有理数知识点及易错常考题.docx

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有理数知识点及易错常考题

海豚教育个性化教案

第二章有理数

〖知识点〗

知识点一：

正数和负数

概念：

比0小的数是负数，比0大的数是正数，0既不是正数，也不是负数

注意：

①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：

带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

典型例题：

某人转动轮盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？

知识点二：

有理数的有关概念

概念：

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

典型例题：

把下列各数填在相应的大括号里：

5，

，－3，

，0，2010，－35，6.2，－l．

正数集合：

{…}；负数集合：

{…}；

自然数集合：

{…}；整数集合：

{…}；

分数集合：

{…}；负分数集合：

{…}．

知识点三：

有理数的分类

概念:

有理数的分类:

①

②

总结：

①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

典型例题:

1、下列说法中正确的是………………………（）

A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，不是自然数

C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数

2、下列说法中不正确的是………………………………（）

A．－3.14既是负数，分数，也是有理数

B．0既不是正数，也不是负数，但是整数

C．－2000既是负数，也是整数，但不是有理数

D．0是非正数

知识点四：

数轴

概念:

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线

注意：

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

典型例题:

在数轴上画出下列各点，它们分别表示：

＋3，0，－3

，1

，－3，－1.25并把它们用“＜”连接起来

知识点五：

数轴上的点与有理数的关系

概念:

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

典型例题:

1、在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，

则与此位置相对应的数是____．

2、与原点距离为2.5个单位长度的点有____个，它们表示的有理数是____．

知识点六：

绝对值与相反数

概念:

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。

）

②a≤0，<═>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。

）

3.相反数定义：

符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，0的相反数是0

典型例题:

1、若｜x-2|+|y-3|=0，则x=,y=。

2、已知

与

互为相反数，求m的值．

知识点七：

有理数的加法和减法

概念:

有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

a+b=b+a；

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）.

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

典型例题:

⑴（+3.41）－（－0.59）⑵

⑶-

-

+

-

+

⑷（+0.125）-（-3

）+（-3

）-（-10

）-（+1.25）

知识点八：

有理数的乘法和除法

概念：

有理数的乘法法则：

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

法则二：

任何数同0相乘，都得0；

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

有理数的乘法运算律：

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即（ab）c=a（bc）.

⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·

=1（a≠0），就是说a和

互为倒数，即a是

的倒数，

是a的倒数。

有理数的除法法则：

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0

典型例题：

1、

2、

3、

知识点九：

有理数的乘方

概念：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

典型例题：

计算：

1、

=___________。

2、

=_________。

3、计算：

的值是（）

A．－l2B．0C．－18D．18

知识点十：

科学计数法

概念：

把一个大于10的数表示成

的形式（其中

，n是正整数），这种记数法是科学记数法。

有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

典型例题：

1、用科学记数法表示0.0625，应记作（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2、1999年国家财政收入达到11377亿元，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

知识点十一：

有理数的混合运算

概念：

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

典型例题：

（1）、

（2）、

（3）、

〖易错常考题〗

1．在下列各组中，哪个选项表示互为相反意义的量（　　）

A．足球比赛胜5场与负5场B．向东走3千米，再向南走3千米

C．增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食D．下降的反义词是上升

2．下列说法错误的是（　　）

A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数

C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数

3、把下面的有理数填在相应的大括号里：

（★友情提示：

将各数用逗号分开）15，

，0，﹣30，0.15，﹣128，

，+20，﹣2.6

正数集合﹛　…﹜

负数集合﹛　　…﹜

整数集合﹛　　…﹜

分数集合﹛　　…﹜

4、（2009•绍兴）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（　　）

A．9＜x＜10B．10＜x＜11C．11＜x＜12D．12＜x＜13

5、在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（　　）

A．1B．3C．±2D．1或﹣3

6、如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣2和1，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是（　　）

A．﹣0.5B．﹣1.5C．0D．0.5

7、如图，数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3，0，2.5，5，﹣6，

回答下列问题．

（1）O、B两点间的距离是　　．

（2）A、D两点间的距离是　　．

（3）C、B两点间的距离是　　．

（4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，

那么用含m，n的代数式表示A、B两点间的距离是　　．

8、若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（　　）

A．﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或2

9、若

=﹣1，则a为（　　）

A．a＞0B．a＜0C．0＜a＜1D．﹣1＜a＜0

10、若ab＞0，则

+

+

的值为（　　）

A．3B．﹣1C．±1或±3D．3或﹣1

11、已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c|等于（　　）

A．﹣1B．0C．1D．2

12、已知|a|=3，|b|=5，且ab＜0，那么a+b的值等于（　　）

A．8B．﹣2C．8或﹣8D．2或﹣2

13、已知a，b，c的位置如图，化简：

|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|=　　．

14、用科学记数法表示9349000（保留2个有效数字）为　　．

15、据国家统计局发布的《2008年国民经济和社会发展统计公报》显示，2008年我国国内生产总值约为256700亿元，这个国内生产总值用科学记数法可表示为（）

A．2.567×105亿元B．0.2567×106亿元

C．25.67×104亿元D．2567×102亿元

16、在有理数－3，0，20，－1．25，

，

，－（－5）中，正数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4

17、计算

（1）

（2）

（3）

（4）