圆的基本性质知识点整理.docx
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圆的基本性质知识点整理
3.1圆
（1）
在同一平面内，线段0P绕它固定的一个端点C旋转一周，所经过的圭寸闭曲线叫做圆，定点C叫做，线段OF叫做。
如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有:
dvr0点P在圆；
dr点；P在圆上；
d>r:
-点P在圆；
BC
如图，在ABC中，/BAC=RtZ，AO是BC边上的中线,为一C的直径.
（1）点A是否在圆上？
请说明理由.
（2）写出圆中所有的劣弧和优弧.
如图，在A岛附近，半径约250knm勺范围内是一暗礁区，往北300kn有一灯塔B,往西400km有一灯塔C.现有一渔船沿CB亢行，问：
渔船会进入暗礁区吗？
3.1圆
（2）
（1）经过一个已知点能作个圆；
（2）经过两个已知点A,B能作个圆；过点A,B任意作一个圆
圆心应该在怎样的一条直线上？
（3）不在同一条直线上的三个点一个圆
经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；
三角形的外心是的交点。
锐角三角形的外心在;直角三角形的外心在;钝角三角形的外心在。
作图：
已知△ABC，用直尺和圆规作出△ABC的外接圆
3.2图形的旋转
图形旋转的性质
图形经过旋转所得的图形和原图形；
对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。
1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线0Q?
-B
3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数
径定理
（1）
圆是图形，它的对称轴是。
2、如图，以点O为旋转中心，将AABC按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形
（文字描述）垂径定理:
如图，圆心0到圆的一条弦AB的距离0C叫做。
记半径为r，弦长为a，弦心距为d,这三者之间的关系式为。
运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目
1、O0的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则O0的半径为（）
（A）4cm.（B）5cm.
（C）8cm.（D）10cm.
2、已知。
O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长
3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径
16,求截面圆圆心O到水面的距离OC
3.3垂径定理
（2）
（文字描述）垂径定理的逆定理1：
（符号描述）•••CD是直径，AP=BP
（文字描述）垂径定理的逆定理2:
（符号描述CD是直径，AC=BC
OB=10水面宽AB为
如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做。
弓咼h、半径r和弦心距d之间的关系是。
垂径定理综合运用
1、如图，一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长
求AB与CD之间的距离.
3.4圆心角
（1）
顶点在圆心的角叫做。
圆心角定理：
在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。
在中，相等的圆心角所对两条弦的相等
符号语言
在O0中：
I/AOBMCOD
•••（弦相等）
（弧相等）
（弦心距相等）
我们把n°的圆心角所对的弧叫做的弧练一练：
1、下列命题中，不正确的是（）
A、圆是轴对称图形
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形D圆是中心对称图形
2、如图，AB,CD是0O的直径，若/AOC=70，则AC的度数是，BD的度数
是，AD的度数是。
3、已知：
如图，/1=72.求证：
AC=BD.
4、如图，00的直径AB垂直于弦C［于点E,7CO圧100。
.求BC,AD的度数.
3.4圆心角
（2）
圆心角定理的逆定理：
在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。
1、如图，等边三角形ABC内接于00，连结OAOB0C延长A0分别交BC于点P，
交BC于点D,连结BD，CD
1判断四边形BDC01哪一种特殊四边形，并给出证明＜
四边形BDC0!
，证明如下：
•••AB=BC=CA
.•.7A0B===120
•••7B0D=
又•••
•△B0D是三角形
同理，△C0D是
•••记四边形BDC0!
2若00的半径为r，求等边三角形ABC勺边长
D
B
2、已知，如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的0O分别交AC,BC于点D,E,求证：
AD=DE=EB.
3、下列说法正确的是
1圆心角相等，所对的弦相等；③弦相等，所对的圆心角相等
2等弧所对的弦相等④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
3.5圆周角
（1）
顶点在，角的两边都和圆的角叫做圆周角圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对的弧上的度数的一半。
已知一条弧所对的圆周角等于70°,贝U这条弧所对的圆心角是。
。
一条50°的弧所对的圆心角是。
，圆周角是。
。
一条弧所对的圆心角的度数为95°,则这条弧是。
，它所对的圆周角是
一条弧的度数是180°,贝尼所对的圆心角是。
圆周角是。
。
推论：
半圆（或）所对的圆周角是。
如图所示，/C=90°,则/AOB=AB是的推论：
90°的圆周角所对的弦是。
练习：
如图，等腰三角形ABC的顶角/BAC为40°,以腰AB为直径作半圆，交BC于点D,交AC于点E,的度数
变式1:
已知，如图，AB为圆O的直径，于点D,AC交圆O于点E,求证：
BD=CD
变式2:
如图，已知圆心角/AOB勺度数为100°,则圆周角/ACB的度数是（）
A.80°B.100°C.120°D.130
3.5圆周角
（2）
推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等,的圆周角所对的弧也相等。
基本图形：
如图所示：
：
BC=BC
/•Z=z
练一练:
1.如图,ABC内接于圆，ABAC,BC的度数为60
求B,C的度数•
2.已知：
如图，AB是O的直径，弦AB与半径OD平行•求证：
CDBD.
综合练习：
已知半径为5的0O中，弦AB52，弦AC5，则ZBAC的度数是（）如图，已知AB是OO的直径，BC为弦，/ABC=30°过圆心O作
A
OD丄BC交弧BC于点D，连接DC,则/DCB=
已知，如图：
AB为OO的直径，AB=AC,BC交OO于点D,AC交OO于点E，/BAC=450。
给出以下五个结论：
①/EBC=22.50,;②
BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC。
其中正确结论的序号是。
3.6圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。
性质：
圆内接四边形的对角。
圆内接四边形的外角等于它的
A
BD
C
练一练：
已知圆内接四边形有一个内角是50°,则它的对角的度数为。
.
如图，AB是半圆O的直径,/BAG=40°,则/D=.
A.OB
已知圆内接四边形ABCD中,/A/B:
/2:
3:
7.求/D的大小.
综合练习：
已知，如图，人。
是厶ABC勺外角/EAC的平分线,与厶ABC的外接圆交于点D,求证：
DB=DC
分析：
要证明DB=DC只需证明/=Z
证明：
选择：
下列图形中，是中心对称图形的是，是轴对称图形的是
OoIOO
作图：
用直尺和圆规做圆的内接正六边形
3.8弧长及扇形的面积
（1）
①②③④
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长I的计算公式为：
公式变形：
半径R=圆心角的度数n=
公式运用：
（1）半径为3的圆弧的度数为100°,则这条弧长为；
（2）半径为5的圆弧长为5n,贝U这条弧所对的圆心角的度数为;
（3）已知圆弧的度数为60°,弧长为6n,则圆的半径为。
3.8弧长及扇形的面积
（2）如果扇形的半径为R,圆心角为n°,扇形的弧长为I,那么扇形面积S==
公式运用
1、已知圆的半径为6cm求下列各扇形的面积
（1）圆心角为135°的扇形
（2）弧长为4n的扇形
2、已知一个扇形的面积为12ncnf,圆心角为216°,求它的弧长。
练一练
1.如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水
部分弓形的高为6cm.求截面中有水部分弓形的面积.
2.如图为某水管截面中水面面积示意图，其中水管的直径为
2.5米，/AOB=45，求截面中有水部分的面积
3.如图所示，折扇的骨柄长a=16cm折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120。
，求折扇扇面的面积.
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