小学数学鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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小学数学鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸽巢问题》教学设计

【教学内容】

人教版课标教材小学数学六年级下册第五单元数学广角第70-71页。

【教学目标】

1.通过操作、观察、比较、分析、推理、抽象概括，引导学生经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解释生活中的简单问题。

2.在探究的过程中，渗透模型思想，培养学生的推理和抽象思维能力。

3.使学生感受数学的魅力，培养学习的兴趣。

【教学重点】

经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解释生活中的简单问题。

【教学难点】

理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化。

【教学过程】

一、开门见山，引入课题。

承接课前游戏环节，直接揭示课题。

二、经历过程，构建模型。

（一）研究“4支铅笔任意放进3个笔筒”存在的现象。

1.出示结论：

4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里面至少放2支铅笔。

让学生说说对这句话的理解。

2.验证结论的正确性。

让学生用纸杯代替笔筒，在小组内活动，看有几种不同的放法。

3.全班交流。

学生汇报后，教师引导观察每种放法，通过横向、纵向比较，找到每种放法中放得最多的笔筒，然后从最多数里找最少数，发现不管哪种放法，都能从里面找到这样的一个笔筒，里面至少有2支铅笔。

从而理解并证明了“不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔”这个结论是正确的。

（二）找到求至少数的简便方法。

1.寻找求至少数的简便方法。

教师提出：

如果铅笔数和笔筒数很多很多的话，如果再用列举法，你觉得怎么样？

使学生感受到列举法的局限性。

提出问题：

有没有更快、更简便的方法，只摆一种情况就能得到答案呢？

小组结合之前的操作，讨论一下。

结合学生回答，课件演示：

把4支笔放进3个笔筒里，假设每个笔筒平均放一个，还余下一个，这一个任意放进一个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支笔。

引导学生尝试用算式表示上面平均分的过程。

2.师生共同回顾以上研究过程（课件逐步出示以下内容），使学生感受到抽屉原理逐步抽象、简约的过程。

3.引导学生完成下面表格。

你发现了什么规律？

（铅笔数比笔筒数多1，至少数是2）

（三）概括规律，构建模型。

引导学生完成下面表格：

重点解决5支铅笔放进3个笔筒里，总有一个笔筒里至少放的铅笔数，使学生在思辨中明晰：

先把铅笔平均分，然后把余下的铅笔再平均分，从而找到至少数，这是解决此类问题的关键。

解决完表格中的问题后，继续引导学生进行推测：

一直到什么时候至少数都是3？

什么时候变成4？

追问：

这里面是不是有什么规律？

认真观察这些算式，想一想，至少数都是怎么求出来的？

引导学生总结：

把铅笔放进笔筒，如果平均分后有剩余，那么总有一个笔筒里至少放商加1个；如果正好分完，那么至少数就等于商。

出示抽屉原理的一般形式：

把物体放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放商+1个物体；如果正好分完，那么至少数就等于商。

同时说明：

抽屉原理由19世纪的德国数学家狄里克雷最早提出，因此又叫做狄里克雷原理。

它还叫做鸽巢原理。

三、德育教育。

通过史料，使学生感受到：

研究问题时不仅要善于发现，还要善于总结。

四、运用模型，解释应用。

1.鸽巢问题。

出示鸽巢问题，让学生解释，并说说这里的鸽子和鸽巢各相当于什么。

教师说明：

鸽巢原理出现了。

2.找身边的抽屉原理。

例如文具盒原理、口袋原理等。

教师指出：

抽屉原理在生活中随处可见，它其实就是解决该类问题的一种方法，一个模型。

在解决问题时关键是要看清什么是抽屉，什么是待分的物体。

3.解释应用。

让学生用抽屉原理解释课前的两个游戏。

引导思考：

把什么看作抽屉，把什么看作待分的物体？

4.挑战自我。

我班共有73名学生，至少有多少人在同一个月出生？

四、课堂小结，余味课外。

通过小结，拓宽学生视野，感受到抽屉原理更广泛而深刻的应用。

《鸽巢问题》学情分析

《鸽巢问题》是一类较为抽象和艰涩的数学问题，从六年级学生已有的知识经验和认知特点来分析，应该说理解并抽象出抽屉原理具有一定的难度。

抽屉原理之所以难，一是难在模型的建立上，比如，思维能力较弱的学生不能灵活、准确的使用特定的术语（总有、至少）来表述结论；二是难在它的具体应用上，如何找到一些实际问题与抽屉原理模型之间的联系，如何来思考一些变式的情况，有时学生常常会感到无从下手。

根据学生的实际情况，在教学时，我们一方面要选择学生感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的压力，调动学习的积极性；一方面要引导学生利用画草图等方式进行“说理”；另一方面要发挥学生的主体性，引导学生经历将具体问题“数学化”的过程，渗透推理和模型等思想，发展抽象、推理和应用能力。

教学准备：

多媒体课件、纸杯、铅笔、笔筒、扑克牌等。

《鸽巢问题》效果分析

人教版六年级下册“数学广角”的“鸽巢问题”，是老师们教学时感到比较困惑的内容。

由于目标定位不准，很多老师的教学仅仅停留在对“至少数=商+1”这个数学结论的获取上，关注的是抽屉原理模型建构的表面。

到底学习这个内容的目的是什么？

这个内容的教育价值是什么？

我们尝试采用“创设情境，揭示课题—操作探究，建构模型—综合实践，应用模型—回顾反思，总结方法”这样的学习路径，重在引导学生初步了解数学思想，体验数学思考，培养逻辑思维能力；引导学生借助生活经验和直观活动建立鸽巢原理的一般化模型，增强应用意识，激发数学兴趣。

由此，在教学过程中达成了以下目标：

1.引导学生经历鸽巢问题的抽象过程，初步了解鸽巢原理并用其解决相关生活中的简单问题；

2.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；

3.经历从具体到抽象的探究过程，建立数学模型，培养模型思想；

4.灵活应用鸽巢原理，提高学生解决数学问题的能力。

《鸽巢问题》教材分析

　“抽屉原理”来源于一个基本的数学事实。

将三个苹果放到两只抽屉里，要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里不放。

这两种情况可用一句话概括：

一定有一只抽屉里放入两个或两个以上的苹果。

虽然我们无法断定哪只抽屉里放入至少两个苹果，但这并不影响结论。

如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物称为集合，那么上面的结论就可以表述为：

假如把多于《数学广角──鸽巢问题》教材分析个元素按任一确定的方式分成《数学广角──鸽巢问题》教材分析个集合，那么有一个集合中至少含有2个元素。

还可以表述为：

把多于《数学广角──鸽巢问题》教材分析（《数学广角──鸽巢问题》教材分析是正整数）个元素按任一确定的方式分成《数学广角──鸽巢问题》教材分析个集合，那么一定有一个集合中至少含有（《数学广角──鸽巢问题》教材分析+1）个元素。

“抽屉原理”是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多应用。

它也被广泛地应用于现实生活中，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含在其中的“抽屉原理”。

由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。

让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的重要要求，也是本单元的编排意图和价值取向。

教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：

第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。

那么，这里的“一定有一个抽屉”是什么意思？

“至少两个物体”是什么意思？

“一定有一个抽屉”是存在性；“至少两个物体”是可以多于两个物体，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。

第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。

若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。

第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。

一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别

在例题的教学前，编排了一个给学生表现“魔术”的主题情境，使学生产生探究魔术背后的数学原理的强烈欲望。

修订后的教材对本单元例2的相关数据进行了调整。

二、教材例题分析

例1：

本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。

着重探讨为什么这样的结论是成立的。

教材呈现了两种思考方法：

第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。

剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。

这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。

通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。

例2：

本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于《数学广角──鸽巢问题》教材分析（《数学广角──鸽巢问题》教材分析是正整数）个物体任意分放进《数学广角──鸽巢问题》教材分析个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（《数学广角──鸽巢问题》教材分析+1）个物体”。

教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。

当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。

这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？

这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。

通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。

在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。

在过去，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：

总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。

而实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。

通过这样的数据方面的调整，可以让学生得到一个更加正确的推论。

在教学中要注意的问题：

第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。

因为“抽屉原理”在生活中的变式是多样的，在解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。

第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。

在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。

第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。

本单元的教学重难点是初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，培养学生的“模型思想”。

《鸽巢问题》测评练习

班级：

姓名：

1、7只鸽子飞进5个鸽巢里，总有一个鸽巢飞进几只鸽子？

列式：

把（）看作待分的物体，把（）看作抽屉。

2、如何解释课前的小游戏。

（1）请同学们从数字1、2、3中任选一个数字写在手心里。

4人中有2人写的数字相同。

为什么？

（2）一封扑克牌去掉大小王，任抽5张牌，至少有2张是同一花色的。

为什么？

3、六四班有73名同学，至少有几人是同一月份出生的？

把（）看作待分的物体，把（）看作抽屉。

列式：

《鸽巢问题》课后反思

可取之处：

1、能够努力运用新课标指导教学，注重感知——发现的过程。

重视学生学习技能的培养，而不仅仅是知识的传授。

2、能够以学生为主体，充分为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好的理解鸽巢原理。

3、能够顺利突出重点，突破难点。

通过学生观察比较、动画演示、学具操作、述说思路，把抽象的数学知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，理解了“总有”、“至少”的含义，掌握了枚举法和假设法两种思考方法。

4、能够微笑教学，弯下腰来和学生对话，和学生没有距离感，在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪亮的火花，激励性评价恰到好处。

5、能够有层次地设计练习，先是铅笔数比笔筒数多1的情况，然后是铅笔数比笔筒数多2、多3……的情况，使学生的探究意识越来越强，一直延伸到课外。

不足之处：

1、对个别小组的关注度不够，缺乏针对性的指导。

2、个别细节方面，数学语言不够严谨。

3、整节课出现前松后紧的状态。

《鸽巢问题》课标分析

一、课标要求

课程标准的基本理念中指出，教师要在教学过程中帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

在总体目标中也明确指出：

获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（四基）；体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

在“学段目标”的“第二学段”中提出：

“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”；

在“课程内容”的“第二学段”中提出：

“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。

二、课标解读

从课标分析中我们可以看出，数学思想方法、数学活动经验、思维方式以及分析和解决问题的能力在数学教学中尤为重要，而数学思想方法作为四基之一，其作用与地位更是不言而喻。

《鸽巢问题》作为数与代数领域中的一个内容，主要蕴含了两个重要的数学思想方法：

推理思想和模型思想，在教学时要格外重视；另外，数形结合、列举法、假设法、反证法和化繁为简等数学思想方法也在本单元中教学中有所体现。

因此，通过本单元的学习，应该使学生经历初步的数学证明和数学建模的过程，理解抽屉原理的基本形式，并能初步运用抽屉原理解释相关的实际问题，渗透推理和模型等数学思想方法，培养学生推理、抽象以及解决问题的能力，体会数学与生活之间的联系。