大学物理习题答案第2章质点动力学doc.docx
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大学物理习题答案第2章质点动力学doc
质点动力学习题答案
2-1
一个质量为
P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为
）上以初速度
v0运动，
v0的方向
与斜面底边的水平线
AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道
.
解:
物体置于斜面上受到重力
mg，斜面支持力
N
.建立坐标：
取
v0方向为
X
轴，平行斜
面与
X
轴垂直方向为
Y轴.如图
2-1.
图2-1
X方向：
Fx
0
xv0t
①
Y方向：
Fy
mgsin
may
②
t
0时
y0
vy
0
y
1
gsin
t2
t，得
2
由①、②式消去
y
1
2
gsin
x2
2v
0
2-2
质量为m的物体被竖直上抛，初速度为v0，物体受到的空气阻力数值为
fKV，K为
常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.
解：
⑴研究对象：
m
⑵受力分析：
m受两个力，重力P及空气阻力f
⑶牛顿第二定律：
合力：
FPf
Pfma
y分量：
mg
KV
mdV
dt
mdV
dt
mg
KV
即
mg
dV
1dt
KV
m
v
dV
t
1dt
v0
mg
KV0
m
1lnmgKV1dt
KmgKV0m
Kt
mgKVem（mgKV0）
1
Kt
V
m
（mgKV0）e
K
1
mg①
K
V
0时，物体达到了最高点，可有
t0为
t0
m
mgKV0
m
ln（1
KV0
）
②
ln
mg
K
mg
K
∵V
dy
dt
∴dy
Vdt
1
K
1
y
t
t
t
mgdt
dy
Vdt
（mgKV0）em
K
0
0
0
K
m2（mg
K
t
1mgt
y
KV0）em
1
K
K
m（mg
K
t
1mgt
KV0）1
em
③
K2
K
tt0
时，y
ymax，
Km
KV0
）
ln（1
ymax
m2（mgKV0）1emK
mg
K
1
m
KV0
）
mg
ln（1
mg
K
K
m
1
m2
KV0
K2（mg
KV0）1
mgKV0
K2gln（1
mg
）
mg
m（mg
KV0）
KV0
m2gln（1
KV0）
K2
mg
KV0
K2
mg
mV0
m
2
KV0
）
K
K2
gln（1
mg
2-3一条质量为m，长为l的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一
段长度被推出桌子边缘，
在重力作用下开始下落，
试求链条刚刚离开桌面时的速度.
解：
链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为
m
xg，
l
根据牛顿定律，有
F
mxgma
l
mxg
mvdv
图2-4
通过变量替换有
l
dx
x0,v
0，积分
lm
v
xg
mvdv
0
l
0
由上式可得链条刚离开桌面时的速度为
vgl
2-5升降机内有两物体，质量分别为
m1和m2，且m2＝2m1．用细绳连接，跨过滑轮
绳子
不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速
a＝1g上升时，求：
2
（1）
m1和m2相对升降机的加速度．
（2）在地面上观察m1和m2的加速度各为多少
解:
分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图所示．
（1）设m2相对滑轮（即升降机）的加速度为a，则m2对地加速度a2
aa；因绳不可伸
长，故m1对滑轮的加速度亦为
a，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，
所以m1
在水平方向对地加速度亦为
a，由牛顿定律，有
m2gT
m2（aa）
T
m1a
题2-5图
联立，解得ag方向向下
（2）m2对地加速度为
a2aa
g
方向向上
2
m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即
a绝
a相'
a牵
∴
a1
a2
a2
g2
g2
5g
4
2
arctana
arctan1
26.6o，左偏上．
a
2
2-6
一物体受合力为
F
2t
（SI），做直线运动，试问在第二个
5秒内和第一个5
秒内物体
受冲量之比及动量增量之比各为多少
解：
设物体沿+x方向运动，
I1
5
5
25N·S（I1沿i方向）
Fdt
0
2tdt
0
10
10
2沿i
I2
Fdt
5
2tdt
75N·S（I
方向）
5
I2/I1
3
I2
（
p）2
∵
（
p）1
I1
∴（
p）2
3
（
p）1
2-7
一弹性球，质量为
m
0.020kg，速率v
5m/s，与墙壁碰撞后跳回.设跳回时速率不
变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为
60，⑴求碰撞过程中小球受到的冲
量I?
⑵设碰撞时间为
t
0.05
s，求碰撞过程中小球
受到的平均冲力F
?
解:
Ix
mv2x
mv1x
mvcos
（mvcos
）
2mvcos
Iy
mv2y
mv1y
mvsin
mvsin
0
I
Ixi
2mvcosi
2
0.0205
cos60
i
0.10iN·S
2-9
一颗子弹由枪口射出时速率为
v0m
s1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F=（a
bt）N（a,b为常数），其中t以秒为单位：
（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
（2）求子弹所受的冲量．（3）求子弹的质量．
解:
（1）由题意，子弹到枪口时，有
F
（a
bt）
0,得t
a
b
（2）子弹所受的冲量
I
t
bt）dt
at
1bt2
（a
0
2
a
将t
代入，得
b
a2
I
2b
（3）由动量定理可求得子弹的质量
I
a2
m
2bv0
v0
2-10木块B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如图所示.已知mA
0.25kg，
mB＝0.75kg，小木块A与木块B之间的摩擦因数
1＝，木板B与台面间的摩擦因数
2＝.
现在给小木块A一向右的水平初速度
v0＝40m/s，问经
过多长时间A、B恰好具有相同的速度（设B板足够长）
图2-10
解：
当小木块
A以初速度v0向右开始运动时，它将受到木板
B的摩擦阻力的作用，木板
B则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动
.如果将木板B与小
木块A视为一个系统，A、B之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与
木板B之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量
.设经过t时间，A、B
具有相同的速度，根据质点系的动量定理
Fk
t（mA
mB）vmAv0
Fk2（mA
mB）g
再对小木块
A单独予以考虑，
A受到B给予的摩擦阻力
FK'
，应用质点的动量定理
Fk'tmAvmBv0
以及
Fk'
1mAg
解得
v
mA
1
v0
v0v
（
2）
t
mA
mB
12
1g
代入数据得
v
2.5m/s
t=
2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，如图
2-11所示.已知两木
块的质量分别为
m1和m2，子弹穿过两木块的时间各为
t1和
t2，设子弹在木块中所受的阻力为恒力
F，求子弹穿过后，
两木块各以多大速度运动.
图2-11
解：
子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1，初始两木块静止，由动量定理，
于是有
Ft1（m1m2）v10
设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2，对第二块木块，由动量定理有
Ft2m2v2m1v1
解以上方程可得
v1
Ft1,v2
Ft1
Ft2
m1m2
m1m2
m2
2-12一端均匀的软链铅直地挂着，
链的下端刚好触到桌面.如果把链的上端放开，
证明在链
下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量
.
解：
设开始下落时t
0，在任意时刻t落到桌面上的链长为x，链未接触桌面的部分下落
速度为v，在dt时间内又有质量
dm
dx（为链的线密度）的链落到桌面上而静止.根
据动量定理，桌面给予
dm的冲量等于
dm的动量增量，即
IFdtvdmvdx
所以
F
vdx
v2
dt
由自由落体的速度
v2
2gx
得
F
2
gx
这是t时刻桌面给予链的冲力
.根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力
F'
F，F'方向向下，
t时刻桌面受的总压力等于冲力
F'和t时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以
N
F'
xg3xg
所以
N
3
xg
即链条作用于桌面上的压力
3倍于落在桌面上那部分链条的重量.
2-13一质量为50kg的人站在质量为100kg的停在静水中的小船上，
船长为5m，问当人从船
头走到船尾时，船头移动的距离.
解:
以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒
设人的质量为m，船的质量为M，应用动量守恒得
mv+MV=0
其中v，V分别为人和小船相对于静水的速度，
m
可得V=-v
M
人相对于船的速度为
v'
v
V
M
mv
设人在t时间内走完船长
l，则有
M
t
'
tM
m
M
m
t
l
v
dt
vdt
vdt
0
0
M
M
0
x
t
在这段时间内，人相对于地面走了
vdt
0
所以x
Ml
M
m
ml
5
船头移动的距离为
x'
l
x
M
m3
2-14质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上，
质量为m，速度v0的子弹水平地射入木块，
并陷在木块内与木块一起运动.求：
（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；
（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；
（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量.
解：
子弹相对木块静止后，其共同速度设为u，子弹和木块组成系统动量守恒
（1）mv0（mM）u
mv0
所以u
mM
Mmv0
PMMu
mM
m2v0
（2）子弹的动量Pmmu
mM
（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为
I
PM
0
Mm
Mm
v0
2-15质量均为M的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为
一辆车，接着又以相同的速率跳回来.试求两辆车的速率之比
.
m的人自一辆车跳入另
解：
质量为m的人，以相对于地面的速度v从车A跳到车B，此时车A得到速度u1，
由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得
mvMu1
人到达车B时，共同得速度为u2，由动量守恒得
（Mm）u2mv
人再由车B以相对于地面的速度v跳回到车A，则车B的速度为u2'，而车A与人的共
同速度为u1'，如图所示，由动量守恒得
Mu2
'
mv
（Mm）u2
（M
m）u1'
mv
Mu1
2mv
2mv
联立方程解得：
u'
u'
2
M
1
Mm
所以车B和车A得速率之比为
u2
'
M
m
u1'
M
2-16体重为P的人拿着重为
p的物体跳远，起跳仰角为
，初速度为v0.到达最高点时，
该人将手中的物体以水平向后的相对速度
u抛出，问跳远成绩因此增加多少
解：
人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，
注意到对地面这个惯
性参考系
（m
m'）v0cos
mvm'（v
u）
v
v0
cos
m'
'u
mm
从最高点到落地，人做平抛运动所需时间
v0sin
t
g
跳远距离增加为
s
（v0cos
m'
v0cos
t
m
'u）t
m
m''ut
p
uv0
sin
m
m
P
p
g
2-17铁路上有一平板车，其质量为
M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动
.现有N个
人从平板车的后端跳下，
每个人的质量均为
m，相对平板车的速度均为
u.
问在下述两
种情况下，平板车的末速度是多少（
1）N个人同时跳离；
（2）一个人、一个人的跳离.
所得结果是否相同.
解：
取平板车和N个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上
动量守恒.
取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有
Mv
Nm（v
u）
0
所以N个人同时跑步跳车时，车速为
Nm
vu
MNm
（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了.第一个跳车时，由动量守恒定律可得
[M（N1）m]v1m（v1u）0
第二个人跳车时，有
[M（N2）m]v2m（v2u）[M（N1）m]v1
v2v1
mu
M（N1）m
以此类推，第
N个人跳车时，有
MvN
m（vN
u）
（M
m）vN1
vN
vN
1
mu
M
m
1
1
1
N
所以vN
）
mu（
m
M
2m
M
M
Nmn1
因为
1
1
1
M
m
M
2m
M
Nm
1
1
1
N
M
m
M
2m
M
Nm
M
Nm
故vNv
2-18质量为10kg的物体作直线运动，受力与坐标关系如图
v1m/s，试求x16m时，v?
解：
在x0到x16m过程中，外力
功为力曲线与x轴所围的面积代数和＝40J
由动能定理为：
W
1
mv22
1
mv12
2
1
2
1
即
40
10v22
10
1
2
2
v2
3m/s
mu
Mnm
2-18所示。
若x
0时，
图2-18
2-19
在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障
.
有一质量为
m的滑块以初速度
v0沿切线方向进入屏障一端，如图
2-19
所示,设滑块与屏障间的摩
擦因数为
，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为
Wf
1
mv0
2（e
2
1）
2
图2-19
解：
滑块做圆周运动，依牛顿定律，有：
mv2
法向：
N
R
切向：
f
N
mdv
mdvd
mvdv
dt
d
dt
Rd
由以上两式，可得
dv
d
v
对上式两边积分，有
v
dv
d
v
v0
0
可得
v
v0e
由动能定理可得摩擦力做功为
Wf
1mv2
1mv02
1mv02（e2
1）
2
2
2
m，速率为v的子弹水平射入木块后
2-20
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