1,-1）D.无数多个

5.已知a=（l・2）,0=（—3,2）,当ka+b与&一3〃平行时，k=（）A.扌B.一扌C.一+D.*

6.已知向疑a=（cos〃，sin"）,向量&=（、/§,—1）,则2a~b的最大值、最小值分别是（）D

A.4^2,0B・4迄，4C.16,0D.4,0

7.已知向

8.已知向

•例7・（-3,-3）例8.A例9•解：

由已知得8=（5,-5）,5=（—6,-3）,c=（l,8）.

（1）3a~F5—3c=3（5,—5）+（—6,—3）—3（1,8）=（15—6—3,—15—3—24）=（6,—42）.

—6z?

?

4-n—5,m=—1,

（2）mb~\-nc—（―6zH-/7»—3/H-8/?

）,解得"

.—3刃+8/?

=—5,1〃=—1.

BCCCCD2a—b5

平面向量基本定理及其应用：

如果，那么对这一平面的任一向量❺有且只有一对实数儿，仏，使a=儿&

+久迢，其中&,3是一组基底.

ff-=LI|

特别注意：

若e，2•是同一平面的两个不共线向量，"=人心+人2®,b=卩口十禺5则g=“O"乂2=“2

例10：

（1）如图，平面有三个向tai,渤，OC9其中鬲与厉的夹角为120。

励与旋的夹角为30。

且OA\=\OB

1=1,旋1=2心，若0C=A0/1+hOB{A9“WR）,则/{+“的值为

（3）.如图，巳知c为AOAB边AB上一点，且AC=2CB.0C=niOA+hOB（ikneR）^则〃山二

变式训练：

1•在ZkABC中，已知D是AB边上一点■若AD=2DB9CD=^CA+ACB■则几=

2..设〃，E分别是△彳％的边力〃，力上的点，AD=^AB,腮=|处若亦=久屈+仏庞'（几九为实数），则八

+仏的值为.^

3—1—

3•若M为MBC—鼠且满足AM=-AB+-AC9则MBM与AABC的面积之比为・

44

4••若点〃是△/!

腮所在平面的一点，且满足5乔=肋+3龙则矽与的面积比为（）C

24—

例10：

6-a+-b9Ao1：

4C

33八2

平面向量共线的坐标表示

例11・已知七=（1・2）,Z>=（-3.2）,当实数&取何值时，ka+2b与站一历平行？

练习」・已知向量&=（2,3）,&=（—1.2）,若（備+/仍）〃（占一2刃，则岂等于（）Cn

11

A.-2B.2C・一；D-

3.平面给定三个向

（1）求满足a=mb^nc的实数皿/?

;

（2）若（a+kc）//

（2b—a）,数斤;

例11•解法一：

•••2a—4方H0,•••存在唯一实数At使ka+2b=A（2a~4b）.将①b的坐标代入上式，得伙一6.2&+4）=人（14,-4）,得A-6=144且2&+4=—4人，解得k=—L

（A-24=0,

解法二：

同法一有仙+2/>=人（2叶45）,即a-2/l）a+（2+4zl）/>=0.Va与方不共线，二「

（2+44=0.

_5

/7=9,

（2）a+/cc=（3+4匕2+幻，2b~a=（-5,2）,由题意得2X（3+40—（-5）X（2+A）=0.:

.k=-—

2.平面向量的数呈积

⑴平面向量的数量积的定义：

叫作向量£和方的数量积（或积），记作a・b=•可见，zb

是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos0（|引cos砒叫作向董◎在〃方向上Q在£方向上）的投影•

（2）向量数量积的运算律

（Da•b=（交换律）②（召+为•c=（分配律）③（人a）•b==a^（人力（数

乘结合律）.

3.平面向量数量枳的性质：

已知非零向量m）,b=@,b）

性质

几何表示

坐标表示

定义

a■b=a引cos

a•b=8\th+ob

模

a•a=a'或al=yja•a

1a1=Ja：

若力（m7i）,Bg咒），则AB=

（X2—Xi,/—/）

卜冲=寸（疋一禺尸+仏一y】）~

a丄方

的等价条件

a•6=0

3iZ?

i+a2&=0

•夹角

/八ab

cosD）—

1al|p|

（Id1方|H0）

…小_⑷勺+①血

cosb）「一（

Jd；卩；+Z?

2

a•b与£5的关系

18•引Wlai1bl

1qb]+a2b21

+b;

1.平面向量数量积的运算

例1

（1）在等边三角形中，〃为/矽的中点，必=5,求ABBCt|CD|；

（2）若a—（3f—4）,b—（2,1）,求（a~2b）•（2爲+3方）和a+2b\.

变式训练

1.已知下列各式：

①az=a;②一=";③（a•b）'=8b‘;④（a-A）J=a—2a•b^b\其中正确的有"（）・

aa

A・1个B.2个C・3个D・4个

—>—>—>—>—>—>—>->—>—>—>—>—>

2•下列命题中：

①a・（b-c）=a・b-a・c；②a・（b・c）=（a・b）・c

（a-b）1Mai2-2lal-lJl+IM2；

④若a・Z?

=O,则a=0或Z?

=0；⑤若a-b=c-b,则。

=0；其中正确的是（答：

①）

3•已知p|=2,|S|=3,a与啲夹角为120笃求（l）a（2滋_庆；（3）（2a-b）

4••已知a=3.b=4,q与b的夹角为—，求（3a—b）・（a+2b）。

4

5.已知&=（1,一3）,b=（4,6）.c=（2.3）,则lb・沁等于（）.

A.（26,-78）B.（-28,-42）C.-52D.-78

二、求平面向量的模

例2.

（1）设向量乔满足|^|=p|=1及悴一2可=3,求悴+可的值

（2）设平面向疑玄=（1・2）,5=（—2,y）,若a//b.则3a+b等于（）.

A./B.&C.如D.^26

变式训练

1.已知n1=2.b-=-3,则丨万+方I二・a-b!

=,

2.

（答：

-9）；

若向量a,b满足a=1,b\=2且a与b的夹角为~p则a+b—

3.

AABC中，I1=3,I忌1=4，I頁1=5，则ABBC=

⑴求“b及爲+方；

（2）若f（0=£•方一〈+方，求fd）的最大值和最小值.

三、求夹角

例3已知自=4,b=3,（2玄一3方）•（2a+b）=61.

（1）求爲与方的夹角

变式训练：

1.已知|«|=1»b=y/2,且方-码方垂直，求方与S的夹角。

2.若方力是非零向量且满足（a-2b）丄〃，©—2方）丄方，则刁与乙的夹角（

A.

5/r

T

3•已知是两个非鑒向量，且a=b=a-b,则a^a+b的夹角为（答：

30）

4、已知方=（6,0）,厶=（_5,5）,则7与方的夹角为（）

A、45°

B、60°

D、120°

12

5•已知心讣4（0弓,1+认—，窗的夹角为'则疣于（答:

1）;

6•已知I：

|=3,1^1=5,且:

・7=12,则向量:

在向量7上的投影为（答:

四。

利用数量积解决垂直问題

例4若非零向量云、云满足p+^=p—料，证明広丄B

变式训练：

__b3

1•已知OA=（-\.2）.OB=（3jn）,若①丄089则加=（答：

-）；

2

2.以原点0和A（4,2）为两个顶点作等腫直角三角形OAB,ZB=90°,则点B的坐标是（答：

（1,3）或（3,

-1））；

3.

（答：

&一“）或（"山））

已知〃=（a、b）,向量〃丄zn,且幵=m9则m的坐标是

4.已知禺方是平面两个互相垂直的单位向量，若向疑c满足c）•（方一c）=0,则|c|的最大值是（）答案：

B

九⑴B.花C•羽D.&

5•在ZkABC中，AB=（293）,AC=（1,且ZkABC的一个角为直角，求&值•

五：

求夹角围

例5

（1）已知1方1=21力工0,且关于x的方程x2+\a\x+ab=0有实根■则方与乙的夹角的取值围是（）

（2）已知匚=（入2/1）,7=（3入2）■如果:

与了的夹角为锐角，则2的取值围是

变式训练.

1.设平面向量：

=（一2,1）,&=（入，-1）,若：

与方的夹角为钝角，则入的取值围是（）答案：

A

A、（一］,2）u（2,+oc）B.（2,+co）C、（一g,+oc）D、（-co-l）

222

'•1-yj3•'

2•已知△OFQ的面积为S,且OF・F0=1,若-

乙厶

六、向量与三角综合应用

例6.设a=（cosa,（2-1）sina）,b=（cosp,sin^）,（2>0,0

————

a-b互相垂直.（I）数兄的值；（II）若a-b=-9且tan0=_,求tana的值.

变式训练.设万=（1+cosa,sina）,5=（1-cos0,sin0）,c=（h0）♦其中ae（0,^）>0w（”,2”），厅与©的

.夹角为q,b与U的夹角为&2，岂&］一&2=壬，求sin冬J"的值。

【答案】

-naaaaf、卩卩卩000

a=（2cos~—,2sinacost?

）=2cos—（cos—,sin—）b=（2sirr—,2sin—cos—）=2sin—（sin—,cos—）

2222222222

因为aw（0,兀）,0e（/r,2”），所以—e（0,—）,—e（―,^）,故a=2cos^,H=2sin-y,

222222

2cos~—

2

2cos—

2

=cos—

COS&=

ff

b・c

h-c

2sin诗

2sin

因为o<2一兰v?

所以已=2-兰，又q—&=兰，所以--^+-=-t

222-22「62226

-a_卩兀.a_卩・兀1

故=•所以sin=sin（）=—o

23462