初中数学八年级人教版《1121三角形的内角》学历案.docx

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初中数学八年级人教版《1121三角形的内角》学历案

第十一章三角形

《11.2与三角形有关的角》

《11.2.1三角形的内角》学历案

【学习主题】11.2.1三角形的内角

【学习课时】1课时

【课标要求】

探索并证明三角形的内角和定理.

【学习目标】

1.探索并证明三角形内角和定理.

2.能够直接利用三角形内角和定理求出三角形中未知内角的度数或找到角之间的关系.

3.能够运用方程思想和整体思想求角的度数或找到角之间的关系.

【评价任务】

标准

方式

能够直接利用三角形内角和定理求出三角形中未知内角的度数或找到角之间的关系

活动三、四+达标检测1、3、4

能够运用方程思想和整体思想求角的度数或找到角之间的关系

活动三、四+达标检测1、2、3、5

掌握“8字形”中角之间的数量关系，能够添加辅助线构造“8字形”解决问题

活动四

【学习过程】

【资源与建议】

1.本节课在学生学习了与三角形有关的概念、三角形的三边关系后，继续研究三角形内角的关系.学生已经知道三角形的内角和是180°这一结论，所以本节课的重点是对这一结论的理论证明.证明三角形内角和需要添加辅助线，这是学生第一次遇到添加辅助线证明定理的问题.由于辅助线的添加是一种尝试性活动，规律性不强，学生在学习过程中会感到困难.在本节课的学习中，教师可以让学生通过度量、折一折、剪图拼图等办法，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路，证明定理，有意识地培养学生的说理能力，逻辑推理能力，语言表达能力，让学生体会数学辅助线的桥梁作用.本节课在潜移默化中渗透了初中阶段一个重要的数学思想——转化思想，为学生学好初中数学打下坚实的基础.

2.本主题的学习流程：

复习回顾三角形的内角和→提出问题，实验探索三角形内角和定理的推导证明→直角三角形的锐角关系及直角三角形的判定方法→典例分析，掌握常考题型做题思路和方法→归纳总结本节课的学习重点→练习巩固本节课所学内容.

3.重点难点：

（1）三角形内角和定理的证明及应用.

（2）辅助线的添加方法.

一、学习准备

1.回忆小学对于三角形内角和的认识.

2.通过预习，思考三角形内角定理的证明方法，找到存在疑问的地方.

二、学习新知

活动一复习回顾（指向目标1）

问题1：

小学时，我们曾经用实验的方法得到了三角形的内角和为180°，现在思考并和同学交流一下，实验是怎样验证三角形的内角和是180°的？

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问题2：

运用度量的方法得出的三个角的和都是180°吗？

为什么？

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活动二提出问题（指向目标1）

问题1：

通过以前的学习，你能发现证明三角形内角和定理的思路吗？

根据自己的思路，并给出证明的示意图.

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问题2：

如果这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理，还能得到怎样的结论？

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问题3：

反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

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问题4：

你能否按照三角形的角，把三角形进行分类吗？

如何分类？

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活动三典例分析（检测目标1、2、3、4）

例1（目标3）已知一个三角形的三个内角的度数比为3：

5：

7，求这三个内角的度数.

【分析】已知三个内角的比，又由三角形内角和为180°列方程即可解决这个问题.唯一值得注意的是未知量的设法，如果设某个内角计算比较麻烦，这里可以利用这种比例关系的标准设法，以比例系数作为未知数.

例2（目标3）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高.求∠DBC的度数.

【分析】∠DBC在△BDC中，∠BDC=90°，为求∠DBC，应先求出∠C.∠C还在△ABC中，△ABC中三个内角的关系已经给出，利用任意三角形内角和都是180°这个等量关系，列方程可求出∠C的度数.

例3（目标3）如图，AD，BE，CF为△ABC的三条角平分线，AD，BE，CF交于I.求∠1+∠2+∠3的度数.

【分析】根据题目条件，我们不可能求出每个角的度数.利用整体思想找到∠1+∠2+∠3与三角形内角和的关系，就可以解决问题.

例4（目标2）如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37°.求∠D的度数.

【分析】图形中不仅有三角形，还有平行线、垂直关系，这些都为我们求角的度数提供了线索和依据.直角三角形的两锐角互余，平行线会得到内错角（同位角）相等、同旁内角互补，我们只需将∠D与这些角放入同一三角形中，或者将∠D转化为这些角的相等角（或互补的角）进行求解即可.

例5（目标3）已知：

AB∥CD，EF分别交AB，CD于G，H，GM，HM分别平分∠BGH，∠DHG.求证：

GM⊥HM.

例6（目标2）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？

【分析】北偏东50°，北偏东80°等指的是图中的哪个角？

要想求∠ACB，①直观的想法是求出∠CAB和∠CBA各是多少，即可解决.②我们注意到这个图有些像在证明三角形内角和定理时的一种辅助线添加后的形状，如果过点C作CF∥AD，进行处理.

例7（目标2、3）已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点.

（1）根据上述定义，判断对错：

①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点；

②任意的三角形都存在等角点.

（2）探究：

图1中∠BPC，∠ABC，∠ACP之间的数量关系，并说明理由.

（3）如图2，在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点.求该三角形的三个内角的度数.

分析：

（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；

（2）根据△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC进行推导，即可得出∠BPC，∠ABC，∠ACP之间的数量关系；

（3）先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即可得出三角形的三个内角的度数.

活动四练习巩固（指向目标3）

1.（目标2）如图，求出下列三角形中未知角α的度数.

2.（目标2）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.那么图中与∠A相等的角是_______.

3.（目标2）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC于点D.

（1）若∠ABD=40°，求∠C的度数；

（2）若∠DBC=α，求∠A的度数.（用含α的式子表示）

4.（目标2）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=10°，∠B=50°.求∠C的度数.

5.（目标2）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”.

如图，∠MON=60°，在射线OM上找点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C.

（1）∠ABO为_____°，△AOB________（填“是”或“不是”）智慧三角形.

（2）若∠OAC=20°，求证：

△AOC为“智慧三角形”；

（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数.

活动五归纳总结、方法提升（指向目标3）

（一）归纳总结

1.本节课学习了哪些主要内容？

2.为什么要用推理的方法证明三角形内角和等于180°？

3.你是怎样找到三角形内角和定理的证明思路的？

4.运用三角形内角和是180°，你又得到哪些结论？

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（二）方法提升

1.在证明三角形内角和时，你用到了什么思想方法？

2.在解决有关三角形角度的计算时，我们还经常用到什么思想方法？

3.当解决问题时发现图形中的条件不足，该如何解决？

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【达标检测】

1.（目标2、3）已知，在△ABC中，

（1）如果∠A=90°，∠C=55°，则∠B________.

（2）如果∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则∠A=________，∠B=_________，∠C=____，此三角形为__________三角形.

（3）如果∠A=60°，∠B-∠C=24°，则∠B=______，∠C=________.

（4）如果∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，则∠A=_______，∠B=______，∠C=________.

（5）∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为________.

2.（目标3）在△ABC中，∠A-∠B=∠B-∠C=15°.求∠A，∠B，∠C的度数.

3.（目标2、3）如图，在△ABC中，∠A=

∠C=

∠ABC，BD是角平分线.求∠A及∠BDC的度数.

4.（目标2）如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=160°.求∠EDF的度数.

5.（目标3）如图，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=50°，求∠EDF的度数.

【能力提升】

1.（目标2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.

（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；

（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？

若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.

2.（目标2、3）

（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，且BC∥EF，已知∠A=30.则∠ABD+∠ACD=______.

（2）如图2，∠BDC与∠A，∠B，∠C之间有什么关系？

请说明理由.

（3）灵活应用：

请你直接利用以上结论，解决下列问题：

如图3，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=40°，∠BDC=120°.求∠BEC的度数.

【拓展延伸】

1.如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系_________；

（2）在图2中，“8字形”的个数为_________个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°.求∠P的度数；

（4）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变.则∠P与∠D，∠B之间存在怎样的数量关系？

请说明理由.

2.问题情境：

如图1，把一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.则∠ABP与∠ACP之间是否存在某种确定的数量关系？

（1）特殊探究：

若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠PBC+∠PCB=_______，∠ABP+∠ACP=________；

（2）类比探索：

请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系；

（3）类比延伸：

如图2，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C.则

（2）中的结论是否仍然成立？

若不成立，请直接写出你的结论.

【学后反思】

1.本节课学习的知识要点是：

2.我的达标情况：

3.自己需要求助的困惑或分享自己如何学会的经验：