数学人教版九年级下册投影与视图.docx

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数学人教版九年级下册投影与视图

第二十九章　投影与视图

　1.以丰富的实例为背景,认识投影与视图的基本概念和基本性质.

　2.会在投影面上画出平行投影、中心投影及简单的平面图形的正投影.

　3.理解视图的概念,探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系.

　4.会画简单几何体及简单组合体的三视图.

　5.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.

　6.通过制作立体模型的课题学习,进一步加强对投影与视图的认识.

　1.通过联系生活实际,初步感受平行投影、中心投影及正投影,体会数学与生活之间的密切联系,提高学生的数学应用意识.

　2.通过具体的活动,培养学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.

　3.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中各部分之间位置及大小的对应关系,积累数学活动的经验.

　4.通过观察、探究等活动使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系.

　5.通过学习和实践活动,激发学生对投影与视图学习的好奇心,加强动手动脑、理论结合实际的能力.

　1.使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题,体会数学与生活实际密不可分,提高数学的应用意识,激发学生学习数学的兴趣.

　2.学生通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.

　3.通过自主学习与合作交流的学习方式,提高动手操作能力、分析问题及解决问题的能力,培养学生的合作精神.

　4.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,品尝成功的喜悦,激发学生学习数学的热情,增强学好数学的信心.

　5.在探究三视图向立体图形转化的过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.

　本章的主要内容有平行投影、中心投影和简单物体的三视图.投影是生活中常见的现象,而三视图又是特殊投影的产物,投影与三视图的知识在日常生活和生产中有广泛的应用,是培养学生空间观念的有效平台,空间观念的形成是一个长期的过程,而使学生具有良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标.本章内容在数学学习中起着承上启下的作用,学生前边学习过“图形的初步知识”“图形和变换”等几何知识,在此基础上本章继续研究“投影与视图”,它是反映空间观念的重要内容,也为高中学习立体几何做了铺垫.

　教材以生活实例出发,引出投影的概念,观察分析不同的投影,得到平行投影和中心投影的区别与联系,然后以探究正方形的影子为例,得到平行投影中正投影的概念,而物体三个方向上的正投影就是该物体的三视图,教材最后探究“由物到图”和“由图到物”,两方面结合起来,就从不同角度反映了平面图形与立体图形是如何联系的.本章的知识内容不太多,编写本章最主要的目的不是介绍投影与视图的知识,而是通过学习本章切实发展学生的空间想象能力.

　【重点】

　1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用.

　2.会画基本几何体及简单组合体的三视图.

　3.能根据三视图描述基本几何体或实物的原型.

　【难点】　

　了解基本几何体与其三视图、展开图之间的联系,通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用.

　教学中应重视借助直观模型或动画演示,帮助学生克服立体几何知识不足的困难,在本章的教学中,不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识,但是学生此前缺乏对这些知识的系统学习,只是有一些感性认识,解决这个问题比较好的做法是选择一些实例或通过课件展示,让学生通过观察、想象,由直观认识结合实例了解空间关系,降低学习本章内容的难度,提高学生空间想象能力.

　数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的学科,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显,关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的,它们与实际问题联系非常紧密.在本章之前,学生已经数次接触过和几何图形有关的平面图形知识及简单立体图形,对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解,只是还没有明确接触过一些基本名词术语,对有关基本规律还缺乏归纳总结.所以在本章的学习中,以生活实例为载体,通过观察学生熟悉的生活实例,抽象出有关概念和性质.实际教学要比教科书有更大的灵活性,教学中要动态地展示模型,直接面对学生授业解惑,应充分发挥这些优势.因此,建议教学中在上述问题的处理上,能注意结合实物模型,充分利用直观演示,达到由感性认识到理性认识的提高.

29.1　投影

2课时

29.2　三视图

2课时

29.3　课题学习　制作立体模型

1课时

单元概括整合

1课时

29.1　投　影

　1.通过实践探索,了解投影、投影面、平行投影、中心投影及正投影的概念.

　2.了解平行投影和中心投影的含义,认识两者之间的区别.

　3.会在投影面上画出平行投影和中心投影.

　4.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.

　1.通过联系生活实际,初步感受平行投影、中心投影及正投影,体会数学与生活之间的密切联系,提高学生的数学应用意识.

　2.通过具体的活动,培养学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.

　3.通过学习和实践活动,激发学生对投影学习的好奇心,体会数学与现实生活的联系.

　1.通过感受生活中的投影现象,体会数学与实际生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣.

　2.通过实物演示和多媒体教学,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲,感悟数学知识的奇妙无穷.

　3.学生通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.

　4.通过探究正投影的性质,培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力.

　【重点】

　1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用.

　2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.

　【难点】　

　在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影及正投影.

第

课时

　1.通过实践探索,了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.

　2.了解平行投影和中心投影的含义,认识两者之间的区别.

　3.会在投影面上画出平行投影和中心投影.

　1.通过联系生活实际,初步感受平行投影和中心投影,体会数学与生活之间的密切联系.

　2.认识中心投影和平行投影的区别与联系,发展空间想象能力.

　1.通过观察、分析、探究得出结论,激发学生学习数学的兴趣,培养学生观察能力和实践能力.

　2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,增强学好数学的信心.

　【重点】　

　理解平行投影和中心投影的特征.

　【难点】　

　在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.

　【教师准备】　多媒体课件.

　【学生准备】　预习教材P87~88.

导入一:

　【师生活动】　

　　[过渡语]　你注意过周围物体在日光或灯光下的影子吗?

影子和物体有着怎样的联系呢?

人们从光线照射物体会产生影子得到启发,得出了投影的有关知识,并用这些知识来绘制视图.在生产实践中,制造机器、建筑高楼、设计火箭……无一不和视图密切相关.本章我们将学习投影的有关知识,并借助投影认识视图.

导入二:

　你看过皮影戏吗?

皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区非常流行.皮影戏演出简便,表演领域广阔,演技细腻,活跃于广大农村,深受农民的欢迎.

　【师生活动】　教师课件展示图片,学生欣赏图片,有条件的可以放映电影《小兵张嘎》部分片段——小胖墩和他父亲在日军炮台内为日本人表演皮影戏,简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.

导入三:

　北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂的文化瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.

　【师生活动】　教师展示图片,引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.

　[设计意图]　通过欣赏大家熟悉的名建筑导出本章内容,让学生体会数学与生活之间的密切联系,激发学习本章的兴趣.学生通过观看电影片段或欣赏图片,了解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影和日晷的介绍,让学生初步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.

　　[过渡语]　影子随处可见,你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例吗?

一、认识概念

　思路一

　【师生活动】

（1）学生举出物体在光线的照射下形成影子的例子,教师点评.

（2）教师出示投影图片,让学生感受日常生活中的一些投影现象.

　（3）学生尝试总结什么是投影,互相补充,最后教师与学生一起归纳总结.

　课件展示图片:

　【结论】　一般地,用光线照射物体,在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

　　[过渡语]　我们生活中的所有投影是不是都一样呢?

　【师生活动】

（1）教师展示探照灯发出的光线图片,学生观察.

（2）学生思考:

探照灯发出的光线与灯泡发出的光线是否相同?

太阳光线与哪种光线相同?

　（3）学生小组合作交流,共同归纳,小组代表发言,教师点评,然后归纳有关概念.

　【结论】　有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如,物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影.

　由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.

　思路二

　【思考】

（1）物体在日光或灯光的照射下会形成影子,影子的形成与哪些因素有关?

　（物体本身、照射光线、形成影子的平面）

（2）你能举出生活中的一些实例吗?

　【师生活动】　教师展示生活中的图片（同思路一）,学生观察思考后,小组合作交流,教师结合学生的结论,给出投影的一些概念.

　【结论】　一般地,用光线照射物体,在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

　【师生活动】　教师展示分别用探照灯和灯泡作为光源,在教室的墙面上形成三角尺的影子.

　【思考】

（1）探照灯的光线与灯泡发出的光线有什么不同?

（2）太阳光与哪种光线相同?

　【师生活动】　学生观察思考后小组合作交流,教师对学生的回答进行点评,归纳概念.

　【结论】　有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如,物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影.

　由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.

　[设计意图]　通过观察图片,感知数学概念的形成来源于生活,通过观察、思考,抽象出有关概念,对投影的感性认识上升到理性认识,通过理论联系实际,不仅使学生加深了对概念的理解,而且突出了数学与现实的联系,激发了学生的求知欲望.

二、共同探究

　　[过渡语]　通过观察我们知道有两种不同的投影——平行投影和中心投影,下面我们一起来探讨它们的区别和联系.

　【思考】

（1）如图

（1）所示的是同一时刻的两棵树及其影子,请你在图中画出形成树影的光线,并判断它是太阳光线还是灯光的光线.若是灯光的光线,请确定光源的位置.

（2）请判断如图

（2）所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的,并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）.

　（3）通过上边的练习,请观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,动手操作后交流答案,教师进行点评,共同归纳.

　【课件展示】

　【课件展示】　平行投影与中心投影的区别与联系:

区别

联系

平行投影

平行的投影线

都是物体在光线的照射下在某个平面内形成的影子（即都是投影）

中心投影

从一点发出的投影线

　[设计意图]　通过解决设计的练习,学生经历观察、思考、操作、交流、归纳等数学活动,得出平行投影和中心投影的区别与联系,不仅加深了对平行投影和中心投影的概念的理解和掌握,同时提高了学生的应用意识和能力,让学生获得了成功的体验.

三、例题讲解

（1）地面上直立一根标杆AB,如图

（1）所示,杆长为2m.

　①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?

　②当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?

并画出投影示意图.

（2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图

（2）所示）,投影线和投影面垂直,点C在投影面上的对应点为C',请画出正方形纸板的投影示意图.

　教师引导分析:

（1）当阳光垂直照射地面时,点A的影子落在什么地方?

（2）当阳光与地面的倾斜角为60°时,点A的影子落在什么地方?

　（3）在直角三角形中,已知一锐角和一直角边,怎样求出三角形的另一直角边?

　（4）当投影线与投影面垂直时,如何画出顶点A,B,C,D的投影?

　【师生活动】　学生独立思考,动手操作完成画图及求解,小组代表展示成果,教师点评.

　解:

（1）①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是一个点.因为标杆与地面垂直,阳光垂直照射地面时与标杆平行,使得影子与点B重合.

　②当阳光与地面的倾斜角为60°时,如图（3）所示,

　在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=2,

　∵tan∠ACB=

=

∴BC=

=

.

　∴标杆在地面上的投影是长为

m的线段,如图（3）所示的BC.

（2）因为纸板与投影面平行,投影线和投影面垂直,所以分别过点A,B,D作投影面的垂线,垂足分别为A',B',D',顺次连接A',B',C',D'即可.如图（4）所示的为所画的投影.

　[设计意图]　通过例题的教学进一步加深对投影的理解和掌握,在巩固所学的知识的同时,为下节课的正投影做铺垫,通过分析、思考、交流、解答等数学活动,培养学生分析问题、解决问题的能力.

　[知识拓展]　

（1）光线移动时,物体影子的大小、方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.

（2）光是沿直线传播的,因此我们可以由投影与物体确定光线方向.

　（3）平行投影的应用:

①根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同;②已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子;③根据物高和影长的关系可以求物高或影长.

　（4）中心投影的应用:

①根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的位置;②已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.

　1.一般地,用光线照射物体,在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.

　2.有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.

　3.由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.

　1.平行投影中的光线是　　（　　）

　A.平行的　　　B.聚成一点的

　C.不平行的　　D.向四面八方发散的

　解析:

平行投影中的光线是平行的.故选A.

　2.下列投影中属于中心投影的是　　（　　）

　A.阳光下跑动的运动员的影子

　B.阳光下木杆的影子

　C.阳光下汽车的影子

　D.路灯下行人的影子

　解析:

中心投影的光源为点光源,平行投影的光源为阳光、探照灯光等平行光,在各选项中只有D选项中的投影为中心投影.故选D.

　3.下图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况,那么她看到的先后顺序是　　　　. 

　解析:

根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知影子由长变短再变长.故填④③①②.

　4.下列影子:

①阳光下遮阳伞的影子;②灯光下小明读书的影子;③阳光下大树的影子;④阳光下农民锄地的影子;⑤路灯下木杆的影子.其中属于平行投影的是　　　　,属于中心投影的是　　　　. 

　解析:

①阳光下遮阳伞的影子、③阳光下大树的影子、④阳光下农民锄地的影子都是太阳光线形成的影子,故属于平行投影;②灯光下小明读书的影子及⑤路灯下木杆的影子都是灯光形成的影子.故属于平行投影的是①③④,属于中心投影的为②⑤.

　答案:

①③④　②⑤

　5.某一广告牌PQ旁有两根直立的木杆AB和CD,某一时刻在太阳光下,木杆CD的影子刚好不落在广告牌PQ上.

（1）在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;

（2）若AB=5米,CD=3米,CD到PQ的距离DQ的长为4米,求此时木杆AB的影长.

　解:

（1）如下图所示.

（2）设木杆AB的影长BF为x米,

　由题意,得

=

解得x=

.

　答:

此时木杆AB的影长是

米.

　第1课时

　1.认识概念

　平行投影

　中心投影

　2.共同探究

　3.例题讲解

　例题

一、教材作业

【必做题】　

　教材第92页习题29.1第1题.

【选做题】　

　教材第92页习题29.1第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下面说法正确的是　　（　　）

A.所有的光线都是平行的

B.太阳光线是平行的

C.同一组物体的平行投影与中心投影是相同的

D.以上说法都不对

2.在同一时刻,两根长度不等的竹竿置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这两根竹竿的相对位置是　　（　　）

A.两根都垂直于地面　B.两根平行斜插在地上

C.两根竹竿不平行　　D.一根倒在地上

3.下列投影不是中心投影的是　　（　　）

4.如图所示,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子　　（　　）

A.逐渐变短

B.逐渐变长

C.先变短后变长

D.先变长后变短

5.下列结论正确的有　　（　　）

①同一时刻物体在阳光照射下影子的方向是相同的;②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的;③物体在路灯照射下,影子的方向与路灯的位置有关;④物体在光线照射下,影子的长短仅与物体的长短有关.

A.1个　　B.2个

C.3个　　D.4个

　本节课由鸟巢、水立方等建筑实物图片引出教学内容,激发学生学习本节课内容的兴趣,学生欣赏皮影和日晷了解中国文化的同时,导出本节课的课题,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生学习本节课的欲望.结合生活中的影子图片,感知投影的概念,并观察不同的投影之间的区别与联系,归纳出平行投影和中心投影的概念.师生通过解决实际问题,画出图形,共同探究平行投影与中心投影的区别和联系,学生在教师的引导下,通过观察、思考、交流等数学活动,加深对有关投影概念的理解和掌握的同时,培养了归纳总结能力,并为下节课做好铺垫,学生在课堂上思维活跃,人人学有价值的数学.

　本节课的主要内容是投影的有关概念,通过联系生活实际,观察、思考、交流、归纳等数学活动,感知投影、平行投影与中心投影的概念,课堂上学生气氛活跃,回答问题积极,但是由实际问题抽象出数学概念使学生难于理解和掌握,没有给学生更多的时间交流,在以后的教学中,应多举一些实例,让学生通过思考、交流,更深入地理解和掌握数学概念.