一元二次方程求解公式法求解.docx

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一元二次方程求解公式法求解

一元二次方程求解（公式法求解）

一．选择题（共2小题）

1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（　　）

A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3

2．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（　　）

A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3

二．填空题（共19小题）

3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是　　．

4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为　　．

5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=　　．

6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么=　　．

7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　　，条件是　　．

8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　　，x1=　　，x2=　　．

9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为　　．

10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：

小明的解法从第　　步开始出现错误；这一步的运算依据应是　　．

11．

（1）解下列方程：

①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；

（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式　　．

12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为　　．

13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为　　．

14．方程x2﹣3x+1=0的解是　　．

15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=　　．

16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是　　．

17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是　　．

18．有一个数值转换机，其流程如图所示：

若输入a=﹣6，则输出的x的值为　　．

19．已知a＜b＜0，且，则=　　．

20．方程x2﹣5x+3=0的解是　　．

21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=　　．

三．解答题（共19小题）

22．解方程：

x2﹣3x+1=0．

23．解方程：

x2﹣5x+2=0．

24．解方程：

x2﹣3x﹣7=0．

25．2x2+3x﹣1=0．

26．解下列方程

（1）用配方法解方程：

2x2+5x+3=0；

（2）用公式法解方程：

（x﹣2）（x﹣4）=12．

27．解下列方程：

（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）

（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）

28．解方程：

2x2﹣5x+1=0．

29．解方程：

（1）x2﹣6x﹣6=0

（2）2x2﹣7x+6=0．

30．解方程：

2x2+3x﹣1=0．

31．解方程：

x2+3x+1=0．

32．

（1）解方程：

x2=3（x+1）．

（2）用配方法解方程：

x2﹣2x﹣24=0．

33．用公式法解下列方程

2x2+6=7x．

34．解方程：

x2+3x﹣2=0．

35．解方程：

2x2﹣3x﹣1=0．

36．解方程：

3x2﹣6x﹣2=0．

37．用公式法解方程：

x2+x﹣1=0．

38．解方程

（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）

（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）

39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

40．解方程：

3x2﹣4x﹣1=0．

一元二次方程求解（公式法求解）

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．（2014•荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（　　）

A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3

【分析】先求出方程的解，再求出的围，最后即可得出答案．

【解答】解：

解方程x2﹣x﹣1=0得：

x=，

∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，

∴a=，

∵2＜＜3，

∴3＜1+＜4，

∴＜＜2，

故选：

C．

【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

2．（2014•）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（　　）

A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3

【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．

【解答】解：

∵a=1，b=2，c=﹣6

∴x====﹣±2，

∴x1=，x2=﹣3；

故选：

C．

【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．

二．填空题（共19小题）

3．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是　或　．

【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．

【解答】解：

当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；

∴x=；

当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；

∴x=，

∴x=；

故答案为或．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．

4．（2014•下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为　6　．

【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．

【解答】解：

方程x2﹣12x+31=0，

变形得：

x2﹣12x=﹣31，

配方得：

x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，

开方得：

x﹣6=±，

解得：

x=6+或x=6﹣，

当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，

则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．

故答案为：

6+

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

5．（2015秋•阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=　　．

【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【解答】解：

根据题意得：

7x（x+5）+10+9x﹣9=0，

整理得：

7x2+44x+1=0，

这里a=7，b=44，c=1，

∵△=442﹣28=1908，

∴x==．

故答案为：

．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

6．（2012•呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么=　　．

【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．

【解答】解：

由原方程，得

两边同时乘以得：

（）2+3﹣2=0

设=t，则上式方程即为：

t2+3t﹣2=0，

解得，t=，

所以=；

故答案是：

．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．

7．（2016秋•新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　　，条件是　b2﹣4ac≥0　．

【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．

【解答】解：

由一元二次方程ax2+bx+c=0，

移项，得ax2+bx=﹣c

化系数为1，得x2+x=﹣

配方，得x2+x+=﹣+

即：

（x+）2=

当b2﹣4ac≥0时，

开方，得x+=

解得：

x=．

故答案为：

，b2﹣4ac≥0．

【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．

8．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　41　，x1=　　，x2=　　．

【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=求出即可．

【解答】解：

2x2﹣7x+1=0，

a=2，b=﹣7，c=1，

∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，

∴x==，

∴x1=，x2=，

故答案为：

41，，．

【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．

9．（2011•）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为　a1=2+，a2=2﹣　．

【分析】用公式法直接求解即可．

【解答】解：

a=

=

=2±，

∴a1=2+，a2=2﹣，

故答案为：

a1=2+，a2=2﹣．

【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；

③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．

注意：

用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：

①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

10．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：

小明的解法从第　四　步开始出现错误；这一步的运算依据应是　平方根的定义　．

【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．

【解答】解：

小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；

故答案为四；平方根的定义．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如x2+px+q=0型：

第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．

11．（2000•区）

（1）解下列方程：

①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；

（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式　　．

【分析】

（1）直接代入公式计算即可．

（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．

【解答】解：

（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，

∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，

∴x===1，

∴x1=1+，x2=1．

②解方程2x2+3x﹣l=0，

∵a=2，b=3，c=﹣1，

∴x==，

∴x1=，x2=．（2分）

③解方程2x2﹣4x+1=0，

∵a=2，b=﹣4，c=1，

∴x===，

x1=，x2=．（3分）

④解方程x2+6x+3=0，

∵a=1，b=6，c=3，

∴x===﹣3，

∴x1=，x2=．（4分）

（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）

一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数．

∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，

∴n2﹣ac≥0，

∴x==

==（11分）

∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为．（12分）

【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．

12．（2016秋•安陆市期中）已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为　0　．

【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．

【解答】解：

∵x=（b2﹣4c＞0），

∴x2+bx+c

=（）2+b+c

=++c

=

=

=0．

故答案为：

0．

【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．

13．（2015秋•校级月考）方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为　x=　．

【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．

【解答】解：

△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，

x==，

所以x1=＞0，x2=＜0．

即方程的负数根为x=．

故答案为x=．

【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：

用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

14．（2010•）方程x2﹣3x+1=0的解是　x1=，x2=　．

【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．

【解答】解：

a=1，b=﹣3，c=1，

b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，

x=；

∴x1=，x2=．

故答案为：

x1=，x2=．

【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．

15．（2011秋•浠水县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=　17　．

【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后将a、b、c的数值代入所求的代数式，并求值即可．

【解答】解：

由原方程，得

2x2﹣3x﹣1=0，

∴二次项系数a=2，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，

∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=9+8=17；

故答案是：

17．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在求b2﹣4ac的值时，需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义．

16．（2013秋•邹平县校级期末）方程x2﹣4x﹣7=0的根是　x1=2+，x2=2﹣　．

【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．

【解答】解：

x2﹣4x﹣7=0，

b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）=44，

x=，

x1=2+，x2=2﹣，

故答案为：

；

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程．

17．（2012秋•开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是　　．

【分析】利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案．

【解答】解：

∵a=3，b=﹣4，c=﹣2，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40，

∴x===．

故答案为：

．

【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意熟记公式是关键．

18．（2012秋•周宁县期中）有一个数值转换机，其流程如图所示：

若输入a=﹣6，则输出的x的值为　无解　．

【分析】将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中，利用公式法求出方程的解即可．

【解答】解：

输入的数a=﹣6＜0，代入得：

x2﹣3x+6=0，

这里a=1，b=﹣3，c=6，

∵△=9﹣24=﹣15＜0，

则此方程无解．

故答案为：

无解

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解．

19．（2012•家港市模拟）已知a＜b＜0，且，则=　　．

【分析】根据题意得到a2﹣6ab+b2=0，把它看作为a的一元二次方程，利用求根公式得到a==（3±2）b，由于a＜b＜0，则a=（3﹣2）b，然后把a=（3﹣2）b代入所求的代数式中进行化简即可．

【解答】解：

法①∵+=6，

∴a2﹣6ab+b2=0，

∴a==（3±2）b，

∵a＜b＜0，

∴a=（3﹣2）b，

∴====．

法②：

原式通分得：

a2+b2=6ab；则（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab

又a＜b＜0；故a+b=﹣，a﹣b=

所以

故答案为．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为：

x=（b2﹣4ac≥0）．也考查了二次根式的混合运算．

20．（2002•达州）方程x2﹣5x+3=0的解是　　．

【分析】观察方程，此题用公式法解答比较简单，首先确定a，b，c的值，判断方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可．

【解答】解：

根据求根公式可知：

x==．

【点评】公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=，需要熟练掌握．

21．（2010秋•仪征市校级月考）若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=　　．

【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．

【解答】解：

a2+ab﹣b2=0

△=b2+4b2=5b2．

a==b

∴=．

故答案是：

【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．

三．解答题（共19小题）

22．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：

x2﹣3x+1=0．

【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．

【解答】解：

∵a=1，b=﹣3，c=1

∴b2﹣4ac=5

∴x=．

故，．

【点评】此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法．

23．（2015•模拟）解方程：

x2﹣5x+2=0．

【分析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．

【解答】解：

这里a=1，b=﹣5，c=2，

∵△=25﹣8=17＞0，

∴x=，

则x1=，x2=．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．

24．（2015•黄陂区校级模拟）解方程：

x2﹣3x﹣7=0．

【分析】利用求根公式x=来解方程．

【解答】解：

在方程x2﹣3x﹣7=0中，a=1，b=﹣3，c=﹣7．则

x===，

解得x1=，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的关键．

25．（2008•）2x2+3x﹣1=0．

【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．

【解答】解：

∵a=2，b=3，c=﹣1

∴b2﹣4ac=17＞0

∴x=

∴x1=，x2=．

【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．

26．（2016春•泰山区期中）解下列方程

（1）用配方法解方程：

2x2+5x+3=0；

（2）用公式法解方程：

（x﹣2）（x﹣4）=12．

【分析】

（1）根据配方法的步骤先两边都除以2，移项，配方，开方即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

（2）把a=1，b=﹣6，c=﹣4代入求根公式x=计算即可．

【解答】解：

（1）方程两边同除以2，得：

x2+x+=0，

移项，得x2+=，

配方，得x2+x+（）2=+（）2，

（x+）2=，

x+=或x+=，

x1=﹣l；x2=；

（2）原方程可化为：

x2﹣6x﹣4=0，

∵a=1，b=﹣6，c=﹣4；

∴x===，

∴x=3±，

x1=3+，x2=3﹣；

【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

27．（2015春•沂源县期末）解下列方程：

（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）

（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）

【分析】

（1）方程利用配方法求出解即可；

（2）方程利用公式法求出解即可．

【解答】解：

（1）方程整理得：

x2﹣4x=1，

配方得：

x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，

开方得：

x﹣2=±，

解得：

x1=2+，x2=2﹣；

（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，

∵△=8+40=48，

∴x==．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

28．（2015秋•渝北区期末）解方程：

2x2﹣5x+1=0．

【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法比较简单．

【解答】解：

∵a=2，b=﹣5，c=1，

∴b2﹣4ac=17，

∴x=，

∴x1=，x2=．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，采用公式法解一元二次方程时，要注意公式的熟练应用．

29．（2015秋•大石桥市期末）解方程：

（1）x2﹣6x﹣6=0

（2）2x2﹣7x+6=0．

【分析】

（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；

（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：

（1）x2﹣6x﹣6=0，

b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，

x=，

x1=3+，x2=3﹣；

（2）2x2﹣7x+6=0，

（2x﹣3）（x﹣2）=0，

2x﹣3=0，x﹣2=0，

x1=，x2=2．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．

30．（2015秋•期末）解方程：

2x2+3x﹣1=0．

【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

【解答】解：

这里a=2，b=3，c=﹣1，

∵△=9+8=17，

∴x=．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

31．（2011•）解方程：

x2+3x+1=0．

【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．

【解答】解：

a=1，b=3，c=1

∴x==．

∴x1=，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c都是常数），若b2﹣4ac≥0，则方程的解为x=．

32．（2016春•期末）

（1）解方程：

x2=3（x+1）．

（2）用配方法解方程：

x2﹣2x﹣24=0．

【分析】

（1）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；

（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：

（1）整理得：

x2﹣3x﹣3=0，

∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）=21，

x=，

∴x1=，x2=；

（2）x2﹣2x﹣24=0，

x2﹣2x=24

x2﹣2x+1=24+1，

（x﹣1）2=25，

x﹣1=±5，

x1=6，x2=﹣4．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．

33．（2015秋•校级期末）用公式法解下列方程

2x2+6=7x．

【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

【解答】解：

方程整理得：

2x2﹣7x+6=0，

这里a=2，b=﹣7，c=6，

∵△=49﹣48=1，

∴x=，

解得：

x1=2，x2=．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

34．（2014•集美区一模）解方程：

x2+3x﹣2=0．

【分析】求出b2﹣4a