昌平区数学中考二模.docx
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昌平区数学中考二模
2019年北京市昌平区数学中考二模试卷
学校:
________班级:
________姓名:
________学号:
________
一、单选题（共8小题）
1.下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.2019年全国两会期间其中某一天产生的信息有122863条，热度最高的三个关键词分别是：
“健康”“医疗”和“教育”，请将122863用科学记数法表示（ ）
A．1.22863×105B．12.2863×104
C．0.122863×106D．122.863×10
3.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＞3B．c﹣b＞0C．a+c＞0D．bd＞0
4.二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），则定陵的位置坐标为（ ）
A．（5，2）B．（﹣5，2）C．（2，5）D．（﹣5，﹣2）
6.如果m+n＝2，那么代数式
的值是（ ）
A．2B．1C．
D．﹣1
7.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ）
A．S△ABC＝S△ADCB．S矩形NFGD＝S矩形EFMB
C．S△ANF＝S矩形NFGDD．S△AEF＝S△ANF
8.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：
40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是（ ）
①小明家和学校距离1200米；
②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；
③小华乘坐公共汽车后7：
50与小明相遇；
④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．
A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（共8小题）
9.如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB ∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
10.代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11.若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是 ．
12.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七
（2）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：
摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
摸到红球的次数m
14
33
95
155
241
298
摸到红球的频率
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.298
请估计：
当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近 ．（精确到0.1）
13.某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 种．
14.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若CF＝6，则AF的长为 ．
15.今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：
（单位：
票）
投票点
候选人
废票
合计
甲
乙
丙
一
200
211
147
12
570
二
286
85
244
15
630
三
97
41
205
7
350
四
250
三名候选人 有机会当选村长（填甲、乙、丙），并写出你的推断理由
﹣
﹣
．
16.“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为 升．
三、解答题（共12小题）
17.计算：
+（﹣2019）0﹣4sin45°+|﹣2|．
18.解不等式组：
19.在数学课上，老师提出如下问题：
如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．
小明的作法如下：
①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；
②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB＝AP＝ ＝ ．
∴四边形ABQP是菱形（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l．
20.已知：
关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：
四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数
（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．
（1）求k，m的值；
（2）点B为函数
（x＞0）的图象上的一点，直线AB与y轴交于点C，当AC＝2AB时，求点C的坐标．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝
∠DOQ．
（1）求证：
PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝2时，求BP的长．
24.近日，某中学举办了一次以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为主题的诗词大会比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：
初二学生样本成绩频数分布表
分组/分
频数
频率
50～60
2
60～70
4
0.10
70～80
0.20
80～90
14
0.35
90～100
12
0.30
合计
40
1.00
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；
（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：
808081.58282.582.58384.58586.5878888.589
①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为 ；
②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为 （填“初一”或“初二”）；
③若成绩在85分及以上为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为 人．
25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．
小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
9.49
8.54
7.62
6.71
5.83
5.00
4.24
y2/cm
9.49
7.62
5.83
3.16
3.16
4.24
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为 cm．
26.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．
（1）点A的坐标为 ﹣ ．
（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
②当
≤AB≤
时，结合函数图象，求a的取值范围．
27.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．
（1）如图1，①依题意补全图1；
②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；
（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．
28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：
P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．
（1）点C在原点O时，
①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝ ；
②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝ ；
③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；
（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与
（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t的值．
2019年北京市昌平区数学中考二模试卷
参考答案
一、单选题（共8小题）
1.【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．
【解答】解：
A、圆锥俯视图是圆（带圆心），故此选项错误；
B、长方体俯视图是矩形，故此选项正确；
C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆柱俯视图是圆，故此选项错误；
故选：
B．
【知识点】简单几何体的三视图
2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：
将122863用科学记数法表示为：
1.22863×105．
故选：
A．
【知识点】科学记数法—表示较大的数
3.【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【解答】解：
A、∵a＜﹣2，
∴|a|＞2，结论A错误；
B、∵b＜0，c＞0，
∴c﹣b＞0，结论B正确；
C、∵a＜﹣2，0＜c＜1，
∴a+c＜0，结论C错误；
D、∵b＜0，d＞2，
∴bd＜0，结论D错误．
故选：
B．
【知识点】实数与数轴、绝对值
4.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
①+②得：
3x＝6，
解得：
x＝2，
把x＝2代入①得：
y＝0，
则方程组的解为
，
故选：
B．
【知识点】解二元一次方程组
5.【分析】根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），建立直角坐标系，然后直接写出定陵的位置坐标．
【解答】解：
根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），
建立直角坐标系，如图
所以定陵的位置坐标为（﹣5，﹣2），
故选：
D．
【知识点】坐标确定位置
6.【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【解答】解：
原式＝（
）•
＝
•
＝
∵m+n＝2，
∴原式＝
＝1，
故选：
B．
【知识点】分式的化简求值
7.【分析】根据矩形的性质：
矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
【解答】解：
∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形
∴S△AEF＝S△AFN，S△FMC＝S△CGF，S△ABC＝S△ACD，
∴S矩形BEFM＝S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的，
当AN＝2ND时，S△ANF＝S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，
故选：
C．
【知识点】平行线之间的距离、数学常识、矩形的性质、三角形的面积
8.【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【解答】解：
由图象可得，
小明家和学校距离为1200米，故①正确；
小华乘坐公共汽车的速度是1200÷（13﹣8）＝240米/分，故②正确；
480÷240＝2（分），8+2＝10（分），则小华乘坐公共汽车后7：
50与小明相遇，故③正确；
小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，小华从家到学校的所用时间为：
1200÷100＝12（分），则小华到校时间为8：
00，小明到校时间为8：
00，故④正确；
故选：
D．
【知识点】函数的图象
二、填空题（共8小题）
9.【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．
【解答】解：
根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，
∴∠AOB＝∠COD，
故答案为：
＝
【知识点】解直角三角形
10.【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：
∵
在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：
x≥1．
【知识点】二次根式有意义的条件
11.【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：
解法一：
设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6；
解法二：
设所求正n边形边数为n，
∵正n边形的每个内角都等于120°，
∴正n边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°．
又因为多边形的外角和为360°，
即60°•n＝360°，
∴n＝6．
故答案为：
6．
【知识点】多边形内角与外角
12.【分析】由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得；
【解答】解：
当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
故答案为：
0.3；
【知识点】利用频率估计概率
13.【分析】设可以购买x个篮球，y个排球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合y为正整数、x为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解．
【解答】解：
设可以购买x个篮球，y个排球，
依题意，得：
120x+90y＝1200，
∴x＝10﹣
y．
∵y为正整数，x为非负整数，
∴
，
，
．
∴共有3种购买方案．
故答案为：
3．
【知识点】二元一次方程的应用
14.【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由E是边AB的中点，得出AE＝
AB＝
CD，证△AEF∽△CDF，即可求出AF的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是边AB的中点，
∴AE＝
AB＝
CD，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴
，
∵CF＝6，
∴AF＝3，
故答案为：
3．
【知识点】相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质
15.【分析】根据题意将三个投票箱所得所有票数相加得出甲、乙、丙三名候选人的得票，进而分别分析得票的张数得出答案．
【解答】解：
∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：
200+286+97＝583；
乙得票数为：
211+85+41＝337；
丙得票数为：
147+244+205＝596：
∴596﹣583＝13，
即丙目前领先甲13票，
所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；
第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；
而596﹣337＝259＞250，
若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，
即：
甲或丙有机会当选村长，
故答案为：
甲或丙，
∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：
200+286+97＝583；
乙得票数为：
211+85+41＝337；
丙得票数为：
147+244+205＝596：
∴596﹣583＝13，
即丙目前领先甲13票，
所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；
第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；
而596﹣337＝259＞250，
若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，
即：
甲或丙有机会当选村长．
【知识点】推理与论证
16.【分析】找准几个关键点进行分析解答即可．
【解答】解：
由图象可知：
当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；
当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：
每小时行驶的里程为
公里，每小时耗油量为
升
∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，
此时油箱里的剩油量为：
45﹣8×1＝37升，
故答案为：
37．
【知识点】函数的图象
三、解答题（共12小题）
17.【分析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
原式＝2
+1﹣4×
+2＝2
+1﹣2
+2＝3．
【知识点】实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值
18.【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
，
由①可得：
x＜4；
由②可得：
x≥1；
所以不等式组的解集为：
1≤x＜4．
【知识点】解一元一次不等式组
19.【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
【解答】解：
（1）如图所示．
（2）：
∵AB＝AP＝PQ＝BQ．
∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
∴PQ∥l．
故答案为：
PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．
【知识点】作图—复杂作图、菱形的判定与性质
20.【分析】
（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围；
（2）由
（1）中所求m的取值范围，取一个m的值，代入方程求解即可．
【解答】解：
（1）∵一元二次方程有两个不相等实根，
∴△＝16﹣4（m+1）＞0，
12﹣4m＞0，
∴m＜3；
（2）∵当m＝﹣1时，
x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
【知识点】根的判别式
21.【分析】
（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
（1）证明：
∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：
设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x
在Rt△DCF中，
∵x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴CD＝5．
【知识点】矩形的判定与性质、菱形的性质
22.【分析】
（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）根据题意求得B的横坐标，代入反比例函数的解析式求得纵坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可求得C点的坐标．
【解答】解：
（1）∵直线y＝2x﹣2过点A（2，m），
∴m＝2×2﹣2＝2
∴A（2，2），
∵
（x＞0）过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4；
（2）∵AC＝2AB，
∴B点的横坐标为1或3，
把x＝1或3代入y＝
得，y＝4或
，
∴B（1，4），或（3，
），
设直线AB为y＝ax+b，
把A、B的坐标代入求得解析式为y＝﹣2x+6或y＝﹣
x+
，
令x＝0，则C（0，6）或C（0，
）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
23.【分析】
（1）连接DC，根据圆周角定理得到∠DCA＝
∠DOA，由于∠ADQ＝
∠DOQ，得到∠DCA＝∠ADQ，根据余角的性质得到∠ADQ+∠ADO＝90°，于是得到结论；
（2）根据切线的判定定理得到PC是⊙O切线，求得PD＝PC，连接OP，得到∠DPO＝∠CPO，根据平行线分线段长比例定理得到OP＝3，根据三角形的中位线的性质得到AB＝6，根据射影定理即可得到结论．
【解答】解：
（1）连接DC，
∵
，
∴∠DCA＝
∠DOA，
∵∠ADQ＝
∠DOQ，
∴∠DCA＝∠ADQ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，
∴∠ADQ+∠ADO＝90°，
∴DP是⊙O切线；
（2）∵∠C＝90°，OC为半径．
∴PC是⊙O切线，
∴PD＝PC，
连接OP，
∴∠DPO＝∠CPO，
∴OP⊥CD，
∴OP∥AD，
∵AQ＝AC＝2OA，
∴
，
∵AD＝2，
∴OP＝3，
∵OP是△ACB的中位线，
∴AB＝6，
∵CD⊥AB，∠C＝90°，
∴BC2＝
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